2.2.2 直线的两点式方程
基础过关练
题组一 直线的两点式方程
1.(2022河北邯郸八校联盟期末)经过点(1,3),(-2,4)的直线方程为( )
A.x+3y-10=0 B.3x+y-10=0
C.x-3y+10=0 D.3x+y+10=0
2.已知直线l的两点式方程为,则l的斜率为( )
A.-
3.(2022吉林白城一中期中)把五个边长为1的正方形按如图所示的方式摆放在平面直角坐标系中,经过坐标原点的一条直线将这五个正方形分成面积相等的两部分,则该直线的方程为( )
A.y=x D.y=x
4.(2022甘肃金昌永昌一中月考)已知点A(3,2),B(-1,4),则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为 .
题组二 直线的截距式方程
5.在x轴和y轴上的截距分别为-4和5的直线方程是( )
A.=1
C.=1
6.直线x=2y-3在x轴,y轴上的截距分别为 .
7.若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点A(6,-2),则直线l的方程为 .
8.过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A,B两点,若P为AB的中点,则直线l的截距式方程是 .
题组三 直线的两点式、截距式方程的应用
9.(2022山东临沂平邑一中质检)两条直线=1与=1的图形可能是( )
10.(2022江苏张家港期中)经过点P(2,3),且在两个坐标轴上的截距互为相反数的直线的条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.过点P(1,4)作直线l,直线l与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为原点.
(1)若△ABO的面积为9,求直线l的方程;
(2)若△ABO的面积为S,求S的最小值,并求出此时直线l的方程.
答案全解全析
基础过关练
1.A 由题意得=,整理得x+3y-10=0.故选A.
2.A 由题意知,直线l过点(-5,0),(3,-3),所以l的斜率为=-.
3.C 因为直线将五个正方形分成面积相等的两部分,所以直线下方是面积为的直角三角形,所以直线过点,又直线过点(0,0),故直线方程为y=x.
4.答案 2x-y+1=0
解析 由题易得AB的中点坐标为(1,3).由直线的两点式方程可得=,即2x-y+1=0.
5.C
6.答案 -3,
解析 直线x=2y-3可化为+=1,所以直线x=2y-3在x轴,y轴上的截距分别为-3,.
7.答案 +=1或+y=1
解析 设直线l在y轴上的截距为a(a≠0,a≠-1),则l在x轴上的截距为a+1,则l的方程为+=1,将点A(6,-2)代入,得-=1,即a2-3a+2=0,∴a=2或a=1,∴直线l的方程为+=1或+y=1.
8.答案 +=1
解析 设A(m,0),B(0,n)(m≠0,n≠0).
由P(1,3)是AB的中点可得m=2,n=6,
∴A(2,0),B(0,6),
∴直线l的截距式方程是+=1.
9.B 直线-=1在x轴,y轴上的截距分别是m,-n,直线-=1在x轴,y轴上的截距分别是n,-m,因此四个截距中两正两负,对照选项中图形知B正确.
10.B 当直线经过原点时,直线的方程为y=x,符合题意.
当直线不经过原点时,设直线方程为-=1,由点P(2,3)在直线上,知-=1,解得a=-1,所以直线方程为x-y+1=0.
因此,符合题意的直线有2条.故选B.
易错警示
在解决与截距有关的问题时,要注意直线过原点的情况.
11.解析 设A(a,0),B(0,b),其中a>0,b>0,则由直线的截距式方程得直线l的方程为+=1.
将P(1,4)代入直线l的方程,得+=1.(*)
(1)依题意得ab=9,即ab=18.
由(*)式得b+4a=ab=18,即b=18-4a.
∴a(18-4a)=18,整理,得2a2-9a+9=0,
解得a1=3,a2=,对应b1=6,b2=12,因此直线l的方程为+=1或+=1,整理,得2x+y-6=0或8x+y-12=0.
(2)由题意得S=ab=ab=×≥×=×(8+8)=8,当且仅当=,即a=2,b=8时取等号,
所以S的最小值为8,此时直线l的方程为+=1,即4x+y-8=0.
42.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
基础过关练
题组一 直线的点斜式方程
1.过点P()且倾斜角为135°的直线的点斜式方程为
.
2.经过点(1,1),且方向向量为(1,2)的直线的点斜式方程是 .
3.已知点A(1,0),B(3,4),则线段AB的中垂线方程是 .
4.若直线y=x+1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得到直线l,则直线l的点斜式方程为 .
5.(2022吉林田家炳高级中学期中)已知△ABC的三个顶点都在第一象限内,A(1,1),B(5,1),∠A=45°,∠B=45°,求:
(1)直线AB的方程;
(2)直线AC和BC的方程.
题组二 直线的斜截式方程
6.(2022北京西城回民学校期中)已知某直线的倾斜角为60°,在y轴上的截距为2,则此直线的方程为( )
A.y=x+2
C.y=-x-2
7.(2022广东江门会城华侨中学期中)与直线y=2x+1垂直,且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )
A.y=x+4 B.y=2x+4
C.y=-2x+4 D.y=-x+4
8.(2022广东深圳宝安第一外国语学校月考)已知直线l过点P(2,4),在x轴和y轴上的截距相等,则直线l的方程为 .
题组三 直线的点斜式、斜截式方程的应用
9.若k<0,且b<0,则直线y=kx+b必不过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.(2022江苏扬州邗江期中)已知直线l的斜率为,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,则直线l的斜截式方程为 .
11.已知直线l1:y=2x+3a,l2:y=(a2+1)x+3,若l1∥l2,则实数a= .
12.(2021江西南昌二中月考)如图所示,在平行四边形OABC中,C(1,3),A(3,0).
(1)求直线AB的方程;
(2)过点C作CD⊥AB于点D,求直线CD的方程.
答案全解全析
基础过关练
1.答案 y+2=-(x-)
解析 ∵直线的倾斜角为135°,∴斜率k=tan135°=-1,又直线过点P(,-2),∴直线的点斜式方程为y+2=-(x-).
2.答案 y-1=2(x-1)
解析 由于直线的方向向量为(1,2),故直线的斜率为2,又直线经过点(1,1),故直线的点斜式方程为y-1=2(x-1).
3.答案 x+2y-6=0
解析 设线段AB的中点为M.
∵A(1,0),B(3,4),∴M(2,2),kAB==2,
∴线段AB的中垂线方程为y-2=-(x-2),化简得x+2y-6=0.
4.答案 y-4=-(x-3)
解析 ∵直线y=x+1的斜率为1,∴其倾斜角为45°.∴直线l的倾斜角为135°,∴直线l的斜率为tan135°=-1.又点P(3,4)在直线l上,∴直线l的点斜式方程为y-4=-(x-3).
5.解析 (1)因为A(1,1),B(5,1),所以直线AB平行于x轴,所以直线AB的方程为y=1.
(2)由题意知,直线AC的倾斜角为45°,所以kAC=tan45°=1.
又直线AC过点A(1,1),所以直线AC的方程为y-1=1×(x-1),即y=x.
同理可知,直线BC的倾斜角为135°,所以kBC=tan135°=-1.
又直线BC过点B(5,1),所以直线BC的方程为y-1=-1×(x-5),即y=-x+6.
6.A 由题意得,直线的斜率k=tan60°=,在y轴上的截距为2,故直线的方程为y=x+2.故选A.
7.D 因为直线y=2x+1的斜率为2,所以与其垂直的直线的斜率是-,故所求直线的斜截式方程为y=-x+4.
8.答案 y=2x或y=-x+6
解析 当直线l过原点时,直线方程为y=2x;
当直线l不过原点时,设直线方程为y=kx+b,由题意得
解得∴直线方程为y=-x+6.
∴直线l的方程为y=2x或y=-x+6.
9.A 由k<0,b<0可知直线过第二、三、四象限.故选A.
10.答案 y=x+1或y=x-1
解析 设直线l的方程为y=x+b(b≠0).当x=0时,y=b;当y=0时,x=-6b.由题意可得|b|·|-6b|=3,即6|b|2=6,解得b=±1.故直线l的方程为y=x+1或y=x-1.
11.答案 -1
解析 因为l1∥l2,所以a2+1=2,即a2=1,所以a=±1.经检验,a=1时,l1与l2重合,所以a=-1.
12.解析 (1)易得kOC==3.
因为AB∥OC,所以kAB=3.
又直线AB过点A(3,0),
所以直线AB的方程为y=3x-9.
(2)因为CD⊥AB,直线AB的斜率为3,
所以kCD=-,又直线CD过点C(1,3),
所以直线CD的方程为y-3=-(x-1),
即y=-x+.
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