人教A版选择性必修第一册2.5.2 圆与圆的位置关系同步练习（Word含答案）

2.5.2　圆与圆的位置关系
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　圆与圆的位置关系
1.(2022天津外国语大学附属中学期中)圆C1:x2+y2+2x-6y-26=0与圆C2:x2+y2-4x+2y+4=0的位置关系是(　　)
A.内切　　　　　　　B.外切
C.相交　　　　　　　D.外离
2.(2021江西南昌二中月考)若圆C:x2+y2=5-m(m<5)与圆E:(x-3)2+(y-4)2=16有三条公切线,则m的值为(　　)
A.2　　　　　B.　　　　　C.4　　　　　D.6
3.(2022四川南充阆中中学期中)已知点M在圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,点N在圆C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,则|MN|的最大值是(　　)
A.5　　　　　B.7　　　　　C.9　　　　　D.11
4.已知圆C1:x2+y2-m=0(m>0),圆C2:x2+y2+6x-8y-11=0,若圆C1与圆C2有公共点,则实数m的取值范围是(　　)
A.m<1　　　　　　　 B.m>121
C.1≤m≤121　　　　　　　D.15.集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2,r>0},且M∩N=N,则r的取值范围是(　　)
A.(0,-1)　　　　　　　B.(0,1]
C.(0,2-]　　　　　　　D.(0,2]
6.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心的距离|C1C2|等于(　　)
A.4　　　　　B.4
7.(2022江苏淮安期中)两圆相交于A(1,3),B(m,-1)两点,若两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+c的值为　　　　.
题组二　两圆的公共弦问题
8.(2022云南红河一中期中)已知圆C1:x2+y2+8x-20=0和圆C2:x2+y2-6y=0,则两圆公共弦所在直线方程为(　　)
A.8x+3y-20=0　　　　　　　B.4x+3y-10=0
C.4x-3y+10=0　　　　　　　D.2x+3y+5=0
9.(2022甘肃永昌一中期中)圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线的方程是(　　)
A.x+y+3=0　　　　　　　B.2x-y-5=0
C.3x-y-9=0　　　　　　　D.4x-3y+7=0
10.(2022湖南长沙一中期中)圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦的长为　　　　.
11.(2022江西大同天镇实验中学期中)已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0.
(1)求证:两圆相交;
(2)求公共弦所在直线的方程;
(3)求公共弦长.
能力提升练
题组一　圆与圆的位置关系
1.(2021浙江丽水五校共同体段考)已知圆C1:x2+(y-a2)2=a4的圆心到直线x-y-2=0的距离为2,则圆C1与圆C2:x2+y2-2x-4y+4=0的位置关系是(　　)
A.相交　　　　　B.内切　　　　　C.外切　　　　　D.外离
2.(2021吉林长春外国语学校月考)已知圆C1:(x-a)2+y2=1和C2:x2+y2-2by+b2-4=0恰好有3条公切线,则的最小值为(　　)
A.2　　　　　B.1+　　　　　D.4
3.若圆(x-a)2+(y-a)2=4上总存在两点到原点的距离为1,则实数a的取值范围是(　　)
A.
B.(-2)
C.
D.,+∞)
4.(2021重庆八中月考)已知圆C1与y轴相切于点(0,3),圆心在经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l上.
(1)求圆C1的方程;
(2)若圆C1与圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0相交于M,N两点,求两圆的公共弦长.
题组二　圆与圆的位置关系的综合运用
5.(多选)(2022广东广州期中)点P在圆C1:x2+y2=1上,点Q在圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0上,则(　　)
A.|PQ|的最小值为0
B.|PQ|的最大值为7
C.两个圆心所在的直线斜率为-
D.两个圆的相交弦所在直线的方程为6x-8y-25=0
6.(2022山西太原高考模拟)已知圆M:(x-a)2+(y-b)2=3(a,b∈R)与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且|AB|=,则下列结论错误的是(　　)
A.·是定值
B.四边形OAMB的面积是定值
C.a+b的最小值为-
D.ab的最大值为2
7.(2021江苏泰州姜堰中学期末)已知M,N分别是圆C1:x2+y2-4x-4y+7=0,C2:x2+y2-2x=0上的两个动点,P为直线x+y+1=0上的一个动点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　)
A.
C.2　　　　　　　 D.3
8.(多选)已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),下列说法正确的是(　　)
A.若圆C1与圆C2无公共点,则0B.当r=5时,两圆公共弦长所在直线的方程为6x-8y-1=0
C.当r=2时,P,Q分别是圆C1与圆C2上的点,则|PQ|的取值范围为[2,8]
D.当09.如图,已知圆C1:x2+(y-s)2=s2(s>0)内切于圆C2:x2+(y-t)2=t2(t>0),直线l:y=kx(k>0)分别交圆C1,C2于A,B两点(A,B在第一象限内),过点A作x轴的平行线交圆C2于M,N两点,若点A既是线段OB的中点,又是线段MN的三等分点,求k的值.
10.(2021湖南长沙长郡中学开学考试)已知两个定点A(0,4),B(0,1),动点P满足|PA|=2|PB|,设动点P的轨迹为曲线E,直线l:y=kx-4.
(1)求曲线E的方程;
(2)若l与曲线E交于不同的C,D两点,且∠COD=120°(O为坐标原点),求k的值;
(3)若k=1,Q是直线l上的动点,过Q作曲线E的两条切线QM,QN,切点分别为M,N,探究:直线MN是否过定点 若过定点,写出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
答案全解全析
基础过关练
1.A　化圆C1:x2+y2+2x-6y-26=0为(x+1)2+(y-3)2=36,得圆心为C1(-1,3),半径r1=6;
化圆C2:x2+y2-4x+2y+4=0为(x-2)2+(y+1)2=1,
得圆心为C2(2,-1),半径r2=1.
∵|C1C2|==5=r1-r2,
∴圆C1与圆C2的位置关系是内切.故选A.
2.C　圆C的圆心为(0,0),半径为(m<5),圆E的圆心为(3,4),半径为4,由题意可知两圆外切,则=+4,解得m=4.
3.C　由题意知圆C1的圆心为(-3,1),半径r1=2;圆C2的圆心为(1,-2),半径r2=2,所以两圆的圆心距d==5>r1+r2=4,所以两圆外离,从而|MN|的最大值为5+2+2=9.故选C.
4.C　圆C1的方程可化为x2+y2=m(m>0),则圆心为C1(0,0),半径r1=(m>0);
圆C2的方程可化为(x+3)2+(y-4)2=36,则圆心为C2(-3,4),半径r2=6.
∵圆C1与圆C2有公共点,
∴|r1-r2|≤|C1C2|≤r1+r2,
即|-6|≤≤+6,
∴解得1≤m≤121.
5.C　由M∩N=N知N M,所以圆x2+y2=4与圆(x-1)2+(y-1)2=r2(r>0)内切或内含,且4>r2,所以2-r≥,又r>0,所以06.C　∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),
∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.
设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),
则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,
∴a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2,即x2-10x+17=0的两个实数根,
∴a+b=10,ab=17.
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,
∴|C1C2|===8.
7.答案　3
解析　由题意可知直线x-y+c=0是线段AB的垂直平分线,因为直线x-y+c=0的斜率为1,所以kAB==-1,解得m=5.
由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为(3,1),
将其代入直线方程,得3-1+c=0,解得c=-2.
故m+c=5-2=3.
8.B　∵圆C1:x2+y2+8x-20=0和圆C2:x2+y2-6y=0,
∴两圆方程作差,得两圆的公共弦所在直线方程为8x+6y-20=0,即4x+3y-10=0.故选B.
9.C　易得线段AB的垂直平分线过两圆的圆心,把圆心(2,-3)代入各选项,可得C正确.
10.答案　2
解析　圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的方程相减得4x-4y+8=0,即x-y+2=0.
由圆x2+y2-4=0的圆心为(0,0),半径r=2,
且圆心(0,0)到直线x-y+2=0的距离d==,
得公共弦的长为2=2=2.
11.解析　(1)证明:将两圆方程配方化为标准方程,
C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,
则圆C1的圆心为(1,-5),半径r1=5;
圆C2的圆心为(-1,-1),半径r2=.
又|C1C2|=2,r1+r2=5+,r1-r2=5-,∴r1-r2<|C1C2|∴两圆相交.
(2)两方程联立,得方程组
两式相减得-4x+8y-16=0,即x-2y+4=0.
所以公共弦所在直线的方程为x-2y+4=0.
(3)解法一:把x-2y+4=0代入②得y2-2y=0,所以y1=0,y2=2.所以所以交点坐标为(-4,0)和(0,2).
所以两圆的公共弦长为=2.
解法二:圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d=
=3,
所以两圆的公共弦长为2=2=2.
能力提升练
1.B　由题意得=2,∴a2=2,∴圆C1:x2+(y-2)2=4的圆心C1的坐标为(0,2),半径r1=2,
将圆C2:x2+y2-2x-4y+4=0化为标准形式为(x-1)2+(y-2)2=1,其圆心C2的坐标为(1,2),半径r2=1,
∵圆心距|C1C2|==1=r1-r2,
∴两圆内切,故选B.
2.A　圆C1的圆心为C1(a,0),半径r1=1.
圆C2的圆心为C2(0,b),半径r2=2.
由圆C1与圆C2有3条公切线知,两圆外切,
∴|C1C2|==r1+r2=3.因此a2+b2=9,
设P(a,b)在圆O:x2+y2=9上,A(3,4),
则|PA|=.
∵|OA|==5,
∴|PA|min=|OA|-3=2.故选A.
3.C　根据题意知,圆(x-a)2+(y-a)2=4与圆x2+y2=1相交,两圆圆心的距离d==|a|,所以2-1<|a|<2+1,即<|a|<,所以-4.解析　(1)经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l的方程为=,即y=x-1.
因为圆C1与y轴相切于点(0,3),
所以圆心在直线y=3上.
由得所以圆C1的圆心坐标为(4,3),
故圆C1的半径为4,
所以圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16.
(2)由(1)知圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16,
即x2+y2-8x-6y+9=0,
圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0,
两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为2x+3y-4=0.
圆C1的圆心到直线2x+3y-4=0的距离d==,
所以两圆的公共弦长为2=2.
5.BC　圆C1:x2+y2=1,其圆心为C1(0,0),半径R=1,
圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0,即(x-3)2+(y+4)2=1,其圆心为C2(3,-4),半径r=1,
圆心距|C1C2|==5,
则|PQ|的最小值为|C1C2|-R-r=3,最大值为|C1C2|+R+r=7,故A错误,B正确.
对于C,两个圆心所在的直线斜率k==-,C正确.
对于D,两圆圆心距|C1C2|=5>R+r=2,∴两圆外离,不存在公共弦,D错误.
故选BC.
6.C　圆M的圆心为M(a,b),半径r=,则△MAB是边长为的等边三角形.
·=||·||·cos60°=××=,是定值,A中结论正确;
∵|OA|=|OB|=1,|AB|=,△OAB的AB边上的高h=,
∴S△ABO=××=.
∵S△MAB=×()2=,
∴S四边形OAMB=+=,是定值,B中结论正确;
∵S四边形OAMB=×|OM|×|AB|=,|AB|=,
∴|OM|=2,即=2,∴a2+b2=4,∵2(a2+b2)≥(a+b)2,∴(a+b)2≤8,
∴-2≤a+b≤2,当且仅当a=b时取等号,∴a+b的最小值为-2,C中结论错误;
∵a2+b2=4≥2ab,∴ab≤2,当且仅当a=b时取等号,∴ab的最大值为2,D中结论正确.故选C.
7.D　圆C1的方程可化为(x-2)2+(y-2)2=1,
圆C2的方程可化为(x-1)2+y2=1.
设圆C2关于直线x+y+1=0对称的圆为C'2,其圆心为C'2(a,b).
依题意得
因此,圆C'2:(x+1)2+(y+2)2=1.
如图所示.
∵|C1C'2|==5,
∴(|PM|+|PN|)min=|C1C'2|-2=3,故选D.
8.BCD　圆C1:x2+y2=1,其圆心为C1(0,0),半径为1;圆C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),其圆心为C2(3,-4),半径为r.
对于A,两圆的圆心距|C1C2|==5,若圆C1与圆C2无公共点,则两圆内含或外离,必有r+1<5或|r-1|>5,又r>0,所以06,故A错误;
对于B,当r=5时,圆C2:(x-3)2+(y+4)2=25,圆C1和圆C2的方程相减可得6x-8y-1=0,即两圆公共弦长所在直线的方程为6x-8y-1=0,故B正确;
对于C,当r=2时,圆C2:(x-3)2+(y+4)2=4,因为P,Q分别是圆C1与圆C2上的点,所以|PQ|的最小值为|C1C2|-2-1=2,最大值为|C1C2|+2+1=8,即|PQ|的取值范围为[2,8],故C正确;
对于D,当0假设|PA|=|PB|,则|PC1|2-1=|PC2|2-r2,
即+-1=(x0-3)2+(y0+4)2-r2,整理,得6x0-8y0+r2-26=0,假设成立,故过直线6x-8y+r2-26=0上任意一点分别作圆C1、圆C2的切线,则切线长相等,故D正确.
故选BCD.
9.解析　由得A.
由得B.
因为点A是线段OB的中点,所以2·=,
即有t=2s,s>0,t>0,
由解得xM=-,xN=.
因为A为线段MN的三等分点,所以|MA|=2|AN|,
即有+=2,
即=,两边平方并化简为9k2t2=t2(1+k2)2-t2,即有k4=7k2,由于k>0,解得k=.
10.解析　(1)设点P的坐标为(x,y),由|PA|=2|PB|可得,=2,整理可得x2+y2=4,所以曲线E的方程为x2+y2=4.
(2)依题意,得|OC|=|OD|=2,且∠COD=120°,则点O到直线l的距离为1,即=1,解得k=±.
(3)过定点(1,-1),理由如下:
连接OQ.依题意,得ON⊥QN,OM⊥QM,则M,N都在以OQ为直径的圆上,设为圆F.
Q是直线l:y=x-4上的动点,设Q(t,t-4),
则圆F的圆心为,且经过坐标原点,
故圆F的方程为x2+y2-tx-(t-4)y=0.
因为M,N在曲线E:x2+y2=4上,
所以由可得tx+(t-4)y-4=0,即直线MN的方程为tx+(t-4)y-4=0.
由t∈R且t(x+y)-4y-4=0,可得解得所以直线MN过定点,定点坐标为(1,-1).
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