专题强化练3 对称问题及其应用
1.(2022江苏连云港期中)点(1,1)关于直线l:x+y+2=0对称的点的坐标为( )
A.(-1,-1) B.(-2,-2)
C.(0,0) D.(-3,-3)
2.(2022广东广州四校联考)已知P(a,b)与点Q(b+1,a-1)关于直线l对称,则直线l的方程为( )
A.y=x-1 B.y=x+1
C.y=-x+1 D.y=-x-1
3.(2022江苏镇江扬中第二高级中学月考)已知A(3,1),B(-1,2),若∠ACB的平分线所在直线为l:y=x+1,则AC所在直线的方程为( )
A.y=2x+4 B.y=x-3
C.x-2y-1=0 D.3x+y+1=0
4.(2022山西长治二中月考)若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过点( )
A.(4,-2) B.(0,4)
C.(-2,4) D.(0,2)
5.(2022广东深圳南山外国语学校期中)入射光线在直线l1:2x-y-3=0上,先经过x轴反射到直线l2上,再经过y轴反射到直线l3上,则直线l3的方程为( )
A.x-2y+3=0 B.2x-y+3=0
C.2x+y-3=0 D.2x-y+6=0
6.(2021安徽六安舒城中学月考)已知点A(3,1),在直线y=x和y=0上分别找一点M和N,使△AMN的周长最短,则最短周长为( )
A.4 B.2
7.(2022辽宁沈阳郊联体期中)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使路程最短 在平面直角坐标系中,设军营所在位置为B(-4,-4),将军从点A(-2,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=2,则“将军饮马”的最短总路程为( )
A. D.10
8.(2022山东日照实验高级中学期中)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点,光线从点P出发经BC,CA反射后又回到点P,若光线QR经过△ABC的重心,则△PQR的周长等于( )
A.
9.求函数f(x)=的最小值.
答案全解全析
1.D 设所求对称点的坐标为(m,n),
则解得
所以所求对称点的坐标为(-3,-3).故选D.
2.A 易知kPQ==-1,∴直线l的斜率为1.
设l的方程为y=x+m.易知PQ的中点坐标为,所以=+m,解得m=-1,所以直线l的方程为y=x-1.故选A.
3.C 设B关于l:y=x+1的对称点为B'(x,y),则BB'⊥l,且BB'的中点在l上,
∴解得∴B'(1,0).
又B'在直线AC上,A(3,1),
∴直线AC的方程为=,即x-2y-1=0.
4.D 易知l1:y=k(x-4)过定点(4,0).
∵l1与l2关于点(2,1)对称,∴点(4,0)关于点(2,1)对称的点一定在直线l2上.
设点(4,0)关于点(2,1)对称的点的坐标为(x,y),则解得∴直线l2恒过点(0,2).故选D.
5.B 设直线l1:2x-y-3=0与x轴,y轴的交点分别为A,B,则A,B(0,-3).易知点A关于y轴的对称点A1的坐标为,点B关于x轴的对称点B1的坐标为(0,3),且A1,B1在反射光线l3上,故l3的方程为+=1,即2x-y+3=0.故选B.
6.B 设点A关于直线y=x和y=0的对称点分别为B,C,则B(1,3),C(3,-1),∴|BC|=2.
∵|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|≥|BC|,
∴最短周长为2.故选B.
7.D 设点A(-2,0)关于直线x+y-2=0的对称点为C(a,b),则解得即C(2,4).所以所求最短总路程为|BC|==10.故选D.
8.A 以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则B(4,0),C(0,4),A(0,0),所以直线BC的方程为x+y-4=0.设P(t,0)(0结合对称关系可知|QP|=|QP1|,|RP|=|RP2|,所以△PQR的周长即线段P1P2的长度,为=.故选A.
9.解析 f(x)=+=
+.
设A(2,3),B(6,1),P(x,0),如图,将所求问题转化为求|PA|+|PB|的最小值.点A关于x轴的对称点A'的坐标为(2,-3),
∴|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|=4,∴f(x)的最小值为4.
5专题强化练5 圆系方程的运用
1.已知圆C1:f(x,y)=0,点P1(x1,y1)在圆C1上,点P2(x2,y2)不在圆C1上,则方程f(x,y)-f(x1,y1)-f(x2,y2)=0表示的圆C2与圆C1的关系是( )
A.圆C2与圆C1重合
B.圆C2与圆C1是同心圆
C.圆C2过P1且与圆C1的圆心相同
D.圆C2过P2且与圆C1的圆心相同
2.(多选)(2022黑龙江哈尔滨月考)设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列命题正确的是( )
A.无论k如何变化,圆心Ck始终在一条直线上
B.所有圆Ck均经过点(3,0)
C.存在一条定直线始终与圆Ck相切
D.若k∈,则圆Ck上总存在两点到原点的距离为1
3.(2022山西太原期中)过点M(2,-1),且经过圆x2+y2-4x-4y+4=0与圆x2+y2-4=0的交点的圆的方程为( )
A.x2+y2+x+y-6=0 B.x2+y2+x-y-8=0
C.x2+y2-x+y-2=0 D.x2+y2-x-y-4=0
4.(2022河南中原名校联考)过点P(2,2)作圆C:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)的两条切线,切点分别为A,B,给出下列四个结论:
①0②若△PAB为直角三角形,则r=4;
③△PAB外接圆的方程为x2+y2=4;
④直线AB的方程为4x+4y+16-r2=0.
其中所有正确结论的序号为( )
A.②④ B.③④
C.②③ D.①②④
5.(2022山东师大附中期中)已知圆C1:x2+y2+6x-4=0与圆C2:x2+y2+6y-28=0,则经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程为 .
6.经过两圆x2+y2+3x-y-2=0和3x2+3y2+2x+y+1=0的交点和坐标原点的圆的方程为 .
7.(2021浙江台州之江高级中学期末)已知一个圆经过直线l:2x+y+4=0与圆C:x2+y2+2x-4y=0的两个交点,并且有最小面积,则此圆的方程为 .
8.圆系x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0(k∈R,k≠-1)中,任意两个圆的位置关系如何
9.(2022吉林四平一中月考)已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P,Q两点,O为坐标原点,若OP⊥OQ,求实数m的值.
答案全解全析
1.D 由题意得f(x1,y1)=0,f(x2,y2)≠0,
由f(x,y)-f(x1,y1)-f(x2,y2)=0得f(x,y)=f(x2,y2)≠0,它表示过P2且与圆C1圆心相同的圆.故选D.
名师指点
1.以(a,b)为圆心的同心圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=λ2(λ>0),与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+λ=0.
2.过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R).
3.过两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)和x2+y2+D2x+E2y+F2=0.
为了避免利用上述圆系方程时讨论圆C2,可等价转化为过圆C1和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ[(D1-D2)x+
(E1-E2)·y+(F1-F2)]=0.
2.ACD 圆心在直线y=x上,A正确;
假设点(3,0)在圆Ck上,则(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,Δ=36-40=-4<0,无解,假设不成立,B不正确;
存在定直线y=x±2始终与圆Ck相切,C正确;
若圆Ck上总存在两点到原点的距离为1,则问题转化为圆x2+y2=1与圆Ck有两个交点,则2-1<|k|<2+1,解得k∈∪,D正确.故选ACD.
3.A 设过圆x2+y2-4x-4y+4=0与圆x2+y2-4=0的交点的圆的方程为(x2+y2-4x-4y+4)+λ(x2+y2-4)=0(λ≠-1),
将M的坐标代入可得(4+1-8+4+4)+λ(4+1-4)=0,解得λ=-5,
所以所求圆的方程为x2+y2+x+y-6=0,故选A.
4.A 由题意可得P在圆外,则(2+2)2+(2+2)2>r2,
又r>0,所以0若△PAB为直角三角形,则四边形PACB是边长为r的正方形,可得|PC|=r==4,解得r=4,故②正确;
由PA⊥AC,PB⊥BC及四点共圆的判定可得P,A,C,B是以PC为直径的圆上四点,
又线段PC的中点为(0,0),|PC|=4,所以所求圆的方程为x2+y2=8,故③错误;
由③可得△PAB的外接圆和圆C相交于点A,B,由x2+y2=8和(x+2)2+(y+2)2=r2,两式相减可得4x+4y+16-r2=0,即为直线AB的方程,故④正确.
故选A.
5.答案 x2+y2-x+7y-32=0
解析 设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ≠-1),其圆心坐标为,将圆心坐标代入直线x-y-4=0,解得λ=-7,
所以所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0.
6.答案 x2+y2+x+y=0
解析 由题可设所求圆的方程为(x2+y2+3x-y-2)+λ(3x2+3y2+2x+
y+1)=0(λ≠-1).
∵坐标原点在所求的圆上,∴-2+λ=0,解得λ=2,
故所求圆的方程为(x2+y2+3x-y-2)+2(3x2+3y2+2x+y+1)=0,
即x2+y2+x+y=0.
7.答案 x2+y2+x-y+=0
解析 设所求圆的方程为x2+y2+2x-4y+λ(2x+y+4)=0,即x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+4λ=0,
圆心坐标为,
显然当圆心在直线2x+y+4=0上时,所求圆的半径最小,从而面积最小,
∴2(-1-λ)++4=0,解得λ=,
故所求圆的方程为x2+y2+x-y+=0.
8.解析 圆系方程可化为x2+y2+10y+20+k(2x+4y+10)=0.
由题意可知即
易知圆心(0,-5)到直线x+2y+5=0的距离恰等于圆x2+(y+5)2=5的半径,故直线x+2y+5=0与圆x2+(y+5)2=5相切,即上述方程组有且只有一个解,从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点,故它们的关系是外切或内切.
9.解析 设过直线x+2y-3=0与圆x2+y2+x-6y+m=0交点的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+λ(x+2y-3)=0,即x2+y2+(1+λ)x+2(λ-3)y+m-3λ=0.
(*)
依题意,O在以PQ为直径的圆上,
则圆心在直线x+2y-3=0上,
则-+2(3-λ)-3=0,解得λ=1.
又O(0,0)满足方程(*),所以m-3λ=0,故m=3.
7专题强化练4 直线系方程及其应用
1.(2022广东佛山顺德期中)直线l:(k+1)x+2ky+3k-1=0经过定点A,则A的纵坐标为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.(2022江苏南京鼓楼月考)两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则|AB|=( )
A.
C.
3.(2022福建福州八县(市)协作校期中)已知直线mx-ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y轴上的截距为,则m,n的值分别为( )
A.4,3 B.-4,3
C.-4,-3 D.4,-3
4.(2022江西南昌湾里一中六校期中联考)过直线x+y-3=0和2x-y=0的交点,且与2x+y-5=0垂直的直线方程是( )
A.4x+2y-3=0 B.4x-2y+3=0
C.x+2y-3=0 D.x-2y+3=0
5.(2021福建厦门一中月考)设m∈R,动直线l1:x+my-1=0过定点A,动直线l2:mx-y-2m+=0过定点B,直线l1与l2相交于点P(异于点A,B),则△PAB周长的最大值为( )
A.+1
C.+2
6.(2022北京房山月考)直线l经过直线l1:2x+3y+2=0与l2:3x-4y-2=0的交点,且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,则直线l的方程为 .
7.(2022甘肃金昌永昌第一高级中学期中)如图,已知直线l1:x+y-1=0,现将直线l1向上平移到直线l2的位置,若l2,l1和坐标轴围成的梯形的面积为4,则l2的方程为 .
8.(2022四川成都外国语学校期中)已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的方程,使得:
(1)l'与l平行,且过点(-1,3);
(2)l'与l垂直,且l'与两坐标轴围成的三角形的面积为4.
9.(2021山西怀仁一中月考)已知直线l:(1+2m)x+(m-1)y+7m+2=0.
(1)求证:无论m为何实数,直线l恒过一定点M;
(2)过定点M作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求直线l1的方程.
10.(2021上海建平中学期中)直线l过点P(3,2)且与x轴,y轴正半轴分别交于A,B两点.
(1)若直线l的斜率为-2,求△AOB的面积;
(2)若△AOB的面积S满足12≤S<,求直线l的斜率的取值范围;
(3)如图,若点P分向量所成的比的值为2,过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M,动点E,F分别在线段MP和OA上,直线EF平分直角梯形OAPM的面积,求证:直线EF必过一定点,并求出该定点的坐标.
答案全解全析
1.A 直线l:(k+1)x+2ky+3k-1=0可化为k(x+2y+3)+x-1=0.
由解得
∴直线l过定点A(1,-2).∴A的纵坐标为-2.故选A.
名师指点
直线系是指具有某种共同属性的一类直线的集合,它的方程称为直线系方程.
几种常见的直线系方程:
(1)过已知点P(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-x0)(k为参数),但不包括x=x0.
(2)斜率为k的直线系方程为y=kx+b(b是参数).
(3)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线系方程为Ax+By+λ=0(A,B不同时为0,λ≠C).
(4)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线系方程为Bx-Ay+λ=0(A,B不同时为0).
(5)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为参数),但不包括l2.
2.C 直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2).
(2a-1)x+5ay-1=0可化为a(2x+5y)-x-1=0,
由解得所以B.
所以|AB|==.故选C.
3.B 设与直线4x+3y+5=0平行的直线方程为4x+3y+t=0(t≠5),即y=-x-(t≠5).令-=,得t=-1,∴所求直线方程为-4x-3y+1=0,∴m=-4,n=3.故选B.
4.D 解法一:由得
∴两直线的交点为(1,2).
易知直线2x+y-5=0的斜率为-2,
∴所求直线的斜率为,
∴所求直线的方程为y-2=(x-1),即x-2y+3=0.故选D.
解法二:设要求的直线方程为(x+y-3)+λ(2x-y)=0,即(1+2λ)x+(1-λ)y-3=0.
∵该直线与直线2x+y-5=0垂直,
∴2(1+2λ)+1×(1-λ)=0,解得λ=-1.
∴所求直线方程为-x+2y-3=0,即x-2y+3=0.
故选D.
5.D 直线l1:x+my-1=0过定点A(1,0).
直线l2:mx-y-2m+=0,即m(x-2)=y-,
∴l2过定点B(2,).
由于1·m+m·(-1)=0,∴l1⊥l2,
又P是直线l1,l2的交点,
∴PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=4.
易知2(|PA|2+|PB|2)≥(|PA|+|PB|)2,
∴|PA|+|PB|≤=2,当且仅当|PA|=|PB|=时取等号,
∴△PAB周长的最大值为2+2.故选D.
6.答案 17x+17y+12=0或17x-17y-8=0
解析 设直线l的方程为2x+3y+2+m(3x-4y-2)=0,即(2+3m)x+(3
-4m)y+2-2m=0.
∵直线l与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,∴直线l的斜率为±1.
∴2+3m=±(3-4m),解得m=或m=5.
∴直线l的方程为17x+17y+12=0或17x-17y-8=0.
7.答案 x+y-3=0
解析 因为直线l2平行于直线l1,所以设直线l2的方程为x+y-b=0,b>1,则B(b,0),C(0,b),A(1,0),D(0,1),所以S梯形ABCD=S△OBC
-S△OAD=b2-=4,解得b=±3,又b>1,故b=3,故直线l2的方程为x+y-3=0.
8.解析 (1)设l'的方程为3x+4y+m=0(m≠-12),由点(-1,3)在l'上,知-3+12+m=0,解得m=-9.
∴直线l'的方程为3x+4y-9=0.
(2)设l'的方程为4x-3y+λ=0.
令y=0,得x=-;令x=0,得y=.
∴三角形的面积S=··=4,即λ2=96,解得λ=±4.
∴直线l'的方程是4x-3y±4=0.
9.解析 (1)证明:直线l:(1+2m)x+(m-1)y+7m+2=0可化为(x-y+2)+m(2x+y+7)=0.
由解得
故无论m为何实数,直线l恒过点M(-3,-1).
(2)当直线l1的斜率不存在或等于零时,显然不合题意.
当直线l1的斜率存在且不为零时,设直线l1的方程为y=k(x+3)-1,k≠0.
设直线l1与y轴,x轴的交点分别为A,B,
令x=0,则y=3k-1;令y=0,则x=-3.
∴A(0,3k-1),B.
∵夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,
∴点M为线段AB的中点,
即解得k=-,
故直线l1的方程为y=-x-2,即x+3y+6=0.
10.解析 (1)由题意可得直线l的方程为y-2=-2(x-3),即y=-2x+8.
令x=0,可得y=8;令y=0,可得x=4.
故△AOB的面积为×8×4=16.
(2)设直线l的斜率为k(k<0),则直线l的方程为y-2=k(x-3).
令x=0,则y=2-3k;令y=0,则x=3-.
故S=(2-3k)=-.
由12≤S<,得12≤-<,解得-所以k的取值范围是.
(3)因为点P分向量所成的比的值为2,所以=2.
设A(a,0),B(0,b),又P(3,2),则(3-a,2)=2(-3,b-2),可得a=9,b=3.
易知|OM|=2,|PM|=3,
所以梯形AOMP的面积为×2×(3+9)=12.
由题意可得梯形FOME的面积为6.
设E(m,2),F(n,0),则×2(m+n)=6,即m+n=6.
易知直线EF的方程为y=(x-n),
将n=6-m代入上式可得2m(y-1)-(2x+6y-12)=0,
由解得
故直线EF经过定点(3,1).
8
