人教A版选择性必修第一册2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离同步练习（Word含答案）

2.3.3　点到直线的距离公式
2.3.4　两条平行直线间的距离
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　点到直线的距离
1.(2022浙江温州新力量联盟期中)点P(3,2)到直线x-y-3=0的距离为(　　)
A.1　　　　　B.
2.(2021山东菏泽郓城一中月考)已知点P(-2,3),点Q是直线l:3x+4y+3=0上的动点,则|PQ|的最小值为(　　)
A.2　　　　　B.
3.(2022辽宁沈阳一二零中学期中)已知定点P(-2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0(λ∈R),则点P到直线l的距离d的最大值为(　　)
A.2
4.(2022广东八校期中)若点A(-2,-1)与点B(3,2)到直线ax+y+1=0的距离相等,则a的值为　　　　.
5.(2022湖北武汉武钢三中月考)点P在曲线y=x2+1上,当点P到直线y=2x-5的距离最小时,点P的坐标是　　　　.
6.已知直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点Q,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为　　　　.
7.已知△ABC的三个顶点A(-1,4),B(-2,-1),C(2,3).
(1)BC边的高所在直线方程为　　　　;
(2)△ABC的面积为　　　　.
题组二　两条平行直线间的距离
8.(2022江西南昌八一中学月考)直线l1:3x+4y-7=0与直线l2:6x+8y+1=0间的距离为(　　)
A.8　　　　　B.4　　　　　C.
9.(2022山东济宁期中)P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+1=0上任一点,则|PQ|的最小值为(　　)
A.　　　　　D.6
10.(2022安徽安庆二中期中)两条平行直线2x-y+3=0和ax-3y+4=0间的距离为d,则a,d的值分别为(　　)
A.6,
C.-6,
11.已知直线l1,l2分别过点P(-1,3),Q(2,-1),若它们分别绕点P,Q旋转,但始终保持平行,则l1,l2之间的距离d的取值范围为(　　)
A.(0,5]　　　　　　　B.(0,5)
C.(0,+∞)　　　　　　D.(0,]
12.(2021广东湛江一模)一条与直线x-2y+3=0平行且距离大于的直线方程为　　　　　　.
13.(2022北京首师大附中期中)已知直线l1过点A(0,1),l2过点B(5,0),如果l1∥l2,且l1与l2之间的距离为5,求l1,l2的方程.
能力提升练　　　　　　　　　　　　　　　
题组　距离公式的应用
1.(2021宁夏银川二中期末)过点P(1,2)引直线,使A(2,3),B(4,-5)两点到直线的距离相等,则这条直线的方程是(　　)
A.2x+y-4=0
B.x+2y-5=0
C.2x+y-4=0或x+2y-5=0
D.3x+2y-7=0或4x+y-6=0
2.(2021浙江温州新力量联盟期中)若点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)
A.3
3.(2021北京八中期末)在平面直角坐标系中,点P(a,b)满足|a|+|b|=1,记d为点P到直线x-my-2=0的距离.当a,b,m变化时,d的最大值为(　　)
A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4
4.(2020辽宁省实验中学期中)已知点P,Q分别在直线l1:x+y+2=0与直线l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,A(-3,-3),B,则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为(　　)
A.
C.
5.(2022浙江宁波北仑中学期中)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ
-2=0的距离的最大值是　　　　.
6.(2022江苏镇江扬中第二高级中学月考)已知三条直线l1:2x-y+3=0,l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0,能否找到一点P,使得点P同时满足:①P是第一象限的点;②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是 若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.
7.(2022山东济宁邹城二中月考)已知直线方程为(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0.
(1)证明:直线恒过点P;
(2)当m为何值时,点Q(3,4)到直线的距离最大,最大值为多少
(3)若直线分别与x轴,y轴的负半轴交于A,B两点,求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.
答案全解全析
基础过关练
1.B　点P到直线的距离d==.
2.B　|PQ|的最小值为点P到直线l的距离,
∴|PQ|min==.故选B.
3.B　直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0可化为x+y-2+λ(3x+
2y-5)=0.
由解得所以直线l经过点(1,1),设其为Q,
所以点P到直线l的距离d≤|PQ|,
故dmax=|PQ|==.故选B.
4.答案　-或-3
解析　由题意得=,
解得a=-或a=-3.
5.答案　(1,2)
解析　设P(x0,+1),所以点P到直线y=2x-5的距离d===,所以当x0=1时,dmin==,此时点P的坐标为(1,2).
6.答案　2
解析　由得即Q(1,2).
因为|PQ|==>2,所以满足条件的直线l有2条.
7.答案　(1)x+y-3=0　(2)8
解析　(1)设BC边的高所在直线为l.易知kBC==1,所以kl=-1.
又点A(-1,4)在直线l上,所以直线l的方程为y-4=-(x+1),即x+y-3=0.
(2)结合(1)知BC所在直线的方程为y+1=x+2,即x-y+1=0.
∴点A(-1,4)到直线BC的距离为=2.
又|BC|==4,
∴S△ABC=×2×4=8.
8.D　3x+4y-7=0可化为6x+8y-14=0.易知l1∥l2,
所以直线l1与直线l2之间的距离d==.故选D.
9.C　易知直线3x+4y-12=0与6x+8y+1=0平行,3x+4y-12=0可化为6x+8y-24=0,所以|PQ|min==.故选C.
10.B　根据直线2x-y+3=0和ax-3y+4=0平行,可得=≠,解得a=6.
故两条平行直线为6x-3y+9=0和6x-3y+4=0,
故d==.故选B.
11.A　易知两直线之间的最大距离为P,Q两点间的距离.由两点间的距离公式得|PQ|==5.故l1,l2之间的距离d的取值范围为(0,5].
12.答案　x-2y+c=0(c<-2或c>8)(写出符合条件的一条直线方程即可)
解析　因为所求直线与x-2y+3=0平行,所以设所求直线方程为x-2y+c=0(c≠3).
因为所求直线与x-2y+3=0的距离大于,
所以>,解得c<-2或c>8.
故与直线x-2y+3=0平行且距离大于的直线方程为x-2y+c=0(c<-2或c>8).
13.解析　①若直线l1,l2的斜率存在,设直线l1,l2的斜率均为k,则l1的方程为y=kx+1,即kx-y+1=0,l2的方程为y=k(x-5),即kx-y-5k=0.
因为直线l1过点A(0,1),所以点A到直线l2的距离d==5,解得k=,
所以l1的方程为12x-5y+5=0,l2的方程为12x-5y-60=0.
②若直线l1,l2的斜率不存在,则l1的方程为x=0,l2的方程为x=5,它们之间的距离为5,满足条件.
综上所述,l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0或l1:x=0,l2:x=5.
能力提升练
1.D　由题意知所求直线的斜率存在,设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.
由题意得=,解得k=-4或k=-.
故所求直线的方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
2.A　由题意知,点M在直线l1与l2之间且在与直线l1,l2距离相等的直线上,设其方程为x+y+c=0(c≠-7且c≠-5),则=,解得c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,为=3.
3.C　直线x-my-2=0恒过点(2,0),设其为C.
作出点P满足的图形如图所示.
旋转直线x-my-2=0,可以发现,当直线垂直于x轴时,点A(-1,0)到直线的距离最大,为|AC|=3.
所以当a,b,m变化时,d的最大值为3.故选C.
4.B　如图,由平行线间的距离公式得|PQ|=.
过点A作垂直于l1的直线,并截取|AA'|=|PQ|.
设A'(x0,y0),则
所以A'.
连接A'B,A'Q,则四边形AA'QP是平行四边形,|A'B|=,
故|AP|+|QB|=|A'Q|+|QB|≥|A'B|=.
因此,|AP|+|PQ|+|QB|≥+.
故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为+.
5.答案　2+
解析　点(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离d==
|cosθ+sinθ-2|=.
故当sin=-1时,dmax=|--2|=2+.
6.解析　能.理由如下:
设P(x0,y0).
若点P满足条件②,则=·,化简得4x0-2y0+13=0或12x0-6y0+11=0.
若点P满足条件③,则=·,化简得x0-2y0+4=0或3x0+2=0.
又P是第一象限的点,
∴3x0+2=0不合题意,舍去.
由得不合题意,舍去.
由得
∴满足题意的点P的坐标为.
7.解析　(1)证明:直线方程(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0可化为(2x+y+4)+m(-x+2y+3)=0.
由解得
所以直线恒过点P(-1,-2).
(2)由题意得,点Q与定点P(-1,-2)的距离就是点Q到直线距离的最大值,为=2.
因为kPQ==,所以直线(2-m)x+(2m+1)·y+3m+4=0的斜率为-,所以-=-,解得m=.
综上,当m=时,点Q(3,4)到直线的距离最大,最大值为2.
(3)结合(1)设直线方程为y+2=k(x+1),k<0,
则A,B(0,k-2),
所以S△AOB=|k-2|=(-k+2)=2+≥2+2=4,当且仅当k=-2时取等号,所以△AOB的面积的最小值为4,此时直线的方程为2x+y+4=0.
10