人教A版选择性必修第一册2.5.1 直线与圆的位置关系同步练习（Word含答案）

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1　直线与圆的位置关系
基础过关练
题组一　直线与圆的位置关系
1.(2021江西南昌七校联考)直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0的位置关系是(　　)
A.相交　　　　　　　B.相切
C.相离　　　　　　　D.无法判断
2.(2022江苏常州田家炳中学月考)已知直线l:(x+2)m+y-1=0,圆C:x2+y2=6,则直线l与圆C的位置关系是(　　)
A.相交　　　　　　　B.相切
C.相离　　　　　　　D.不确定
3.(2022浙江台州十校联盟期中)直线x-y+m=0与圆x2+y2=1有两个不同的交点,则实数m的取值范围是(　　)
A.-2≤m≤2　　　　　　　B.-2C.m<-2或m>2　　　　　　　D.m≤-2或m≥2
4.若点M(a,b)在圆x2+y2=r2外,则直线ax+by=r2与圆的位置关系是　　　　.
5.已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,圆与直线:
(1)有两个公共点
(2)只有一个公共点
(3)没有公共点
6.(2022四川成都树德中学期中)已知圆心在直线2x-y-2=0上的圆C经过点A(-1,2)和B(3,-2),过点P(3,-1)的直线l与圆C相交于不同的两点M,N.
(1)求圆C的标准方程;
(2)若∠MCN=90°,求直线l的方程.
题组二　圆的弦长问题
7.(2022贵州凯里一中期中)直线y=x+2被圆x2+y2=4截得的弦长为(　　)
A.1　　　　　B.2　　　　　C.
8.(2022浙江宁波北仑中学期中)若直线x-y-3=0被圆x2+y2-2x+4y+m=0所截得的弦长为6,则实数m的值为(　　)
A.-1　　　　　B.-2　　　　　C.-4　　　　　D.-31
9.(2022吉林长春期中)已知圆x2+y2=25的一条弦过点P(1,3),当弦长最短时,求该弦所在直线的方程.
10.(2021河南郑州期末)已知圆C经过点A(2,0),与直线x+y=2相切,且圆心C在直线2x+y-1=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)已知直线l经过点(0,1),并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.
题组三　圆的切线问题
11.(2022安徽合肥六中期中)过点M(2,3)且与圆x2+y2-2x=0相切的直线方程为(　　)
A.4x-3y+1=0　　　　　　　B.x=2或3x-4y+6=0
C.3x-4y+6=0　　　　　　　D.x=2或4x-3y+1=0
12.(2021吉林长春外国语学校月考)过点M(-1,)且与圆O:x2+y2=4相切的直线方程为　　　　　　.
13.(2022山东泰安期中)过点P(4,3)作圆C:x2+6x+y2+5=0的切线,则切线长为　　　　.
14.(2022天津部分高中期中)已知圆C:x2+y2+mx-2y=0(m∈R),其圆心在直线x+y=0上.
(1)求m的值;
(2)若过点(1,1)的直线l与C相切,求l的方程.
能力提升练
题组一　直线与圆的位置关系
1.(2021河北保定唐县第一中学月考)若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是(　　)
A.0C.02.(2022重庆七中月考)曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,则实数k的取值范围是(　　)
A.k≥
C.k>
3.(2021重庆万州二中期中)若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离为1,则半径r的取值范围是(　　)
A.[4,6)　　　　　　　B.(4,6)
C.[4,6]　　　　　　　D.(4,6]
4.(多选)(2022辽宁沈阳一中期中)已知圆M:(x+cosθ)2+(y-sinθ)2=1,直线l:y=kx,则下列命题中正确的是(　　)
A.对任意实数k和θ,直线l和圆M都有公共点
B.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切
C.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切
D.存在实数k与θ,使得圆M上有一点到直线l的距离为3
题组二　圆的相交弦、切线问题
5.(2021江西南昌二中月考)若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点是(1,2),则直线PQ的方程是(　　)
A.x+2y-3=0　　　　　　　B.x+2y-5=0
C.2x-y+4=0　　　　　　　D.2x-y=0
6.(2022山东临沂平邑一中期中)由直线x-y+4=0上的点向圆(x-1)2+(y-1)2=1作切线,则切线长的最小值为(　　)
A.-1
7.(2022广东广州四校期中联考)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为(　　)
A.-或-
C.-或-
8.(2022天津北辰期中)若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则的最小值是(　　)
A.9　　　　　B.4　　　　　C.
9.(2022江西赣州赣县三中开学考试)已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为(　　)
A.3　　　　　　　 B.
C.2　　　　　　　D.2
10.(2021浙江丽水五校共同体期中)直线y=x+b被圆(x-1)2+(y-1)2=4截得的弦长的最大值为　　　　;若圆上到直线y=x+b的距离等于1的点有且仅有4个,则b的取值范围是　　　　.
题组三　直线与圆位置关系的综合应用
11.(2022重庆缙云教育联盟期中)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4.
(1)若直线l过点A(2,3)且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程;
(2)若直线l'过点B(1,0)且与圆C相交于P,Q两点,求△CPQ的面积的最大值,并求出此时直线l'的方程.
12.(2022江苏泰州三中期中)已知圆O:x2+y2=4和点M(1,a).
(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切,求实数a的值,并求出切线方程;
(2)若a=,过点M的圆的两条弦AC,BD互相垂直,求|AC|+|BD|的最大值.
13.(2022浙江精诚教育联盟期中)在某海礁A处有一风暴中心,距离风暴中心A正东方向200km的B处有一艘轮船,正沿北偏西α(α为锐角)角方向航行,速度大小为40km/h.已知距离风暴中心180km以内的水域受其影响.
(1)若轮船不被风暴影响,求角α的正切值的最大值;
(2)若轮船航行方向为北偏西45°,求轮船被风暴影响持续的时间.
14.在△ABO中,|OA|=4,|OB|=3,|AB|=5,P是△ABO的内切圆上的一点,求以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值.
答案全解全析
基础过关练
1.C　圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=1,
∴圆心为(1,-2),半径r=1.
圆心(1,-2)到直线4x-3y-2=0的距离d==>r,
∴直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0相离,故选C.
2.A　由直线方程可得y-1=-m(x+2),因此直线l过定点(-2,1),设为A,因此|AC|==<.故点A在圆C的内部,从而直线l与圆C相交,故选A.
3.B　因为圆x2+y2=1与直线x-y+m=0有两个不同的交点,圆心为(0,0),半径为1,所以圆心到直线的距离小于1,即<1,
整理得|m|<2,解得-24.答案　相交
解析　因为点M(a,b)在圆x2+y2=r2外,所以a2+b2>r2,所以圆心(0,0)到直线ax+by=r2的距离d=5.解析　解法一:将直线方程mx-y-m-1=0代入圆的方程,化简并整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.易知Δ=4m(3m+4).
(1)当Δ>0,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点.
(2)当Δ=0,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点.
(3)当Δ<0,即-解法二:圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,
故圆心为(2,1),半径r=2.
圆心(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离
d==.
(1)当d<2,即m>0或m<-时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点.
(2)当d=2,即m=0或m=-时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点.
(3)当d>2,即-规律方法
处理直线与圆的位置关系问题主要用几何法,即比较圆心到直线的距离和半径的大小,较少用联立方程的方法.
6.解析　(1)易求得AB的中点为(1,0),且kAB=-1,
∴线段AB的中垂线方程为x-y-1=0.
由得∴圆心C的坐标为(1,0),
∴半径r=|CA|=2,
故圆C的标准方程为(x-1)2+y2=8.
(2)当∠MCN=90°时,圆心C到直线l的距离为2.
若直线l的斜率存在,设直线l:y+1=k(x-3),即kx-y-3k-1=0,
∴圆心C(1,0)到直线l的距离d==2,
解得k=,∴直线l的方程为3x-4y-13=0.
若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,符合题意.
综上所述,所求直线l的方程为x=3或3x-4y-13=0.
7.D　由圆x2+y2=4,可得圆心为(0,0),半径为2,
∴圆心到直线y=x+2的距离d==,
故弦长为2=2,故选D.
8.C　圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=5-m,
∴圆心为(1,-2).
设圆心到直线的距离为d,则d==0,
∴5-m=,∴m=-4,故选C.
9.解析　当弦长最短时,该弦所在直线与过点P(1,3)的直径垂直.已知圆心为(0,0),所以过点P(1,3)的直径所在直线的斜率k==3,故所求直线的斜率为-,所以所求直线的方程为y-3=-(x-1),即x+3y-10=0.
10.解析　(1)∵圆心C在直线2x+y-1=0上,
∴可设圆心为C(a,1-2a),
则点C到直线x+y=2的距离d=.
根据题意得d=|AC|,则=,∴a=1.
∴圆心为C(1,-1),半径r=d=,
∴圆C的方程是(x-1)2+(y+1)2=2.
(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,符合题意;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+1,可化为kx-y+1=0,圆心C到直线l的距离为=,∴k=-,
∴直线l的方程为3x+4y-4=0.
综上所述,直线l的方程为x=0或3x+4y-4=0.
11.D　圆x2+y2-2x=0可化为(x-1)2+y2=1,其圆心为(1,0),半径为1.
当过点M(2,3)的直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,与圆相切,符合题意;
当过点M(2,3)的直线的斜率存在时,设直线方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,有=1,解得k=,此时直线的方程为4x-3y+1=0.
综上,所求的直线方程为x=2或4x-3y+1=0.故选D.
12.答案　x-y+4=0
解析　∵(-1)2+()2=4,∴点M在圆x2+y2=4上,
因此k切·kOM=-1,即k切·=-1,
∴k切=,又切线过点M(-1,),
∴切线方程为y-=(x+1),即x-y+4=0.
13.答案　3
解析　由圆C的方程可知,圆心为C(-3,0),半径r=2,又P(4,3),所以|PC|==.
设切点为A,则|AC|=r=2,
由切线的性质可知CA⊥PA,
所以在直角三角形PAC中,|PA|===3.所以切线长为3.
14.解析　(1)圆C的标准方程为+(y-1)2=1+,所以圆心为.
由圆心在直线x+y=0上,得-+1=0,解得m=2.
(2)由(1)知圆C的方程为(x+1)2+(y-1)2=2.
易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-1=k(x-1),即kx-y-k+1=0,
由直线l和圆C相切,得=,解得k=±1,
所以l的方程为x+y-2=0或x-y=0.
能力提升练
1.A　圆的方程可化为(x+2)2+y2=9,
∴圆心坐标为(-2,0),半径r=3.
令x=0,得y=±.
如图所示,设A(0,),则kMA==.
∵过M(-1,0)的直线与圆在第一象限内的部分有交点,∴02.D　曲线y=1+可化为x2+(y-1)2=4(y≥1),
∴y=1+表示以(0,1)为圆心,2为半径的圆的上半部分.
直线y=k(x-2)+4恒过点(2,4),设为A,如图所示.
当直线y=k(x-2)+4为圆的切线时,圆心到直线的距离d==2,解得k=;
当直线y=k(x-2)+4过点(-2,1)时,k==.
故当直线y=k(x-2)+4与曲线有两个不同的交点时,3.B　圆心(3,-5)到直线4x-3y-2=0的距离为=5.由题意得|5-r|<1,解得44.AC　圆心M(-cosθ,sinθ)到直线l的距离d==
=|sin(θ+φ)|,其中tanφ=k.
∵d≤1,∴直线l与圆M有公共点,A正确.
当θ=0时,d=<1恒成立,即不存在实数k,使得直线l和圆M相切,B错误.
无论k为何值,d=|sin(θ+φ)|=1都有解,
即存在实数θ,使得直线l与圆M相切,C正确.
∵d≤1,且圆上任一点到直线l的距离不超过d+1,∴d+1≤2,D错误.
故选AC.
5.B　因为PQ的中点与圆心连成的线段垂直于PQ,所以kPQ=-=-,
所以直线PQ的方程是y-2=-(x-1),即x+2y-5=0,故选B.
6.A　圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为(1,1),设为C,半径为1.设P为直线x-y+4=0上任意一点,
由直线x-y+4=0上的点向圆(x-1)2+(y-1)2=1作切线,要使切线长最小,只需|PC|最小,易知|PC|min==2,
∴切线长的最小值为=.故选A.
7.D　设点(-2,-3)为A,则点A关于y轴的对称点A'的坐标为(2,-3),故可设反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.
∵反射光线所在直线与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,
∴圆心(-3,2)到反射光线所在直线的距离d==1,化简为12k2+25k+12=0,∴k=-或k=-.故选D.
8.A　圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,故圆的半径为2.
由题意得直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)必定经过圆心(-1,2),所以-2a-2b+2=0,即a+b=1,所以+=(a+b)=5++,因为a>0,b>0,所以由基本不等式得+≥2=4,当且仅当a=,b=时,等号成立,所以+的最小值为9.
9.D　圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1,圆心为C(0,1),半径r=1.
如图所示,由题意得|PA|=|PB|,连接PC,
∵|AC|=|BC|,∠PAC=∠PBC=90°,
∴Rt△PAC≌Rt△PBC,
∴四边形PACB的面积为△PAC面积的2倍.
∵四边形PACB的最小面积是2,
∴△PAC面积的最小值为1,
∴S△PAC=|PA|·|AC|=|PA|≥1,∴|PA|≥2,
∴|PC|==≥.
当直线PC与直线kx+y+4=0(k>0)垂直时,|PC|取最小值,即|PC|min==,∴k2=4,
又k>0,∴k=2.故选D.
10.答案　4;(-,)
解析　当直线y=x+b过圆心时,截得的弦长最大,因为圆(x-1)2+(y-1)2=4的半径为2,所以弦长的最大值为4.
要使圆上到直线y=x+b的距离等于1的点有且仅有4个,
则圆心到直线的距离d==∈[0,1),所以b∈(-,).
11.解析　(1)圆C的圆心为C(3,4),半径R=2.
∵直线l被圆C截得的弦长为2,
∴圆心C到直线l的距离为1.
①当直线l的斜率不存在时,l:x=2,显然满足题意;
②当直线l的斜率存在时,设l:y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,
由圆心C到直线l的距离为1,得=1,解得k=0,故直线l的方程为y=3.
综上所述,直线l的方程为x=2或y=3.
(2)∵直线l'与圆相交,∴l'的斜率一定存在且不为0,设直线l'的方程为y=k'(x-1),即k'x-y-k'=0,
则圆心C到直线l'的距离d=,
∴△CPQ的面积S=×d×2=d==
,
当d=时,S取最大值,为2.
由d==,得k'=1或k'=7,
∴直线l'的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0.
12.解析　(1)由条件知点M在圆O上,∴1+a2=4,
∴a=±.
当a=时,点M的坐标为(1,),kOM=,k切线=-,此时切线方程为y-=-(x-1),即x+y-4=0;
当a=-时,点M的坐标为(1,-),kOM=-,k切线=,此时切线方程为y+=(x-1),即x-y-4=0.
综上,当a=时,切线方程为x+y-4=0;
当a=-时,切线方程为x-y-4=0.
(2)当AC的斜率为0或不存在时,可求得|AC|+|BD|=2+2.
当AC的斜率存在且不为0时,设直线AC的方程为y-=k(x-1),即kx-y-k+=0,直线BD的方程为y-=-(x-1),即x+ky-k-1=0,
则圆心O到直线AC的距离d1=,
圆心O到直线BD的距离d2=.
由弦长公式l=2,可得|AC|=2,|BD|=2.
∴|AC|2+|BD|2=4
=20,
∴(|AC|+|BD|)2=|AC|2+|BD|2+2|AC|×|BD|≤2(|AC|2+|BD|2)=40,∴|AC|+|BD|≤2.
综上,|AC|+|BD|的最大值为2.
13.解析　(1)根据题意画出图形,如图所示,
易知圆的方程为x2+y2=1802.
设过点B(200,0)且与圆相切的直线方程为y=k(x-200),k<0,即kx-y-200k=0,k<0,则圆心O(0,0)到直线的距离为=180,化简,得19k2=81,∴k=-(正值舍去),
∴tan(90°+α)=-,∴-=-,∴tanα=,
∴若轮船不被风暴影响,角α的正切值的最大值为.
(2)若轮船航行方向为北偏西45°,则航线所在直线方程为x+y=200,
则圆心O到该直线的距离d==100,
∴直线被圆截得的弦长为2=40,
则轮船被风暴影响持续的时间为=(h).
14.解析　如图,建立平面直角坐标系,则A(4,0),B(0,3),O(0,0).
设△AOB的内切圆的半径为r,点P(x,y).
则2r+|AB|=|OA|+|OB|,∴r=1,
∴内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,
整理得x2+y2-2y=2x-1.①
又|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25,
②
∴将①代入②,得|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.
∵P(x,y)是内切圆上的点,∴0≤x≤2,
∴|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22,最小值为18.
又以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和为π+π+π=(|PA|2+|PB|2+|PO|2),
∴以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为π,最小值为π.
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