人教A版选择性必修第一册 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系同步练习（Word含答案）

1.4　空间向量的应用
1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
基础过关练
题组一　直线的方向向量和平面的法向量
1.(2020北京一零一中学期中)若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　)
A.(1,2,4)　　　　　　　B.(1,4,2)
C.(2,1,4)　　　　　　　D.(4,2,1)
2.已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),则平面ABC的一个法向量为　　　　.
3.已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,试建立空间直角坐标系,求平面SAB、平面SDC的一个法向量.
题组二　空间中直线、平面的平行问题
4.(2021海南北京师范大学万宁附属中学月考)若直线m的方向向量为a,平面α的法向量为μ,m α,则能使m∥α的是(　　)
A.a=(1,0,0),μ=(-2,0,0)
B.a=(1,-1,3),μ=(0,3,1)
C.a=(0,2,1),μ=(-1,0,1)
D.a=(1,3,5),μ=(1,0,1)
5.(2022山东临沂平邑一中月考)已知两个不重合的平面α与平面ABC,若平面α的法向量为n1=(2,-3,1),向量=(1,0,-2),=(1,1,1),则(　　)
A.平面α∥平面ABC
B.平面α⊥平面ABC
C.平面α与平面ABC相交但不垂直
D.以上均有可能
6.(2021海南海口海南中学期中)已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则(　　)
A.x=6,y=15　　　　　　　 B.x=3,y=15
C.x=
题组三　空间中直线、平面的垂直问题
7.(2022安徽师大附中期中)若直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则l1与l2的位置关系是(　　)
A.l1⊥l2　　　　　　　 B.l1∥l2
C.l1、l2相交但不垂直　　　　　　　D.不能确定
8.(2022吉林白城大安六中期中)已知直线l的一个方向向量d=(2,3,5),平面α的一个法向量u=(-4,m,n),若l⊥α,则m=　　　　,n=　　　　.
9.(2020陕西西安中学期末)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱DD1的中点,求证:
(1)BD1⊥平面AB1C;
(2)平面EAC⊥平面AB1C.
能力提升练　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　用空间向量研究平行、垂直问题
1.(多选)(2022山东潍坊第四中学月考)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是(　　)
A.两条不重合直线l1,l2的方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-2,-3,1),则l1∥l2
B.两个不同的平面α,β的法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则α⊥β
C.直线l的方向向量a=(1,-1,2),平面α的法向量u=(6,4,-1),则l⊥α
D.直线l的方向向量a=(0,3,0),平面α的法向量u=(0,-5,0),则l∥α
2.(2021天津十三中月考)如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为(　　)
A.(1,1,1)　　　　　　　 B.
C.
3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,E,F分别为A1C1和BC的中点.求证:
(1)平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)C1F∥平面ABE.
题组二　用空间向量解决立体几何中的探索性问题
4.(2020天津一中月考)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,P是AA1的中点,点M在侧面AA1B1B内(含边界),若D1M⊥CP,则△BCM面积的最小值为(　　)
A.8　　　　　B.4　　　　　C.8
5.(2021天津第四十二中学月考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,AB⊥BC,AA1=AB=BC=2.
(1)求证:BC1⊥平面A1B1C;
(2)点M在线段B1C上,且,在线段A1B上是否存在一点N,满足MN∥平面A1ACC1 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
基础过关练
1.A　由已知得=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故选项A中的向量与共线,故选A.
2.答案　(1,1,1)(答案不唯一)
解析　设平面ABC的法向量为n=(x,y,z).
由题意知=(-1,1,0),=(1,0,-1).
所以令x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1).
3.解析　由已知得SA,AB,AD两两垂直,
∴以A为坐标原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
∵SA=AB=BC=1,AD=,
∴S(0,0,1),A(0,0,0),C(1,1,0),D,
∴=,=(1,1,-1),=.
易知平面SAB的一个法向量为=.
设平面SDC的法向量为m=(x,y,z),
则取z=1,则x=2,y=-1,
∴平面SDC的一个法向量为m=(2,-1,1).
解后反思
求解平面的法向量时,如果题目中已经给出坐标,可以直接利用坐标运算来求解法向量,如果题目中未给出坐标,需先分析条件,利用共点的相互垂直的三条直线建立恰当的空间直角坐标系,再利用坐标运算求解法向量.
4.B　若m∥α,则a⊥μ,即a·μ=0.对于A,C,D,a·μ均不为0,不满足条件;对于B,a·μ=0-3+3=0,满足条件.故选B.
5.A　因为n1·=0,n1·=0,AB∩AC=A,所以n1也是平面ABC的法向量,又平面α与平面ABC不重合,所以平面α与平面ABC平行.故选A.
6.D　因为l1∥l2,所以a∥b,所以==,解得x=6,y=.故选D.
7.A　由题意得a·b=-2+6-4=0,∴l1与l2的位置关系是l1⊥l2.故选A.
8.答案　-6;-10
解析　∵l⊥α,∴d∥u,又d=(2,3,5),u=(-4,m,n),∴==,解得m=-6,n=-10.
9.证明　以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则E(0,0,1),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),B(2,2,0),D1(0,0,2).
(1)易得=(-2,2,0),=(0,2,2),=(-2,-2,2).
设平面AB1C的法向量为m=(x,y,z),
则取x=1,则y=1,z=-1,
∴m=(1,1,-1)是平面AB1C的一个法向量.
∵=-2m,∴∥m,∴BD1⊥平面AB1C.
(2)易得=(-2,0,1).
设平面EAC的法向量为n=(x',y',z'),
则取x'=1,则y'=1,z'=2,
∴n=(1,1,2)是平面EAC的一个法向量.
由(1)知m=(1,1,-1)是平面AB1C的一个法向量.
∵m·n=1+1-2=0,∴平面EAC⊥平面AB1C.
能力提升练
1.AB　因为b=-a,且直线l1,l2不重合,所以l1∥l2,故A中结论正确;因为u·v=2×(-3)+2×4+(-1)×2=0,所以α⊥β,故B中结论正确;因为a·u=1×6+(-1)×4+2×(-1)=0,所以l∥α或l α,故C中结论错误;因为u=-a,所以l⊥α,故D中结论错误.故选AB.
2.C　连接OE.设点M的坐标为(x,y,1).
因为AC∩BD=O,所以O,
又E(0,0,1),A(,,0),
所以=,=(x-,y-,1).
因为AM∥平面BDE,所以∥,
所以解得
所以点M的坐标为.故选C.
3.证明　以B为坐标原点,BC,BA,BB1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设BC=a,AB=b,BB1=c,则B(0,0,0),A(0,b,0),C1(a,0,c),F,E.
(1)易得=(0,-b,0),=.
设平面ABE的法向量为n=(x,y,z),
则即
令x=2,则y=0,z=-,∴n=.
易知平面B1BCC1的一个法向量n'=(0,1,0).
∵n'·n=2×0+0×1+×0=0,
∴平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)易得=,
由(1)知平面ABE的一个法向量为n=,
∵n·=0,∴∥平面ABE.
又∵C1F 平面ABE,∴C1F∥平面ABE.
4.D　以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图,
则P(4,0,2),C(0,4,0),D1(0,0,4),B(4,4,0).
设M(4,a,b)(a,b∈[0,4]),则=(4,a,b-4),=(4,-4,2).
∵D1M⊥CP,∴·=16-4a+2b-8=0,即b=2a-4.∴M(4,a,2a-4).
∴|BM|=
==,
∴当a=时,|BM|取得最小值.
∴S△BCM的最小值为×4×=.故选D.
5.解析　(1)证明:由题意得BC1⊥B1C,BB1⊥A1B1,A1B1⊥B1C1.
∵BB1∩B1C1=B1,∴A1B1⊥平面BCC1B1,
∵BC1 平面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1.
∵A1B1∩B1C=B1,∴BC1⊥平面A1B1C.
(2)以B为坐标原点,BC,BA,BB1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图.
则A(0,2,0),C(2,0,0),C1(2,0,2),B(0,0,0),A1(0,2,2),M,所以=(-2,2,0),=(0,0,2),=(0,-2,-2).
设平面A1ACC1的法向量为n=(x,y,z),
则取x=1,则y=1,z=0,
所以n=(1,1,0).
设N(a,b,c),=λ,0≤λ≤1,则=λ,
即(a,b-2,c-2)=λ(0,-2,-2),所以a=0,b=c=2-2λ,
所以N(0,2-2λ,2-2λ),
所以=.
因为MN∥平面A1ACC1,所以n·=-+2-2λ=0,解得λ=.所以在线段A1B上存在一点N,满足MN∥平面A1ACC1,且=.
12