人教A版选择性必修第一册3.1.1 椭圆及其标准方程同步练习（Word含答案）

第三章　圆锥曲线的方程
3.1　椭圆
3.1.1　椭圆及其标准方程
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　椭圆的定义及其应用
1.(多选)(2021山东莱州一中开学测试)设F1,F2为定点,若动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹可能是(　　)
A.椭圆　　　　　　　B.直线
C.圆　　　　　　　 D.线段
2.(2022北京通州月考)设椭圆+y2=1的两个焦点为F1,F2,且点P的坐标为,则|PF1|+|PF2|=(　　)
A.1　　　　　　　B.
C.2　　　　　　　D.2
3.(2022宁夏银川一中期中)设F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于(　　)
A.5　　　　　　　B.4
C.3　　　　　　　D.1
4.(2022湖北仙桃中学、天门中学月考)若椭圆+y2=1上一点A到焦点F1的距离为2,B为AF1的中点,O是坐标原点,则|OB|=(　　)
A.1　　　　　　　B.2
C.3　　　　　　　D.4
5.(2021吉林长春外国语学校月考)已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,过F1的直线交此椭圆于A,B两点.若|AF2|+|BF2|=8,则|AB|=　　　　　.
题组二　椭圆的标准方程
6.(2021安徽蚌埠二中月考)若点M(x,y)满足方程=12,则动点M的轨迹方程为(　　)
A.=1
C.=1
7.(2022广西玉林期中)焦点坐标为(0,-4),(0,4),且过点(0,6)的椭圆方程为(　　)
A.=1
C.=1
8.(2022重庆巴蜀中学开学考试)某椭圆过点P和Q,则此椭圆的标准方程是(　　)
A.+x2=1
B.+y2=1
C.+y2=1或+x2=1
D.以上都不对
9.(2021河北邯郸一中月考)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆与椭圆交于点P,则椭圆的标准方程为　　　　　　.
10.设F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,a=2b,点P在椭圆上,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,求椭圆的标准方程.
题组三　椭圆标准方程的应用
11.(2022宁夏海原一中期中)椭圆=1的焦点坐标为(　　)
A.(-,0)
B.(-2,0),(2,0)
C.(0,-)
D.(0,-2),(0,2)
12.(2022四川成都树德中学月考)已知椭圆=1的焦点在y轴上,且焦距为4,则m等于(　　)
A.4　　　　　B.5　　　　　C.7　　　　　D.8
13.已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2=　　　　.
14.点M与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的距离的比是1∶2,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.
15.(2022河南南阳月考)已知椭圆M与椭圆N:=1有相同的焦点,且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.
16.(2021上海南洋模范中学期中)已知椭圆C:=1(a>b>0)经过点M,F1,F2是椭圆C的左、右焦点,|F1F2|=2,P是椭圆C上的一个动点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点P在第一象限,且·,求点P的横坐标的取值范围.
能力提升练
题组一　椭圆的定义及其应用
1.(2022河北邯郸八校联盟期中)如图,椭圆C:=1与x轴交于点A,B,把线段AB分成6等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1,P2,P3,P4,P5,F是椭圆C的右焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=(　　)
A.20　　　　　B.15　　　　　C.36　　　　　D.30
2.(2021浙江丽水五校共同体阶段性考试)已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是(　　)
A.=1(x≠0)
C.=1(x≠0)
3.(2022重庆第七中学校期中)已知A(1,1),F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,点P是椭圆上的动点,则|PA|+|PF1|的最大值和最小值分别为(　　)
A.6+
C.6+2
4.(多选)(2022湖北黄石期中)已知P是椭圆E:=1上一点,F1,F2是椭圆E的左、右焦点,且△F1PF2的面积为3,则下列说法正确的是(　　)
A.点P的纵坐标为3
B.∠F1PF2>
C.△F1PF2的周长为4+4
D.△F1PF2的内切圆半径为
题组二　椭圆的标准方程及其应用
5.(2022黑龙江黑河期中联考)对于曲线C:=1,给出下列三个命题:①曲线C不可能表示椭圆;②若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1A.①③　　　　　B.②③　　　　　C.①②　　　　　D.①②③
6.(2022湖北新高考协作体联考)点P为椭圆=1上位于第一象限内的一点,过点P作x轴的垂线,垂足为M,O为坐标原点,则△PMO的面积的最大值为(　　)
A.
7.动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=32内切,与定圆C2:(x-3)2+y2=8外切,点A的坐标为.
(1)求圆心C的轨迹E的方程;
(2)若轨迹E上的两点P,Q满足=5,求|PQ|.
答案全解全析
基础过关练
1.AD　由椭圆定义可知,当|MF1|+|MF2|>|F1F2|时,动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆;当|MF1|+|MF2|=|F1F2|时,动点M的轨迹是线段F1F2;当|MF1|+|MF2|<|F1F2|时,轨迹不存在.故选AD.
易错警示
椭圆的定义中,动点到两定点距离之和是常数,且必须大于两定点的距离,这是判断曲线是不是椭圆的限制条件.
2.D　易得点P在椭圆上,a=,∴|PF1|+|PF2|=2a=2.故选D.
3.B　由椭圆方程,得a=3,b=2,c=.
∵|PF1|+|PF2|=2a=6且|PF1|∶|PF2|=2∶1,
∴|PF1|=4,|PF2|=2,
又|F1F2|=2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
∴△F1PF2是直角三角形,
故△F1PF2的面积为·|PF1|·|PF2|=×4×2=4.
4.B　由椭圆方程+y2=1,得a=3.
设椭圆的另一个焦点为F2,连接AF2.
∵A到焦点F1的距离为2,∴|AF2|=6-2=4,
∵O是F1F2的中点,B是AF1的中点,
∴OB是△AF1F2的中位线,
∴|OB|==2.故选B.
5.答案　4
解析　由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=6,所以|AB|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+|AF2|+|BF2|=4a=12,因此|AB|=12-
(|AF2|+|BF2|)=4.
6.C　由题意及椭圆的定义知,动点M(x,y)的轨迹是以(0,±2)为焦点的椭圆,且2a=12,即a=6,则b2=a2-c2=36-4=32,故动点M的轨迹方程为+=1.故选C.
7.D　由题意得椭圆的焦点在y轴上,且c=4,a=6,所以b2=a2-c2=62-42=20,所以椭圆的方程为+=1.故选D.
8.A　设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则解得∴椭圆的标准方程为+x2=1.故选A.
9.答案　+=1
解析　记O为坐标原点,连接PO,则|PO|===c,故F1(-,0),F2(,0).
∴|PF1|+|PF2|=+=4+2=6=2a,∴a=3,∴b=2.
∴椭圆的标准方程为+=1.
10.解析　∵a=2b,b2+c2=a2,∴c2=3b2.
∵PF1⊥PF2,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=12b2.
由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=4b,
又|PF1|·|PF2|=2,
∴(|PF1|+|PF2|)2=12b2+4=16b2,
∴b2=1,∴a2=4.
∴椭圆的标准方程为+y2=1.
11.D　椭圆+=1的焦点在y轴上,且a=3,b=,所以c=2,所以椭圆的焦点坐标为(0,±2).
12.D　依题意得a2=m-2>0,b2=10-m>0,且m-2>10-m,解得613.答案　120°
解析　由椭圆方程知a=3,b=,∴c2=a2-b2=9-2=7,即c=,∴|F1F2|=2.
∵|PF1|=4,∴|PF2|=2a-|PF1|=2.
∴cos∠F1PF2=
==-,
又0°<∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=120°.
14.解析　设点M的坐标为(x,y).根据题意,得=,两边平方并化简,得3x2+4y2=48,即+=1.所以点M的轨迹是椭圆.
15.解析　(1)由题意知椭圆N的焦点坐标为(-2,0),(2,0).
设椭圆M的方程为+=1(a>b>0),
则化简并整理得5b4+11b2-16=0,
解得b2=1或b2=-(舍去),所以a2=5,
故椭圆M的标准方程为+y2=1.
(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),
设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1,所以y0=±.
又+=1,所以=,
解得x0=±.
所以满足条件的点P有4个,它们的坐标分别为,,
,.
16.解析　(1)由题意得解得
∴椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)设P(x,y)(x>0,y>0),
又F1(-,0),F2(,0),
∴=(--x,-y),=(-x,-y),
∴·=(--x,-y)·(-x,-y)=x2+y2-3,
又+y2=1,即y2=1-,
∴·=x2+y2-3=x2+1--3=(3x2-8)≤,解得-≤x≤,
∵x>0,∴0∴点P的横坐标的取值范围是(0,].
能力提升练
1.D　由题意知P1与P5,P2与P4分别关于y轴对称.
设椭圆的左焦点为F1,连接P1F1,P2F1,则|P1F|+|P5F|=|P1F|+|P1F1|=2a,同理,|P2F|+|P4F|=2a,|P3F|=a,
∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=5a=30.
故选D.
2.B　由题意得|BC|=8,故|AB|+|AC|=12>|BC|.
所以顶点A的轨迹是以B(0,-4),C(0,4)为焦点的椭圆(去掉点(0,-6),(0,6)).
设椭圆的方程为+=1(a>b>0),则a=6,c=4,
所以b2=a2-c2=20.
故顶点A的轨迹方程为+=1(x≠0).
易错警示
本题隐含A,B,C三点不共线,因此在求轨迹方程时,要去掉y轴上的两点,防止漏掉x≠0导致错误.
3.A　由已知可得+=1,所以a=3,c=2.
设F2为椭圆的右焦点,则F2(2,0).连接PF2,AF2.
∴|AF2|==.
根据椭圆的定义得|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|.
根据三角形的任意两边之差小于第三边,有||PA|-|PF2||<|AF2|=.
当P,A,F2三点共线时,||PA|-|PF2||=|AF2|=.
∴-≤|PA|-|PF2|≤.
∴2a-≤|PA|+|PF1|≤2a+,
即6-≤|PA|+|PF1|≤6+.
∴|PA|+|PF1|的最大值和最小值分别为6+,6-.故选A.
方法总结
与|PF1|,|PF2|的和、差有关的最值问题,一般利用平面几何知识,转化为三点共线问题.设椭圆方程为+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,Q(x0,y0)为椭圆内一定点,M为椭圆上任意一点,则
(1)-|QF1|≤|MQ|-|MF1|≤|QF1|;
(2)2a-|QF1|≤|MF2|+|MQ|≤2a+|QF1|.
4.CD　由已知得a=2,b=2,c=2.
不妨设P(m,n),m>0,n>0,
则=×2c×n=3,∴n=,
∴+=1,∴m=,∴P.
∴=+=+2,
=+=-2,
∴+-(2c)2=×2-16=>0,
∴cos∠F1PF2=>0,
∴∠F1PF2<,故A,B错误.
△F1PF2的周长为2a+2c=4+4,故C正确.
设△F1PF2的内切圆半径为r,则r·(4+4)=3,∴r=-,故D正确.故选CD.
5.B　①当即k∈∪时,曲线C表示椭圆,所以①错误;
②若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则4-k>k-1>0,解得1③由①知,当k∈∪时,曲线C表示椭圆,当4-k=k-1,即k=时,曲线C表示圆,所以③正确.故选B.
6.A　设P(x,y)(x>0,y>0).
因为+=1≥2=,即xy≤,
当且仅当x=,y=时取等号,
所以S△PMO=xy≤,所以△PMO的面积的最大值为.故选A.
7.解析　(1)如图,设动圆C的半径为R.
由题意得,定圆C1的半径为4,定圆C2的半径为2,则|CC1|=4-R①,|CC2|=2+R②,
①+②,得|CC1|+|CC2|=6>6=|C1C2|.
由椭圆的定义知点C的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆的一部分(在C1的内部),其轨迹方程为+=1(x<2).
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则=,=.
由=5可得,=5,
所以x1=5x2,y1=5y2-×5+=5y2-18.③
由P,Q是轨迹E上的两点,
得解得
代入③,得x1=0,y1=-3,
所以P(0,-3),Q(0,3),
所以|PQ|=6.
10