数学人教A版（2019）必修第一册4.2.2 指数函数的图像与性质（共28张ppt）

(共28张PPT)
指数函数及其性质
知识探究（一）
问题１：随着中国经济高速增长, 人民生活水平不断提高, 旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加, Ａ, Ｂ两地景区自2011年起采取了不同的应对措施, Ａ地提高了景区门票价格, 而Ｂ地则取消了景区门票. 下表给出了Ａ, Ｂ两地景区2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量.
比较两地景区游客人次的变化情况, 你发现了怎样的规律？
思考(1)：能否作出A,B两地景区游客人次变化的图象,根据图象并结合年增加量，说明两地景区游客人次的变化情况？
游客人次成非线性增长，年增加量越来越大，但无论从图象还是表格上，都难看出年增加量的变化规律．
游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万次)
B地：
Ａ地：
思考(2)：既然B地景区游客人次的变化规律很难直接看出，我们看能否从代数运算的角度去发现数据中蕴含的规律.
年增加量是相邻两年的游客人次作减法得到的，你能用别的运算来发现B地景区游客人次的变化规律吗？
增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量．
计算年增加量用的是减法，而求年增长率，则可以用除法.
因此，Ｂ地景区的游客人次的年增长率都约为
1-1.11=0.11
是一个常数．
增长率为常数的变化方式，我们常称为指数增长
思考(3)：以2001年的为基准，设B地景区经过x年后的游客人次是2001年的y倍, 你能求出y关于x的函数吗？
1年后，游客人次是2001的
1.111倍
2年后，游客人次是2001的
1.112倍
3年后，游客人次是2001的
1.113倍
... ...
x年后，游客人次是2001的
1.11x倍
∴ y关于x的函数为
y=1.11x,
x∈[0,+∞)
问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率）,大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间 称为“半衰期”．
按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？
思考(1)：设碳14含量的年衰减率为p, 生物刚死亡时体内碳14含量为1个单位，你能列出生物在死亡1年后，2年后，3年后，... , 其体内的碳14含量吗？ 你能求出p吗？
死亡1年后，生物体内碳14含量为
(1-p)1
死亡2年后，生物体内碳14含量为
(1-p)2
死亡3年后，生物体内碳14含量为
(1-p)3
... ...
死亡5730年后，生物体内碳14含量为
(1-p)5730
... ...
衰减率为常数的变化方式，我们常称为指数衰减
思考(2): 请求出生物死亡x年后，其体内的的碳14含量y
问题3：比较我们刚才在问题1中和问题2中得到的两个函数，看它们的解析式在结构上有没有什么共同特征？
底数为常数
底数为常数
指数为自变量
指数为自变量
思考: 以上两个函数有何共同特征
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
函数y = ax(a 0，且a 1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域R.
当a 0时，ax有些会没有意义;
当a=1时，函数值y恒等于1，没有研究价值.
一、指数函数的概念
思考：为何规定a＞0且a≠1？
下列函数中，哪些是指数函数？
√
√
√
√
×
×
×
×
×
①底数：大于零且不等于1的常数；
②指数：自变量x；
③系数：1. ④只有一项ax
总结：指数函数必须满足
例题讲解
例 析
画出下列指数函数的图象。
和
二、指数函数的图像
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=2x … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 …
y=3x … 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27 …
1
x
y
o
1
2
3
-1
-2
-3
函 数 图 象 特 征
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=2-x … 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 …
y=3-x … 27 9 3 1 1/3 1/9 1/27 …
X
O
y
1
函 数 图 象 特 征
y=1
若不用描点法，这两个函数的图象又该如何作出呢？
0
1
1
底数互为倒数的两个指数函数图象：
关于y轴对称
x=1
在第一象限沿y轴正方向底逐渐增大
当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小图象向右越靠近于x轴．
0比较a、b、c、d的大小.
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
● 图象共同特征：
◆图象可向左、右两方无限伸展
向上无限伸展，向下与x 轴无限接近
◆都经过坐标为（0，1）的点
◆图象都在x 轴上方
◆ a＞1时，图象
自左至右逐渐上升
◆ 0＜a＜1时，图象
自左至右逐渐下降
a>1 0图象
定义域
值域
定点
奇偶性
单调性
函数值 分布
y
y=1
O
x
（0，1）
ax
>1 (x>0)
=1 (x=0)
<1 (x<0)
ax
<1 (x>0)
=1 (x=0)
>1 (x<0)
y=1
（0，1）
x
O
y
R
(0, ＋∞)
(0,1)
非奇非偶函数
在R上是增函数
在R上是减函数
当 x > 0 时，y > 1.
当 x < 0 时， 0< y < 1.
当 x < 0 时，y > 1；
当 x > 0 时， 0< y < 1。
1.指数函数的图象和性质
例.求下列函数的定义域、值域：
函数的定义域为{x|x 0},
值域为{y |y>0 ,且y 1}.
解 (1)
(2)
函数的定义域为
x
y
0
y=1
y=ax
(0,1)
y
0
x
y=ax
性
质
0a>1
1.定义域为R，值域为(0,+ ).
2.过定点（0，1）即x=0时，y=1
3.在R上是增函数
3.在R上是减函数
4.当x>0时,y>1;当x<0时,04.当x>0时, 01.
5.既不是奇函数也不是偶函数.
图 象
(0,1)
y=1
2.指数函数的图象和性质
练习：
1.y=ax(a>0且 a≠1)图象必过
点_______
2.y=ax-2(a>0且 a≠1)图象必
过点_______
3.y=ax+3-1(a>0且 a≠1)图象必过点________
(0,1)
(2,1)
(-3,0)
x
y
0
y=1
y=ax
(0,1)
y
0
x
y=ax
性
质
0a>1
1.定义域为R，值域为(0,+ ).
2.过定点（0，1）即x=0时，y=1
3.在R上是增函数
3.在R上是减函数
4.当x>0时,y>1;当x<0时,04.当x>0时, 01.
5.既不是奇函数也不是偶函数.
图 象
(0,1)
y=1
求定点，先令指数为0，再计算x,y的值
例析
例析
引入中间变量，如“1”，另一个幂(以其中一个幂的底数为底数，另一个幂的指数为指数)等
思考：根据我们刚才的经历，你能说说如何比较两个指数幂的大小吗？
(1)底数相同(或可化相同)时：
利用指数函数的单调性进行比较；
(2)指数相同(或可化相同)时：
利用不同底的指数函数图象的高低来比较；
(3)底数和指数都不相同时：
返回
指数幂大小的比较
练习
小结
2.指数函数有哪一些性质，请说说其定义域，值域，单调性，奇偶性以及所求指数函数图象的公共点？
4.对于比较指数幂的大小，你有什么体会？
1.指数函数底数的取值范围是怎样的？你能分别画出这两种情况下的函数图象吗？
3.底数互为倒数的指数函数的图象有何关系？
如何利用函数y=f(x)的图象作出函数y=f(-x)的图象？
谢谢!