第二章直线和圆的方程复习提升（Word含答案）

第二章直线和圆的方程复习提升
易混易错练　　　　　　　　　　　　　　　　
易错点1　弄不清直线的倾斜角、斜率的变化关系
1.(2022北京景山学校期中)已知直线l:ax-y-2=0和点P(2,1),Q(-3,2),若l与线段PQ相交,则实数a的取值范围是(　　)
A.-或a≥
C.-或a≥
2.(2022天津外国语中学期中)已知直线l过点P(1,0)且与以A(2,1),B(4,-3)为端点的线段AB有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围为　　　　　　　.
易错点2　忽略直线和圆的方程中的隐含条件
3.(2022四川南充期末)两条直线3x-2y-1=0与6x-4y+1=0间的距离是(　　)
A.
4.已知圆x2+y2+2k2x+2y+4k=0关于直线y=x对称,则k的值为(　　)
A.1　　　　　B.-1　　　　　C.-1或1　　　　　D.0
5.(2022安徽芜湖一中期中)已知两直线l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0,若l1∥l2,求实数m的值.
易错点3　应用直线和圆的方程时考虑不全面
6.已知直线l过点(1,2),且在y轴上的截距为x轴上的截距的2倍,则直线l的方程为　　　　.
7.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是　　　　　　　　　　.
8.已知直线l过两直线3x+4y-5=0,2x-3y+8=0的交点,且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.
9.已知圆C:x2+y2-4x+3=0.
(1)求过点M(3,2)的圆的切线方程;
(2)直线l过点N且被圆C截得的弦长为m,求m的取值范围;
(3)已知圆E的圆心在x轴上,与圆C相交所得的弦长为,且与圆x2+y2=16内切,求圆E的标准方程.
思想方法练　　　　　　　　　　　　　　
一、函数与方程思想在直线与圆中的应用
1.设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且圆与直线x-y+1=0相交的弦长为2,求圆的方程.
2.已知圆M:x2+(y-6)2=16,点P是直线l:x-2y=0上的一个动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点分别为A,B.
(1)当切线PA的长度为4时,求线段PM的长度;
(2)若△PAM的外接圆为圆N,试问:当点P在直线l上运动时,圆N是否过定点 若过,求出所有定点的坐标;若不过,说明理由;
(3)求线段AB长度的最小值.
二、分类讨论思想在直线与圆中的应用
3.(2022浙江舟山期末)已知圆C1:(x+1)2+(y-a)2=1与圆C2:(x-2)2+(y-4)2=16相切,则实数a的取值个数为(　　)
A.1　　　　　　　B.2
C.3　　　　　　　D.4
4.过点P(-1,6)且与圆(x+3)2+(y-2)2=4相切的直线方程是　　　　　　　.
三、转化与化归思想在直线与圆中的应用
5.若圆M:x2+y2-6x+8y=0上至少有3个点到直线l:y-1=k(x-3)的距离为,则k的取值范围是　　　　　　　　　.
6.已知点(x,y)是曲线y=上任意一点,则的取值范围是　　　　.
7.(2022重庆西南大学附属中学期中)若P是直线l:3x+4y+1=0上一动点,过P作圆C:(x-2)2+(y-2)2=4的两条切线,切点分别为A,B,则四边形PACB面积的最小值为　　　　.
四、数形结合思想在直线与圆中的应用
8.(2022安徽淮北二模)已知圆C1:x2+y2=2,圆C2:+y2=4.若过(0,-2)的直线l与圆C1,C2都有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A.[-]
C.[-1,0]∪[1,]
9.(2021四川仁寿一中月考)已知点P为直线y=x+1上的一点,M,N分别为圆C1:(x-4)2+(y-1)2=4与圆C2:x2+(y-4)2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　)
A.5　　　　　　　B.6
C.2　　　　　　　D.1
答案全解全析
易混易错练
1.D　∵直线l:ax-y-2=0恒过点(0,-2),设为A,且点P(2,1),
Q(-3,2),
∴kAP==,kAQ==-,
∵l与线段PQ相交,∴a≤-或a≥.故选D.
2.答案　∪
解析　如图所示.
设直线l过A点时斜率为k1,直线l过B点时斜率为k2,则k1==1,k2==-1,
所以直线l与线段AB有公共点时,直线l的斜率的取值范围为[-1,1],
所以l的倾斜角的取值范围为∪.
易错警示
求直线的斜率或倾斜角的取值范围时,要注意下面三个易错点:一是起、止直线的确定,从起始直线到终止直线要按逆时针旋转;二是若有斜率不存在的直线也符合题意,将斜率的范围分成两个区间;三要注意倾斜角为0的直线,将倾斜角的范围分成两个部分.
3.B　因为3×(-4)-(-2)×6=0,所以直线3x-2y-1=0与直线6x-4y+1=0平行.3x-2y-1=0可化为6x-4y-2=0,直线3x-2y-1=0与直线6x-4y+1=0间的距离是=,故选B.
易错警示
求两平行线之间的距离时,将一次项系数化为相等才能运用公式.
4.B　圆的方程可化为(x+k2)2+(y+1)2=k4-4k+1.
依题意得所以k=-1,故选B.
易错警示
解关于圆的一般方程问题时,易忽视D2+E2-4F>0导致错误,如本题忽视k4-4k+1>0.
5.解析　依题意得,1·3m-m2·(m-2)=0且1·2m-6·(m-2)≠0,
化简得m(m2-2m-3)=0且m≠3,
所以m=0或m=-1.
故所求实数m的值为0或-1.
易错警示
解决与直线的位置关系有关问题时,一要注意斜率不存在的情况,二要排除重合的情况(如本题中m=3).
6.答案　2x-y=0或2x+y-4=0
解析　根据题意,直线l分2种情况讨论:
①当直线过原点时,由直线经过点(1,2),知所求直线方程为y=2x,即2x-y=0;
②当直线不过原点时,设直线l的方程为+=1,代入点(1,2)得+=1,解得a=2,此时直线l的方程为+=1,即2x+y-4=0.
故直线l的方程为2x-y=0或2x+y-4=0.
易错警示
在利用直线的截距式方程解决相关直线问题时,注意分析直线的截距为0是否符合题意,防止漏解导致错误.
7.答案　(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9
解析　设动圆圆心为(x,y),
若动圆与已知圆外切,则=4+1,
∴(x-5)2+(y+7)2=25;
若动圆与已知圆内切,则=4-1,
∴(x-5)2+(y+7)2=9.
∴动圆圆心的轨迹方程是(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9.
易错警示
动圆的圆心可在定圆的内部,两圆内切;也可在定圆的外部,两圆外切.解题时防止遗漏导致错误.
8.解析　解方程组得
即交点坐标为(-1,2).
①当直线l的斜率存在时,
设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.
由题意得=,
解得k=-,所以直线l的方程为y-2=-(x+1),
即x+3y-5=0.
②当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,符合题意.
综上,所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.
易错警示
在利用直线的点斜式方程解决相关问题时,注意分析直线的斜率是否存在.
9.解析　(1)圆C:x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,其圆心为C(2,0),半径为1.
当切线的斜率不存在时,切线方程为x=3,符合题意.
当切线的斜率存在时,设切线斜率为k,则切线方程为y-2=k(x-3),即kx-y-3k+2=0,
由圆心到切线的距离等于半径,得=1,解得k=,此时切线方程为3x-4y-1=0.
综上,圆的切线方程为x=3或3x-4y-1=0.
(2)当直线l⊥CN时,弦长m最短,此时直线l的方程为x-y-1=0,又|CN|==,
∴mmin=2=,
当直线l经过圆心时,弦长最长,mmax=2.
∴m∈[,2].
(3)设圆E:(x-a)2+y2=r2(r>0),与圆C相交于A,B两点,∵|AB|=,∴两点的纵坐标分别为,-,将y2=代入圆C的方程,得x=或x=,
∴或在圆E上.
∵圆E内切于圆x2+y2=16,
∴圆E经过点(4,0)或(-4,0).
若圆E经过和(4,0),则其标准方程为+y2=;
若圆E经过和(4,0),则其标准方程为(x-3)2+y2=1;
若圆E经过和(-4,0),则其标准方程为+y2=;
若圆E经过和(-4,0),则其标准方程为+y2=.
综上,圆E的标准方程为+y2=或(x-3)2+y2=1或+y2=或+y2=.
思想方法练
1.解析　设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
利用待定系数法通过解方程组求解圆的方程.
则圆心为(a,b),半径为r.
∵点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点A'仍在这个圆上,
∴圆心(a,b)在直线x+2y=0上.
∴a+2b=0①,且(2-a)2+(3-b)2=r2②.
又∵直线x-y+1=0与圆相交的弦长为2,
∴r2-=()2.③
解由方程①②③组成的方程组,
得或
∴所求圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.
2.解析　(1)由题意知,圆M的半径r=|AM|=4,圆心为M(0,6),
∵PA是圆的一条切线,∴∠MAP=90°.
∴|PM|==8.
(2)圆N过定点.
设P(2a,a),∵∠MAP=90°,∴经过A,P,M三点的圆N以MP为直径,
∴圆心N,半径为=,
∴圆N的方程为(x-a)2+=,
即x2+y2-6y+a(-2x-y+6)=0.
分别令x2+y2-6y=0,-2x-y+6=0,联立方程构成方程组,解方程组得直线过的定点坐标.
由解得或
∴圆N过定点(0,6)和.
(3)由(2)知,圆N:x2+y2-2ax-ay-6y+6a=0,①
圆M:x2+(y-6)2=16,即x2+y2-12y+20=0,②
②-①,得2ax+(a-6)y+20-6a=0,即为直线AB的方程.
又圆心M(0,6)到直线AB的距离
d==,
∴|AB|=2=2=8,
把AB的长度表示为a的函数,利用二次函数的最值可得AB长度的最小值.
∴当a=时,线段AB的长度有最小值.
思想方法
函数与方程思想是分析和解决解析几何问题的一种非常重要的数学思想.求圆的方程、直线与圆的交点或个数判断、弦长、圆与圆的交点等都需要用到函数与方程思想.
3.C　圆(x+1)2+(y-a)2=1的圆心为C1(-1,a),半径R1=1,圆(x-2)2+(y-4)2=16的圆心为C2(2,4),半径R2=4.
两个圆相切要分外切和内切两种情况进行讨论.
当两圆外切时,有|C1C2|=R1+R2,即=5,解得a=0或a=8;
当两圆内切时,有|C1C2|=R2-R1,即=3,解得a=4.
综上所述,a=0或a=8或a=4.故选C.
4.答案　3x-4y+27=0或x=-1
解析　不确定直线l的斜率是否存在,需要分类讨论.
当所求直线的斜率存在时,设所求直线的方程为y-6=k(x+1),即kx-y+k+6=0,则圆心(-3,2)到直线的距离d==2,解得k=,此时直线方程为3x-4y+27=0;当所求直线的斜率不存在时,所求直线的方程为x=-1,验证可知,符合题意.
综上,所求直线的方程为3x-4y+27=0或x=-1.
思想方法
本章涉及分类讨论的有直线和圆的位置关系中直线的斜率是否存在,圆与圆的位置关系中两圆心的距离和半径之间的大小关系以及圆心的位置等.
5.答案　(-∞,-]∪[,+∞)
解析　圆M的标准方程为(x-3)2+(y+4)2=25,圆心为M(3,-4),半径为5,要满足题意,由圆的几何性质得圆心M(3,-4)到直线l:y-1=k(x-3)的距离不超过,则≤,
将圆上满足条件的点的个数问题转化为圆心到直线的距离问题.
所以k2≥3,解得k≥或k≤-.
6.答案　[0,2]
解析　曲线y=是以原点为圆心,2为半径的上半圆,如图,表示半圆上的点(x,y)(设为P)与定点(3,2)(设为Q)连线的斜率.设曲线与y轴交于点A(0,2),与x轴正半轴交于点B(2,0).易知kQB==2,kQA=0,则直线QA与半圆相切,∴0≤kPQ≤2,
将直线的斜率的范围转化为直线与圆的位置关系.
即的取值范围是[0,2].
7.答案　2
解析　圆C:(x-2)2+(y-2)2=4,其圆心为C(2,2),半径r=2.
由PA⊥AC,PB⊥BC,|PA|=|PB|,可得S四边形PACB=2S△APC=2××|AP|×
|AC|=2|AP|.
将四边形的面积转化为三角形的面积,进一步转化为切线长.
当切线PA的长度最小时,四边形PACB的面积取得最小值,而|PA|=
=,所以当|PC|最小时,切线PA的长度最小.
|PC|的最小值为圆心C到直线l:3x+4y+1=0的距离,为=3,
将切线长转化为定点到动点的距离,进一步转化为点到直线的距离.
则|PA|的最小值为==,
故四边形PACB面积的最小值为2.
思想方法
转化与化归思想在解析几何中常表现为一般性点或图形问题转化为特殊点或图形问题,特殊结构的代数式、函数、方程等,充分发掘其相关几何意义,转化为与斜率公式、距离公式等有关的问题进行解决.
8.D　由题意可知,过(0,-2)的直线l位于与两个圆分别相切的直线之间的部分(包括这两条直线)时满足题意,
借助几何图形找到满足条件的位置,进而求解.
设直线l的方程为y=kx-2,由=,得k=1或k=-1(舍去),由=2,得k=或k=0(舍去).所以直线l的斜率的取值范围是[1,].
9.C　如图所示,圆C1:(x-4)2+(y-1)2=4的圆心为C1(4,1),半径r1=2,圆C2:x2+(y-4)2=1的圆心为C2(0,4),半径r2=1,可得圆心距|C1C2|==5,所以|PM|+|PN|≥5-r1-r2=2,当M,N,C1,C2,P共线时,取得最小值,
数形结合分析最值与动点、定点之间的关系.
故|PM|+|PN|的最小值为2.故选C.
思想方法
数形结合思想主要是通过直角坐标系与几何图形相结合,使得几何图形上的每个点与直角坐标系里的坐标(有序实数对)一一对应,实现数和形的互化.与圆有关的最值问题、直线与圆的交点问题、圆与圆的位置关系等利用数形结合思想比较简便.
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