第二章直线和圆的方程综合拔高练（Word含解析）

第二章直线和圆的方程综合拔高练
考点1　直线方程及其应用
1.(2020全国Ⅲ文,8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为(　　)
A.1　　　　　B.　　　　　D.2
2.(2021上海春季高考,5)直线x=-2与直线x-y+1=0的夹角为　　　　.
考点2　圆的方程及其应用
3.(2021北京,9)已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=kx+m,则当k的值发生变化时,直线l被圆C所截的弦长的最小值为2,则m的取值为(　　)
A.±2　　　　　　　B.±　　　　　
C.±　　　　　　　D.±3
4.(多选)(2021新高考Ⅰ,11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(　　)
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3
D.当∠PBA最大时,|PB|=3
5.(多选)(2021新高考Ⅱ,11)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　　)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
6.(2020北京,5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为(　　)
A.4　　　　　　　B.5 C.6　　　　　　　D.7
7.(2020全国Ⅰ文,6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　)
A.1　　　　　　　B.2 C.3　　　　　　　D.4
8.(2020全国Ⅱ理,5)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为(　　)
A.
C.
9.(2020全国Ⅰ理,11)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为(　　)
A.2x-y-1=0　　　　　　　B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0　　　　　　　D.2x+y+1=0
10.(2021天津,12)若斜率为的直线与y轴交于点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于点B,则|AB|=　　　　.
11.(2020浙江,15)已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k=　　　　,b=　　　　.
12.(2020天津,12)已知直线x-y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　
应用实践
1.(2022四川成都阳安中学期中)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,里面证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比值为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中,设A(-3,0),B(3,0),动点M满足=2,则动点M的轨迹方程为(　　)
A.x2+(y-5)2=9　　　　　　　 B.x2+(y+5)2=9
C.(x-5)2+y2=16　　　　　　　D.(x+5)2+y2=16
2.(2022北京第十三中学期中)若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值不可以为(　　)
A.4　　　　　　　 B.6
C.3+1　　　　　　　D.8
3.(2021安徽阜阳太和一中月考)已知点P(t,t),t∈R,点M是圆A:x2+(y-1)2=上的动点,点N是圆B:(x-2)2+y2=上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是(　　)
A.-1　　　　　　　B.2
C.3　　　　　　　 D.
4.(2021江西南昌二中月考)已知圆C1:(x-2)2+y2=4,C2:(x-2-5cosθ)2
+(y-5sinθ)2=1(θ∈R),过圆C2上一点P作圆C1的两条切线,切点分别是E,F,则·的最小值是(　　)
A.6　　　　　　　B.5
C.4　　　　　　　D.3
5.(多选)(2022广东顺德一中期中)已知点A是直线l:x+y-=0上一定点,点P,Q是圆x2+y2=1上的动点,若∠PAQ的最大值为90°,则点A的坐标是(　　)
A.(0,-1)
C.(-1,1)
6.(2021新高考八省(市)联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为　　　　.
7.(2022北京汇文中学期中)已知过点M(1,1)的直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=5相切,且与直线ax+y-1=0垂直,求a的值及直线l的方程.
8.(2022上海复旦大学附属中学月考)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径),规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别是AC和BD(C,D为垂足),测得|AB|=10,|AC|=6,|BD|=12(单位:百米).
(1)若道路PB与AB垂直,求道路PB的长;
(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处 并说明理由;
(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.
迁移创新
9.(2020广东佛山一中期中)规定:在桌面上,用母球击打目标球,使目标球运动,球的位置是指球心的位置,我们说球A是指该球的球心点A.两球碰撞后,目标球在两球的球心所确定的直线上运动,目标球的运动方向是指目标球被母球击打时,母球球心所指向目标球球心的方向.将所有的球都简化为平面上半径为1的圆,且母球与目标球有公共点时,目标球就开始运动,在桌面上建立平面直角坐标系,解决下列问题:
(1)如图①,若母球A的位置为(0,0),目标球B的位置为(4,0),要使目标球B向B'(8,-4)处运动,求碰撞前母球A的球心运动的直线方程;
(2)如图②,若母球A的位置为(0,-2),目标球B的位置为(4,0),能否让母球A击打目标球B后,使目标球B向B'(8,-4)处运动
(3)当A的位置为(0,a)时,使得母球A击打目标球B,目标球B(4,0)可以向能碰到目标球C(7)的方向运动,求a的最小值(只需要写出结果即可).
图①
图②
答案全解全析
1.B　由y=k(x+1)可知直线过定点(-1,0),设为P,设A(0,-1),当直线y=k(x+1)与AP垂直时,点A到直线y=k(x+1)的距离最大,其最大距离为|AP|=.故选B.
2.答案　
解析　因为直线x=-2的斜率不存在,倾斜角为,直线x-y+1=0的斜率为,倾斜角为,所以直线x=-2与直线x-y+1=0的夹角为-=.
3.C　设圆心C到直线l的距离为d,则d=,当弦长最小时,d最大,此时k=0,d=|m|,由题意知m2+1=4,所以m=±,故选C.
4.ACD　由题意可知直线AB的方程为+=1,
即x+2y-4=0,则圆心(5,5)到直线AB的距离d==>4,
∴直线AB与圆(x-5)2+(y-5)2=16相离,
∴点P到直线AB的距离的取值范围为,
∵-4∈(0,1),+4∈(8,9),∴A正确,B错误.
过点B作圆的两条切线,切点分别为P1,P2,如图,当点P在切点P1的位置时,∠PBA最小,当点P在切点P2的位置时,∠PBA最大,易知|P1B|=|P2B|,圆心(5,5)到点B的距离为,圆的半径为4,所以|P1B|=|P2B|===3,故C,D均正确.故选ACD.
5.ABD　圆心C(0,0)到直线l的距离d=,
若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,
所以d==|r|,
所以直线l与圆C相切,故A正确.
若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2所以d=>|r|,
所以直线l与圆C相离,故B正确.
若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,
所以d=<|r|,
所以直线l与圆C相交,故C错误.
若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,
所以d==|r|,
所以直线l与圆C相切,故D正确.故选ABD.
6.A　设圆心为A(x,y),由已知得(x-3)2+(y-4)2=1,即A在以(3,4)为圆心,1为半径的圆上,所以圆心A到原点的距离的最小值为-1=5-1=4.故选A.
7.B　由x2+y2-6x=0得圆心为(3,0),设此点为C,点(1,2)为A,当过点A的弦与AC垂直时,弦长最小,易知|AC|==2,因为半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,所以弦的长度的最小值为2=2,故选B.
8.B　由于圆上的点(2,1)在第一象限,若圆心不在第一象限,则圆至少与一条坐标轴相交,不符合题意,所以圆心必在第一象限.
设圆心的坐标为(a,a)(a>0),则圆的半径为a,圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2.
由题意可得(2-a)2+(1-a)2=a2,整理得a2-6a+5=0,解得a=1或a=5.
所以圆心坐标为(1,1)或(5,5),
圆心(1,1)到直线2x-y-3=0的距离d1==;
圆心(5,5)到直线2x-y-3=0的距离d2==.
所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为.故选B.
9.D　☉M的方程化为标准形式为(x-1)2+(y-1)2=4,半径r=2,M(1,1),如图,由题可知,AB⊥PM,
|PM|·|AB|=2S四边形APBM=2(S△PAM+S△PBM)=2(|PA|+|PB|).
∵|PA|=|PB|,
∴|PM|·|AB|=4|PA|=4=4,
当|PM|最小时,|PM|·|AB|最小,易知|PM|min==,
此时|PA|=1,AB∥l,设直线AB的方程为y=-2x+b(b≠-2),
圆心M到直线AB的距离为d=,
|AB|==,
∴d2+=|MA|2,即+=4,解得b=-1或b=7(舍去).
综上,直线AB的方程为y=-2x-1,即2x+y+1=0,故选D.
10.答案　
解析　设圆心为M,由直线的斜率为知此切线的倾斜角为60°,又切线与y轴交点为A,所以∠MAB=30°,又∠ABM=90°,且|MB|=1,所以|AM|=2,即|AB|==.
11.答案　;-
解析　由直线与圆相切的充要条件知

12.答案　5
解析　设圆心(0,0)到直线x-y+8=0的距离为d,则d==4,
∴r2=+d2=32+42=25,又r>0,∴r=5.
1.C　设M(x,y),依题意得,=2,
化简,得x2-10x+y2+9=0,
配方,得(x-5)2+y2=16.故选C.
2.D　圆C:(x+3)2+(y-3)2=1的圆心坐标为(-3,3),半径为1,直线y=kx-1过定点(0,-1).
由图可知,圆心C到直线y=kx-1距离的最大值为=5,则点P到直线y=kx-1距离的最大值为5+1=6.
结合选项知,只有D不符合.故选D.
3.B　圆x2+(y-1)2=的圆心为A(0,1),圆(x-2)2+y2=的圆心为B(2,0),则|PN|-|PM|≤|PB|+-=|PB|-|PA|+1.设A关于直线y=x的对称点为A'(1,0),则|PB|-|PA|+1=|PB|-|PA'|+1≤|A'B|+1=2,故选B.
4.A　由圆C2:(x-2-5cosθ)2+(y-5sinθ)2=1(θ∈R)可得,圆C2的半径为1,圆心在圆(x-2)2+y2=25上运动.由C1(2,0),可得|PC1|∈[4,6].
由图可知,·=cos2α=(|PC1|2-4)·(1-2sin2α)=
(|PC1|2-4)=|PC1|2+-12,
由y=|PC1|2+-12在|PC1|2∈[16,36]上为增函数可知,当|PC1|2=16时,·取最小值,为6,故选A.
5.AC　如图所示.
原点到直线l的距离d==1,则直线l与圆x2+y2=1相切.
由图可知,当AP,AQ均为圆x2+y2=1的切线时,∠PAQ取得最大值,
连接OA,OP,OQ,由于∠PAQ的最大值为90°,且此时∠APO=∠AQO=90°,|OP|=|OQ|=1,所以四边形APOQ为正方形,所以|OA|=|OP|=.
设A(t,-t),
由两点间的距离公式得|OA|==,
整理得t2-t=0,解得t=0或t=,因此,点A的坐标为(0,)或(,0).故选AC.
6.答案　-3,
解析　解法一:设正方形的一条对角线所在直线的倾斜角为α,且tanα=2,
则正方形的两条邻边的倾斜角为α+,α-,
tan==-3,tan==,
∴正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为-3,.
解法二:建立平面直角坐标系,如图,
设O(0,0),A(1,2),则B(-2,1),D(2,-1),
所以kAB==,kAD==-3.
∴正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为-3,.
7.解析　易知点M(1,1)在圆(x+1)2+(y-2)2=5上,
又过点M(1,1)的直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=5相切,且与直线ax+y-1=0垂直,
所以切点M与圆心(-1,2)的连线与直线ax+y-1=0平行或重合,
所以-a==-,所以a=.
所以直线l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
8.解析　解法一:(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.
由已知条件得,四边形ACDE为矩形,|DE|=|BE|=|AC|=6,
|AE|=|CD|=8.
因为PB⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE==.
所以|PB|===15.
因此道路PB的长为15百米.
(2)不能.理由如下:①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处,连接AD,由(1)知|AD|==10,
从而cos∠BAD==>0,所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此,Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.
(3)先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;
当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,|OF|≥|OB|,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.
设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,|P1B|=15,此时|P1D|=|P1B|sin∠P1BD=|P1B|cos∠EBA=15×=9;
当∠OBP>90°时,在△PP1B中,|PB|>|P1B|=15.
由上可知,d≥15.
再讨论点Q的位置.
由(2)知,要使得|QA|≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当|QA|=15时,|CQ|===3.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上,当PB⊥AB,点Q位于点C右侧,且|CQ|=3时,d最小,此时P,Q两点间的距离|PQ|=|PD|+|CD|+|CQ|=17+3.
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3)百米.
解法二:(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.
以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.
因为|BD|=12,|AC|=6,所以|OH|=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.
因为AB为圆O的直径,|AB|=10,
所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为.
因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为-,
直线PB的方程为y=-x-.
所以P(-13,9),|PB|==15.
因此道路PB的长为15百米.
(2)不能.理由如下:①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则|EO|=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),
又A(4,3),所以线段AD:y=-x+6(-4≤x≤4).
在线段AD上取点M,
因为|OM|=<=5,
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.
(3)先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;
当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,|OF|≥|OB|,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.
设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,|P1B|=15,此时P1(-13,9);
当∠OBP>90°时,在△PP1B中,|PB|>|P1B|=15.
由上可知,d≥15.
再讨论点Q的位置.
由(2)知,要使得|QA|≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当|QA|=15时,设Q(a,9),由|AQ|==15(a>4),得a=4+3,所以Q(4+3,9),此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上,当P(-13,9),Q(4+3,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离|PQ|=4+3-(-13)=17+3.
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3)百米.
9.解析　(1)过点B(4,0)与点B'(8,-4)的直线方程为x+y-4=0,
依题意知A,B两球碰撞时,母球A的球心在直线x+y-4=0上,且在第一象限,此时|AB|=2.
设A,B两球碰撞时母球A的球心为A'(a,b),如图①所示,则有解得
图①
即A,B两球碰撞时母球A的球心为A'(4-,),∴碰撞前母球A运动的直线方程为y=x=x.
(2)不能.如图②,由(1)知,A'(4-,),
又A(0,-2),B(4,0),
∴=(4-,2+),=(-,),
∴·=(4-,2+)·(-,)=4-2>0,故∠AA'B为锐角.
图②
∴点B(4,0)到直线AA'的距离小于2,
故母球A的球心未到直线BB'上的点A'之前就会与目标球B碰撞.
故不能让母球A击打目标球B后,使目标球B向B'(8,-4)处运动.
(3)a的最小值为-2.
要使得a最小,临界条件为母球A从目标球B的左上方A'处撞击目标球B后,目标球B从目标球C的右上方B'处撞击目标球C.如图③所示,
图③
设B'(x,y)是目标球B可碰到目标球C的所有路径中最远离BC的那条路径上离目标球C最近的点,则有
联立
解得
∴B'(8,-4),∴直线CB'的倾斜角为45°,∴直线A'B的倾斜角为135°,易得A'(3,).过A'(3,)作倾斜角为45°的直线,交y轴于点A,易得A(0,-2),若a<-2,则母球A会在到达A'之前就与目标球B碰撞,不符合题意.因此a的最小值为-2.
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