人教A版选择性必修第一册2.4.2 圆的一般方程同步练习（Word含答案）

2.4.2　圆的一般方程
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　二元二次方程与圆的关系
1.(2021重庆八中月考)已知m是实数,若方程x2+y2+2x+4y+m=0表示的曲线是圆,则m的取值范围为(　　)
A.(-∞,20)　　　　　　　B.(-∞,5)
C.(5,+∞)　　　　　　　 D.(20,+∞)
2.(2022湖北武汉部分重点中学期中)若圆C:x2+y2-2(m-2)x+2(m-2)y+2m2-6m+4=0过坐标原点,则实数m的值为(　　)
A.2或1　　　　　　　B.-2或-1
C.1　　　　　　　 D.-2
题组二　圆的一般方程
3.已知圆的方程为x2+y2-4x-1=0,则圆的圆心和半径分别是(　　)
A.(0,2),5　　　　　　　B.(0,2),
C.(2,0),5　　　　　　　D.(2,0),
4.(2022甘肃金昌永昌第一高级中学月考)经过点A(1,)和B(2,-2),且圆心在x轴上的圆的一般方程为(　　)
A.x2+y2-6y=0　　　　　　　B.x2+y2+6y=0
C.x2+y2+6x=0　　　　　　　D.x2+y2-6x=0
5.(2022安徽安庆一中期中)若圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心位于第三象限,那么直线x+ay+b=0一定不经过(　　)
A.第一象限　　　　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　　　　D.第四象限
6.(2022广东珠海二中期中)圆x2+y2-2x-4y+4=0关于直线x-y-2=0对称的圆的一般方程为　　　　　　　　.
7.(2022江苏徐州一中期中)已知定点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,则a的取值范围为　　　　.
8.(2022湖北新高考协作体期中)已知△ABC的顶点C(2,-8),直线AB的方程为y=-2x+11,AC边上的高BH所在直线的方程为x+3y+2=0.
(1)求顶点A和B的坐标;
(2)求△ABC外接圆的一般方程.
题组三　与圆有关的动点的轨迹问题
9.(2021甘肃兰州一中月考)过圆外一点P作圆O:x2+y2=1的两条切线PM,PN(M,N为切点),若∠MPN=90°,则动点P的轨迹方程是　　　　　　　.
10.已知在平面直角坐标系xOy中,圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心C在直线l:2x-7y+8=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)P为圆C上的任意一点,定点Q(12,0),求线段PQ的中点M的轨迹方程.
能力提升练
题组一　圆的方程
1.(2022湖南长沙长郡中学月考)设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,则点P的轨迹方程是　　　　　　.
2.设定点M(-3,4),动点N在圆O:x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,则点P的轨迹为　　　　　　　　　　　　　.
3.(2022浙江台州天台月考)如图,已知正方形ABCD的四个顶点分别为A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).
(1)求对角线AC所在直线的方程;
(2)求正方形ABCD外接圆的方程;
(3)若动点P为外接圆上一点,点N(-2,0)为定点,问线段PN中点M的轨迹是什么 并求出轨迹方程.
题组二　圆的方程的应用
4.(2022河北石家庄二中期中)已知圆C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),则当圆C的面积最小时,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为(　　)
A.+1
5.(2021重庆八中月考)若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P满足|PB|=|PA|,则tan∠ABP的最大值为(　　)
A.
6.(2020浙江杭州期末)在平面直角坐标系中,Q是圆O:x2+y2=9上的动点,满足|MO|=2|MQ|的动点M构成集合D,则集合D中任意两点间的距离d的最大值为(　　)
A.4　　　　　B.4　　　　　C.6　　　　　D.12
7.(2021安徽阜阳太和一中月考)过点P(-5,0)作直线(1+2m)x-(m+1)y-4m-3=0(m∈R)的垂线,垂足为M,已知点N(3,11),则|MN|的取值范围是　　　　.
8.(2021江苏苏州中学月考)如图,O是坐标原点,圆O的半径为1,点A(-1,0),B(1,0),点P,Q分别从点A,B同时出发,在圆O上按逆时针方向运动,若点P的速度大小是点Q的两倍,则在点P运动一周的过程中,·的最大值为　　　　.
9.(2022江苏苏州实验中学调研)已知以点C为圆心的圆经过点A(-1,2)和点B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)设点P在圆C上,求△PAB的面积的最大值.
答案全解全析
基础过关练
1.B　由于方程x2+y2+2x+4y+m=0表示的曲线为圆,所以22+42-4m>0,解得m<5.因此,实数m的取值范围是(-∞,5).故选B.
2.C　由题意得2m2-6m+4=0,解得m=1或m=2.
当m=2时,x2+y2=0,不符合题意,舍去;
当m=1时,x2+y2+2x-2y=0,即(x+1)2+(y-1)2=2,满足题意.
综上所述,实数m的值为1.故选C.
3.D　将圆的一般方程x2+y2-4x-1=0化为标准方程为(x-2)2+y2=5,所以其圆心为(2,0),半径为.故选D.
4.D　设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
因为圆心在x轴上,所以-=0,解得E=0.
又圆过点A(1,)和B(2,-2),
所以解得
所以所求圆的一般方程为x2+y2-6x=0.故选D.
5.D　圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心为.
由圆心位于第三象限,得a<0且-<0,∴a<0且b>0.
∴直线x+ay+b=0在x轴上的截距-b<0,在y轴上的截距->0,
∴直线x+ay+b=0经过x轴负半轴一点和y轴正半轴一点,∴直线x+ay+b=0经过第一、二、三象限,不经过第四象限.故选D.
6.答案　x2+y2-8x+2y+16=0
解析　方程x2+y2-2x-4y+4=0可化为(x-1)2+(y-2)2=1,则圆的圆心为(1,2),半径为1.
设点(1,2)关于直线x-y-2=0对称的点的坐标为(a,b),则解得
故所求圆的圆心坐标为(4,-1).
故所求圆的方程为(x-4)2+(y+1)2=1,即x2+y2-8x+2y+16=0.
7.答案　
解析　因为点A(a,2)在圆的外部,
所以解得2所以a的取值范围为.
易错警示
在运用圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0时,要注意隐含条件D2+E2-4F>0,防止忽略此条件导致解题错误.
8.解析　(1)由解得所以B(7,-3).
因为AC⊥BH,所以kAC·kBH=-1,又kBH=-,所以kAC=3,
所以设直线AC的方程为y=3x+b.
将C(2,-8)代入,得b=-14,所以直线AC的方程为y=3x-14.
由解得所以A(5,1).
(2)设△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
将A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)分别代入,得
解得
所以△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-4x+6y-12=0.
9.答案　x2+y2=2
解析　设P(x,y),则|PO|=.
∵∠MPN=90°,∴四边形OMPN为正方形,
∴|PO|=|OM|=,∴=,即x2+y2=2.
10.解析　(1)设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
由题意得解得
所以圆C的方程是(x-3)2+(y-2)2=13.
(2)设P(x0,y0),M(x,y).
由题意可得所以
因为点P为圆C上的任意一点,
所以(x0-3)2+(y0-2)2=13,
即(2x-12-3)2+(2y-2)2=13,
整理得+(y-1)2=,
故线段PQ的中点M的轨迹方程为+(y-1)2=.
能力提升练
1.答案　(x-1)2+y2=2
解析　设P(x,y).易知圆(x-1)2+y2=1的圆心为(1,0),记为B,半径r=1,则|PA|2+r2=|PB|2,∴|PB|2=2.∴点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2.
2.答案　以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,除去点和点
解析　如图所示.设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为.
由于平行四边形的对角线互相平分,
所以即故N(x+3,y-4).
又点N(x+3,y-4)在圆x2+y2=4上,
所以(x+3)2+(y-4)2=4.
当点P在直线OM上时,有x=-,y=或x=-,y=.
因此所求轨迹是以(-3,4)为圆心,2为半径的圆,除去点和点.
3.解析　(1)由直线方程的两点式可知,对角线AC所在直线的方程为=,整理得x-y-2=0.
(2)设G为正方形ABCD外接圆的圆心,则G为AC的中点,∴G(2,0).
设r为正方形ABCD外接圆的半径,则r=|AC|,
又|AC|==4,∴r=2.
∴正方形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.
(3)设P(x0,y0),M(x,y),
则∴
∵点P为外接圆上一点,
∴(2x+2-2)2+(2y)2=8,整理,得x2+y2=2.
∴点M的轨迹是以原点为圆心,为半径的圆,轨迹方程为x2+y2=2.
4.D　由x2+y2+2x-2my-4-4m=0得(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5,所以圆心为C(-1,m),半径r==≥1,当且仅当m=-2时,半径最小,此时面积也最小.
所以圆上的点到坐标原点的距离的最大值为+1=+1.故选D.
5.B　以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).
设P(x,y),∵|PB|=|PA|,∴=,
整理得x2+6x+y2+1=0,即(x+3)2+y2=8,故动点P的轨迹是以(-3,0)为圆心,2为半径的圆.
当点P在如图所示的P1,P2位置时,tan∠ABP的值最大,最大值为==1.故选B.
6.D　设Q(x0,y0),则+=9.设M(x,y),由|MO|=2|MQ|,可得|MO|2=4|MQ|2,即x2+y2=4[(x-x0)2+],化简可得x2+y2-x-y+12=0,故M的轨迹是以为圆心,2为半径的圆.由圆的对称性可得,当集合D中任意两点间的距离d最大时,该两点关于原点对称,此时dmax=2×=12.故选D.
7.答案　[13-,13+]
解析　由(1+2m)x-(m+1)y-4m-3=0(m∈R)得m(2x-y-4)+(x-y-3)=0.
由解得所以直线过定点(1,-2),设为Q.
因为M为垂足,所以△PQM为直角三角形,斜边为PQ,所以M在以PQ为直径的圆上运动.所以以PQ为直径的圆的圆心坐标为(-2,-1),设为C,半径r==.
所以|MN|的取值范围为|CN|-r≤|MN|≤|CN|+r,
又|CN|==13,
所以|MN|的取值范围是[13-,13+].
8.答案　2
解析　连接OQ,OP.
设∠BOQ=α,则∠AOP=2α,且α∈[0,π].
依题意得Q(cosα,sinα),P(-cos2α,-sin2α),A(-1,0),
∴·=(-cos2α+1,-sin2α)·(cosα+1,sinα)=(-cos2α+1)·
(cosα+1)-sin2α·sinα=1-cos2α=2sin2α≤2,当且仅当α=时,等号成立.故·的最大值为2.
9.解析　(1)取弦AB的中点M,则M(1,3).
∵A(-1,2),B(3,4),∴kAB==,∴kCM=-2,
∴直线CM的方程为y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.
由得即C(0,5).
∴半径r==,
∴圆C的方程为x2+(y-5)2=10.
(2)设△PAB底边AB上的高为h.
由(1)可知弦AB的中点M的坐标为(1,3),圆心C(0,5),
∴|CM|==,
∴hmax=|CM|+r=+.
又|AB|==2,
∴(S△PAB)max=×2×(+)=5+5.
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