第一章空间向量与立体几何复习提升（Word含答案）

第一章空间向量与立体几何复习提升
易混易错练　　　　　　　　　　　　　　　
易错点1　对空间向量的相关概念理解不清
1.(2020江西抚州临川一中月考)如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是(　　)
A.2·　　　　　　　B.2·
C.2·　　　　　　　D.2·
2.已知a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则cos等于　　　　.
3.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量　　　　共面.(填“一定”或“不一定”)
4.(2020海南海口海南中学期中)若=λ+μ(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系为　　　　　　　　　　　　.
5.(2021天津二十中期中)已知a=(5,3,1),b=,若a与b的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
易错点2　混淆向量夹角与空间角的范围
6.如图,在三棱锥O-ABC中,∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC,BC=OA,则异面直线OB与AC所成角的大小是(　　)
A.30°　　　　　B.60°　　　　　C.90°　　　　　D.120°
7.三棱锥C-ABD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若n1与n2的夹角为,则平面ABD与平面BCD的夹角为　　　　.
易错点3　不能正确地建立空间直角坐标系解决立体几何问题
8.(2021辽宁沈阳月考)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
(1)求证:BD∥平面FGH;
(2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成角的大小.
思想方法练
一、利用转化思想解决空间几何问题
1.(2022福建三明将乐第一中学月考)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=5,E,F分别为D1D,B1B上的点,且DE=B1F=1.
(1)求证:BE⊥平面ACF;
(2)求点E到平面ACF的距离.
二、利用方程思想解决空间几何问题
2.(2022重庆西南大学附中月考)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N分别是CC1,BC的中点,点P在直线A1B1上,且A1P=λA1B1.
(1)证明:无论λ取何值,总有AM⊥PN;
(2)是否存在点P,使得平面PMN与平面ABC所成的角为30° 若存在,试确定点P的位置;若不存在,请说明理由.
三、利用函数思想解决空间几何问题
3.(2021福建龙岩期末)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,M,N分别是棱CC1,B1C1,BB1的中点,点F在线段MN上运动.
(1)证明:A1F∥平面D1AE;
(2)求直线EF与平面D1AE所成角的正弦值的最大值.
答案全解全析
1.B　由题意易得与,与的夹角均为π-=,与的夹角为π,与的夹角为0,故2·=-a2,2·=-a2,
2·=-a2,2·=a2,故选B.
易错警示
　　由于向量具有方向,因此其夹角不同于两直线的夹角.如向量和的夹角不是∠BAC,而是π-∠BAC.
2.答案　
解析　∵a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,
∴向量a,b,c首尾相连组成三角形,记三角形的顶点分别为A,B,C.
令=c,=b,=a,则BC=2,CA=3,AB=4.
由余弦定理得cos∠BCA===-,
易知向量和的夹角是180°-∠BCA,
∴cos=.
3.答案　一定
解析　空间向量均是自由向量,若三个向量中的两个向量共线,则这三个向量一定能平移到同一平面内,所以这三个向量一定共面.
4.答案　AB 平面CDE或AB∥平面CDE
解析　由=λ+μ(λ,μ∈R)及共面向量定理可知,向量与向量,共面,则直线AB可能在平面CDE内,也可能和平面CDE平行.
易错警示
　　由向量共线得到的相关直线的位置关系有平行和重合两种可能;由向量共面得到的线面关系有平行和线在面内两种可能.
5.解析　由题意得a·b<0且a,b不共线.
∴解得t<且t≠-.
故实数t的取值范围为∪.
易错警示
两向量a,b的夹角为钝角时,a·b<0,但a·b<0时,a,b的夹角为钝角或平角,故在解题时应注意排除a,b的夹角为180°的情况.
6.B　∵OA=OB=OC,BC=OA,∴∠BOC=90°.
∵OA=OC,∠AOC=60°,∴AC=OA.
又·=·(-)=·-·=-·=-||2,
∴cos<,>==-,∴<,>=120°,∴异面直线OB与AC所成角为60°.
易错警示
异面直线所成角的取值范围为.
7.答案　
解析　因为平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,且n1,n2的夹角为,所以平面ABD与平面BCD的夹角为.
易错警示
本题易混淆平面与平面的夹角和二面角的平面角,平面与平面的夹角的取值范围为,二面角的取值范围为[0,π].
8.解析　(1)证明:在三棱台DEF-ABC中,由AB=2DE得BC=2EF,又H为BC的中点,所以BH=EF,又BH∥EF,所以四边形BHFE为平行四边形,可得BE∥HF.
在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,AB∩BE=B,所以平面FGH∥平面ABED,因为BD 平面ABED,所以BD∥平面FGH.
(2)连接DG,易知DF=AC=GC,DF∥GC,所以四边形DGCF为平行四边形,
因此DG∥CF.
又CF⊥平面ABC,所以DG⊥平面ABC.
在△ABC中,由AB⊥BC,∠BAC=45°,得AB=BC,连接BG,因为G是AC的中点,所以GB⊥GC.
因此GB,GC,GD两两垂直.
以G为坐标原点,BG,GC,GD所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设AB=2,则CF=DE=1,BG=CG=,所以G(0,0,0),B(,0,0),
H,F(0,,1),故=,=(0,,1),
=(,0,0).
设n=(x,y,z)是平面FGH的法向量,
则即
取x=1,得y=-1,z=,
所以平面FGH的一个法向量为n=(1,-1,).
易知=(,0,0)是平面ACFD的一个法向量,
所以|cos<,n>|===,
所以平面FGH与平面ACFD所成角的大小为60°.
易错警示
运用“坐标法”解答空间几何问题时,正确地建立空间直角坐标系是解题的关键.解题时,要依据空间几何体的结构特征,充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系建立空间直角坐标系.
思想方法练
1.解析　以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),
E(0,0,1),F(2,2,4).
(1)证明:易知=(-2,2,0),=(0,2,4),=(-2,-2,1).
∵·=0,·=0,
利用空间向量,将线线垂直问题的证明转化为其对应向量数量积的运算.
∴BE⊥AC,BE⊥AF,又AC∩AF=A,
∴BE⊥平面ACF.
利用线面垂直的判定定理将线线垂直转化为线面垂直.
(2)易知=(-2,0,1).
由(1)知=(-2,-2,1)为平面ACF的一个法向量,
∴点E到平面ACF的距离d==.
将点E到平面ACF的距离转化为在法向量方向上的投影问题.
思想方法
转化与化归思想在空间向量中的应用主要表现在将立体几何中的位置关系转化为空间两向量的数量关系(线性表示或数量积表示)或将空间角与空间距离的计算转化为空间两向量的运算.
2.解析　因为AA1⊥平面ABC,AB⊥AC,所以AB,AC,AA1两两垂直.以点A为坐标原点,AC,AA1,AB所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),M,N,P(0,1,λ).
(1)证明:易知=,=.
因为·=-+=0,所以AM⊥PN.
因此,无论λ取何值,总有AM⊥PN.
(2)易知=.
设平面PMN的法向量为n=(x,y,z),
则取x=2λ+1,则y=2-2λ,z=3,
所以平面PMN的一个法向量为n=(2λ+1,2-2λ,3).
易知平面ABC的一个法向量为m=(0,1,0).
若存在满足题意的点P,则|cos|===,整理可得4λ2+10λ+13=0,
根据平面PMN与平面ABC所成的角为30°,构建关于λ的方程,通过方程解的情况确定是否存在满足题意的点P.
此方程无解,所以不存在点P,使得平面PMN与平面ABC所成的角为30°.
思想方法
方程思想在空间向量中的应用主要表现在探索性问题中,通过设置参数,建立方程(组),求方程(组)的解解决问题.
3.解析　(1)证明:连接BC1,A1N,NE,A1M.
∵M,N分别是B1C1,BB1的中点,
∴MN∥BC1,
又BC1∥AD1,∴MN∥AD1.
∵MN 平面AD1E,AD1 平面AD1E,
∴MN∥平面AD1E.
易知NE∥A1D1,NE=A1D1,
∴四边形A1NED1是平行四边形,∴A1N∥D1E.
∵A1N 平面AD1E,D1E 平面AD1E,
∴A1N∥平面AD1E.
∵A1N∩MN=N,∴平面A1MN∥平面D1AE.
又A1F 平面A1MN,∴A1F∥平面D1AE.
(2)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),E(0,2,1),D1(0,0,2),M(1,2,2),
N(2,2,1),
∴=(0,2,-1),=(-2,0,2),=(-1,0,1).
∵F在线段MN上,∴设=λ(0≤λ≤1),则F(2-λ,2,1+λ),
∴=(2-λ,0,λ).
由点在线上,根据共线向量定理引入变量λ.
设n=(x,y,z)是平面D1AE的法向量,
则即取z=2,得y=1,x=2,∴n=(2,1,2).
设直线EF与平面D1AE所成角为θ,则sinθ=|cos|=
==.
由向量的夹角公式,得到含变量λ的函数.
∵λ∈[0,1],∴当λ=1时,(sinθ)max=.
结合二次函数和反比例函数的性质,求sinθ的最大值.
∴直线EF与平面D1AE所成角的正弦值的最大值为.
思想方法
函数思想在空间向量中的应用主要表现在“运动问题”和“最值问题”中,构造出来函数后一定要注意函数的定义域,应当在定义域的约束下去求最值,利用基本不等式求最值时要注意满足适用的条件.
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