人教A版选择性必修第一册2.2.3 直线的一般式方程同步练习（Word含答案）

2.2.3　直线的一般式方程
基础过关练
题组一　求直线的一般式方程
1.(2022北京一零一中学期中)已知直线l过点(0,3),且与直线x+y+1=0平行,则l的方程是(　　)
A.x+y-2=0　　　　　　　B.x-y+2=0
C.x+y-3=0　　　　　　　D.x-y+3=0
2.(2022天津静海一中期中)过点A(2,1)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为(　　)
A.x-2y=0　　　　　　　 B.2x+y-7=0
C.x-2y+3=0　　　　　　　D.2x-y=0
3.(2022山东潍坊期中)在平面直角坐标系中,直线x-y+3=0绕它与x轴的交点A按顺时针方向旋转30°所得的直线方程是(　　)
A.x-
C.x-=0
题组二　直线方程几种形式的相互转化
4.(2022浙江嘉兴一中月考)直线x+y+1=0的倾斜角为(　　)
A.
C.
5.(2022山东济宁期中)直线3x+2y+6=0的斜率为k,在y轴上的截距为b,则(　　)
A.k=-,b=-2
C.k=-,b=-3
6.已知直线kx-y+1-3k=0,当k变化时,所有直线都恒过点(　　)
A.(0,0)　　　　　　　B.(0,1)
C.(3,1)　　　　　　　D.(2,1)
7.若ac<0,bc<0,则直线ax+by+c=0的图形可能是(　　)
8.直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是　(　　)
A.
题组三　直线一般式方程的综合应用
9.(2022湖北鄂东南教改联盟期中)两直线l1:ax+y+1=0和l2:x-a2y-1=0互相垂直,则a的值是(　　)
A.0　　　　　B.1　　　　　C.0或1　　　　　D.±1
10.(2021四川眉山仁寿一中月考)若直线x+(1+m)y-2=0和直线mx+2y+4=0平行,则m的值为(　　)
A.1　　　　　　　 B.-2
C.1或-2　　　　　　　D.-
11.(多选)(2022重庆万州第二高级中学月考)已知直线l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列说法正确的是(　　)
A.当a=-1时,直线l与直线x+y=0垂直
B.若直线l与直线x-y=0平行,则a=0
C.直线l过定点(0,1)
D.当a=0时,直线l在两坐标轴上的截距相等
能力提升练
题组一　求直线的一般式方程
1.(2022江苏扬州中学月考)已知过点M(2,1)的直线与x轴,y轴分别交于P,Q两点.若M为线段PQ的中点,则这条直线的方程为(　　)
A.2x-y-3=0　　　　　　　B.2x+y-5=0
C.x+2y-4=0　　　　　　　D.x-2y+3=0
2.(2021四川凉山州三诊)若kxy-x+6y-3=0表示两条直线,则实数k的值为(　　)
A.3　　　　　B.2　　　　　C.1　　　　　D.0
3.(2022陕西师大附中月考)已知点A(0,1),点B在直线l:x+y=0上运动,则当线段AB最短时,直线AB的一般式方程为　　　　　　　.
4.(2021黑龙江牡丹江一中开学考试)求适合下列条件的直线的一般式方程:
(1)经过点A(-1,-3),且倾斜角等于直线y=x的倾斜角的2倍;
(2)经过点B(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
题组二　直线一般式方程的应用
5.(2020湖北荆州沙市中学期中)“m=1”是“直线(m+4)x+3my+1=0与(m-4)x+(m+4)y-5=0垂直”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
6.(2022重庆八中期中)已知两定点A(-,0),点P在直线2x-y-3=0上,且PA⊥PB,则这样的点P的个数为(　　)
A.0　　　　　B.1　　　　　C.2　　　　　D.3
7.(2022安徽A10联盟期中)已知直线l1:x+ysin2α+2=0,若l1⊥l2,则l2的倾斜角的取值范围是(　　)
A.
C.
8.(2022河北邯郸八校联盟期中)已知直线l不过第二象限,且与直线2x+3y+5=0垂直,写出一个满足上述条件的直线l的方程:　　　　　　.
9.(2022河北邢台月考)写出同时具有下列性质的直线l的一般式方程:　　　　　　　.
①直线l经过点(1,1);
②直线l与x轴,y轴围成的图形的面积为.
10.(2022广东深圳宝安第一外国语学校月考)已知直线l1:y=x-k+4,直线l2:2x+k2y-4k2-4=0(k≠0),若直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,则当k>4时,四边形面积的取值范围是　　　　.
11.(2022天津南开期中)已知直线l1:x+3y-5=0,l2:3kx-y+1=0.若l1,l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,则k=　　　　.
答案全解全析
基础过关练
1.C　设直线l的方程为x+y+t=0(t≠1).由点(0,3)在直线x+y+t=0上,得0+3+t=0,解得t=-3,因此直线l的方程为x+y-3=0.故选C.
2.A　设垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为x-2y+t=0,由点(2,1)在直线x-2y+t=0上,得2-2+t=0,解得t=0,因此所求的直线方程为x-2y=0.故选A.
3.C　易知直线x-y+3=0的斜率为,倾斜角为60°,与x轴的交点为A(-,0).绕A按顺时针方向旋转30°所得的直线的倾斜角为60°-30°=30°,故斜率为tan30°=,所以旋转后直线的方程为y-0=(x+),即x-y+=0.故选C.
4.C　将直线的方程x+y+1=0化为斜截式得y=-x-1,因此直线的斜率k=-.设直线的倾斜角为α,则tanα=-.因为α∈[0,π),所以α=.故选C.
5.C　直线的方程3x+2y+6=0化为斜截式为y=-x-3,所以k=-,b=-3.
6.C　将直线方程kx-y+1-3k=0化为点斜式为y-1=k(x-3),所以直线过定点(3,1).
7.C　将直线方程ax+by+c=0化为斜截式为y=-x-.
∵ac<0,bc<0,∴ab>0,->0,∴-<0,故直线的斜率小于0,在y轴上的截距大于0.故选C.
8.D　将直线方程ax+by=1(ab≠0)化为截距式为+=1(ab≠0),
∴三角形的面积S=×=.
9.C　由题意得a-a2=0,解得a=0或a=1.故选C.
10.A　由题意得解得m=1.故选A.
11.AC　对于A,当a=-1时,直线l的方程为x-y+1=0,显然与x+y=0垂直,所以正确;
对于B,若直线l与直线x-y=0平行,则(a2+a+1)×(-1)=1×(-1),解得a=0或a=-1,所以不正确;
对于C,当x=0时,y=1,所以直线过定点(0,1),所以正确;
对于D,当a=0时,直线l的方程为x-y+1=0,其在x轴,y轴上的截距分别是-1,1,所以不正确.故选AC.
能力提升练
1.C　设所求直线的方程为y-1=k(x-2).令x=0,得y=1-2k,所以Q点坐标为(0,1-2k),又因为M为线段PQ的中点,P点的纵坐标为0,所以根据中点坐标公式得=1,解得k=-,故所求直线的方程为x+2y-4=0.
2.B　∵kxy-x+6y-3=0表示两条直线,
∴kxy-x+6y-3=(ax+b)(cy+d)=acxy+adx+bcy+bd,其中abcd≠0,
∴k=ac,ad=-1,bc=6,bd=-3.
不妨令d=1,则b=-3,c=-2,a=-1,k=2.故选B.
3.答案　x-y+1=0
解析　当线段AB最短时,AB⊥l,所以kAB=1.所以直线AB的方程为y=x+1,化为一般式为x-y+1=0.
4.解析　(1)易知直线y=x的斜率k=,故其倾斜角为,故所求直线的倾斜角为,斜率为.又因为直线经过点A(-1,-3),所以直线方程为y+3=(x+1),即x-y-3+=0.
(2)易得直线的斜率存在,设直线方程为y-4=k(x-3)(k≠0).
令x=0,可得y=4-3k;令y=0,可得x=3-.
由题意可得=,
解得k=1或k=-1或k=,
故直线方程为y=x+1或y=-x+7或y=x.
经检验,y=x不符合题意,舍去.
故所求直线方程为y-x-1=0或y+x-7=0.
5.B　由两直线垂直,得(m+4)(m-4)+3m(m+4)=0,即(m+4)(m-1)=0,解得m=1或m=-4.
∵{1} {1,-4},
∴“m=1”是“直线(m+4)x+3my+1=0与(m-4)x+(m+4)y-5=0垂直”的充分不必要条件.故选B.
6.C　设P(a,2a-3),则kPA=,kPB=.因为PA⊥PB,所以kPA·kPB=-1,即·=-1,化简得5a2-12a+6=0,解得a=或a=,故满足题意的点P有2个.故选C.
7.D　当sin2α=0时,直线l1的方程是x=-,斜率不存在,故l2的斜率为0,倾斜角为0.
当sin2α≠0时,直线l1的斜率为,则直线l2的斜率为∈,故l2的倾斜角的范围为.
综上,l2的倾斜角的取值范围是.故选D.
8.答案　3x-2y=0(答案不唯一)
解析　易知直线2x+3y+5=0的斜率为-.
因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直,
所以直线l的斜率为.
因为直线l不过第二象限,所以直线l在y轴上的截距小于或等于0,故满足题意的直线l的方程可以为3x-2y=0.
9.答案　2x-y-1=0或x-2y+1=0
解析　设直线l的方程为y-1=k(x-1),
令x=0,解得y=1-k,令y=0,解得x=1-,
所以直线l与x轴,y轴围成的图形的面积为=,则k+=或k+=,解得k=2或k=,
所以l的一般式方程为2x-y-1=0或x-2y+1=0.
10.答案　
解析　l2的方程可化为y=-x++4.
当k>4时,>0,-<0,-k+4<0,+4>0.
易知l1,l2过定点(2,4),直线l1与x轴交于点,直线l2与y轴交于点,
∴四边形的面积S=×2×+×4×=4-16
+8=4-8,
∵k>4,∴0<<,∴S∈.
11.答案　±1
解析　如图所示,直线l1:x+3y-5=0分别交x轴,y轴于A,B两点,直线l2:3kx-y+1=0过定点C(0,1).
由点C在线段OB上知l2⊥l1或l2与x轴交于D点,且∠BCD+∠BAD=180°.
①由l1⊥l2知1×3k+3×(-1)=0,解得k=1.
②由∠BCD+∠BAD=180°得∠BAD=∠OCD.
设直线l1的倾斜角为α1,l2的倾斜角为α2,则α1=180°-∠BAD,α2=90°+∠OCD,∴α1=180°-∠BAD=180°-∠OCD=180°-(α2-90°)=270°-α2,
∴tanα1=tan(270°-α2)=tan(90°-α2)===,
∴tanα1·tanα2=1,∴-×3k=1,解得k=-1.
综上,k的值为±1.
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