人教A版选择性必修第一册第1课时 椭圆的简单几何性质同步练习（Word含答案）

3.1.2　椭圆的简单几何性质
第1课时　椭圆的简单几何性质
基础过关练
题组一　椭圆的简单几何性质及其应用
1.(多选)(2022河北保定唐县第一中学期中)若椭圆C:=1的一个焦点坐标为(0,1),则下列结论中正确的是(　　)
A.m=2　　　　　　　 B.C的长轴长为
C.C的短轴长为2　　　　　　　D.C的离心率为
2.(2022北京第一七一中学期中)已知P1(1,1),P2(0,1),P3
=1(a>b>0)上,则a=(　　)
A.8　　　　　B.6　　　　　C.4　　　　　D.2
3.已知F1,F2分别为椭圆=1的左、右焦点,A为上顶点,则△AF1F2的面积为(　　)
A.6　　　　　B.15　　　　　C.6
4.(2022江苏连云港期中)古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.他用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥,得到的截口曲线是圆;把平面再渐渐倾斜,得到的截口曲线是椭圆.若用面积为144的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆τ,且τ与矩形ABCD的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为=1(a>b>0),下列选项中满足题意的方程为(　　)
A.=1
C.=1
5.(2022四川资阳中学期中)已知椭圆=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),上顶点为P,且∠F1PF2=120°,则此椭圆的长轴长为(　　)
A.2
题组二　求椭圆的离心率的值或取值范围
6.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为(　　)
A.
C.
7.(2022陕西西安七校联考)已知椭圆=1(9A.
C.
8.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是椭圆上一点,若|PF1|=2|PF2|,则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A.
C.
9.比较椭圆①x2+9y2=36与②=1的形状,　　　　(填序号)更扁.
10.在平面直角坐标系xOy中,若椭圆E:=1(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点,则椭圆E的离心率是　　　　.
11.(2022吉林田家炳中学期中)设e是椭圆=1的离心率,且e∈,求实数k的取值范围.
题组三　椭圆的简单几何性质的综合运用
12.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为(　　)
A.+y2=1
C.=1
13.(多选)(2022重庆凤鸣山中学期中)已知F1,F2为椭圆=1的左、右焦点,M为椭圆上的动点,则下面结论正确的是(　　)
A.|MF2|的最大值大于3
B.|MF1||MF2|的最大值为4
C.∠F1MF2的最大值为60°
D.若动直线l垂直于y轴,且交椭圆于A,B两点,P为l上满足|PA|·|PB|=2的点,则点P的轨迹方程为=1或=1
14.(2022河南濮阳范县第一中学月考)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点P为椭圆上一点,若∠F1PF2=,且△F1PF2内切圆的半径为1,则椭圆C的方程为(　　)
A.=1
C.=1
15.(2022四川永安中学期中)如图,椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,F,A分别是椭圆的左焦点和右顶点,P是椭圆上任意一点,若·的最大值是12,求椭圆的方程.
能力提升练
题组一　椭圆的几何性质及其应用
1.(多选)若椭圆C1:=1(a1>b1>0)和椭圆C2:=1(a2>b2>0)的离心率相同,且a1>a2,则下列结论正确的是(　　)
A.椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点
B.
C.-<-
D.a1-a22.(2022四川成都树德中学期中)已知两定点A(-3,0)和B(3,0),动点P(x,y)在直线l:y=-x+5上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的短轴长的最小值为(　　)
A.2
C.
3.(2021四川成都七中期中)已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),且b>c,若点P为椭圆上一点,|PF|的最大值为m,最小值为n,则的取值范围为(　　)
A.(1,3)　　　　　　　 B.(1,2)
C.(2,+∞)　　　　　　　D.(3,+∞)
4.若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为　　　　.
5.(2022安徽宣城七校联考)已知椭圆=1的右焦点为F,点M在☉O:x2+y2=3上,且M在第一象限,过点M作☉O的切线交椭圆于P,Q两点,则△PFQ的周长为　　　　.
题组二　求椭圆的离心率的值或取值范围
6.如图所示,一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角θ=60°的平面所截,截口曲线是一个椭圆,则椭圆的离心率为(　　)
A.
7.(2022福建莆田二中月考)过椭圆C:=1(a>b>0)的右顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为左焦点F,若,则椭圆离心率的取值范围为(　　)
A.
C.
8.(2021浙江丽水五校共同体阶段性考试)已知F1,F2分别是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆上一点(异于左、右顶点),若存在以c为半径的圆内切于△PF1F2,则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A.
C.
9.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为椭圆上一点,M为线段F1F2上一点,AM为∠F1AF2的平分线,且|AM|=
,则椭圆的离心率为(　　)
A.
C.
10.(2022河南三门峡月考)黄金分割比例具有严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴含着丰富的美学价值.这一比值能够引起人们的美感,是建筑和艺术中最理想的比例.我们把离心率e=的椭圆称为“黄金椭圆”,给出以下四种说法:
①椭圆=1是“黄金椭圆”;
②若椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0),且满足b2=ac,则该椭圆为“黄金椭圆”;
③设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B,右顶点为A,若∠ABF=90°,则该椭圆为“黄金椭圆”;
④设椭圆=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2,若|F1F2|2=|AF1|·|F1B|,则该椭圆为“黄金椭圆”.
其中说法正确的个数为(　　)
A.1　　　　　　　B.2
C.3　　　　　　　D.4
题组三　椭圆几何性质的综合运用
11.(2021浙江丽水五校共同体期中)已知F1,F2分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1的直线l交椭圆于D,E两点,|DF1|=5|F1E|,|DF2|=,且DF2⊥x轴.若点P是圆O:x2+y2=1上的一个动点,则|PF1|·|PF2|的取值范围是(　　)
A.[3,5]　　　　　　　B.[2,5]
C.[2,4]　　　　　　　D.[3,4]
12.(多选)(2021江苏泰州中学检测)已知椭圆=1的左、右焦点分别为F,E,直线x=m(-1A.当m=0时,△FAB的面积为
B.不存在m,使△FAB为直角三角形
C.存在m,使四边形FBEA的面积最大
D.存在m,使△FAB的周长最大
13.(2022安徽师范大学附属中学期中)已知点P在椭圆=1上运动,过点P作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,求|AB|的最小值.
答案全解全析
基础过关练
1.ACD　由已知可得=1,解得m=2或m=-1(舍去),∴椭圆C的方程为+=1,
∴a2=3,b2=2,c2=1,
∴长轴长2a=2,短轴长2b=2,离心率e===.故选ACD.
2.D　由于椭圆关于y轴对称,且P3,P4关于y轴对称,故P3,P4必然同时在或不在椭圆上.由于四点中恰有三点在椭圆上,故P3,P4都在椭圆上.
若P1(1,1)在椭圆上,则+=1.因为P3,P4都在椭圆上,所以+=1.两个等式矛盾,故P1(1,1)不在椭圆上.
因此P2(0,1),P3,P4三个点在椭圆上,故=1,+=1,解得a2=4,b2=1,所以a=2.故选D.
3.D　由椭圆方程+=1得A(0,3),F1(-,0),F2(,0),
∴|F1F2|=2.∴=|F1F2|·|yA|=×2×3=3.故选D.
4.A　由题意知椭圆的焦点在x轴上,故排除B,D.
∵矩形ABCD的四边与椭圆相切,
∴矩形的面积为2a·2b=144,即ab=36.
在椭圆+=1中,a=9,b=4,ab=36,满足题意;
在椭圆+=1中,a=10,b=8,ab=80,不满足题意.
5.B　令O为坐标原点.由∠F1PF2=120°知∠PF1O=30°,又F1(-3,0),
∴|PO|=|F1O|tan30°=,即b=,∴a2=b2+c2=3+32=12,∴长轴长2a=4.故选B.
6.B　椭圆的方程化为标准形式为+=1(m>0),
∴a2=,b2=,∴c2=a2-b2=,∴e2=,
又07.C　由题意得椭圆的长半轴长为,短半轴长为3,所以离心率e===.因为b∈(9,18],所以∈,所以e∈.
8.C　由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,所以|PF1|=a,|PF2|=a.又|PF1|-|PF2|≤|F1F2|,即a≤2c,所以e≥,又09.答案　①
解析　x2+9y2=36化为标准形式为+=1,故离心率e1==;
+=1的离心率e2=.
因为e1>e2,所以①更扁.
10.答案　
解析　依题意得b=c,所以b2=c2 a2-c2=c2 a2=2c2 e2==,
又e=>0,所以e=.
11.解析　当0即<<1 1<4-k<4,解得0当k>4时,e==∈,
即<<1 <<1 <1-<1 0<<,解得k>.
综上,实数k的取值范围为(0,3)∪.
12.A　由△AF1B的周长为4及椭圆的定义可知4a=4,∴a=.
∵e==,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为+=1.故选A.
13.BCD　由椭圆方程得a2=4,b2=3,∴c2=1,
因此F1(-1,0),F2(1,0).
选项A中,|MF2|max=a+c=3,A错误.
选项B中,|MF1|·|MF2|≤=4,当且仅当|MF1|=|MF2|时取等号,B正确.
选项C中,当点M为短轴的端点时,∠F1MF2取得最大值,令M(0,),则tan=,
∴=30°,∴∠F1MF2的最大值为60°,C正确.
选项D中,设P(x,y),A(x1,y),B(-x1,y),
∵|PA|·|PB|=2,∴|x-x1|·|x+x1|=2,
∴|x2-|=2,即=x2-2或=x2+2.
又+=1,∴+=1或+=1,
化简得+=1或+=1,D正确.
故选BCD.
14.A　易知△F1PF2中,内切圆半径r==a-c=1,又离心率为=,所以a=4,c=3,所以b2=a2-c2=7,所以椭圆C的方程为+=1.故选A.
15.解析　由题易知A(a,0),F(-c,0).
∵e==,∴a=3c.
设P(x0,y0),则-3c≤x0≤3c.
∵=(-c-x0,-y0),=(a-x0,-y0),
∴·=(-c-x0,-y0)·(a-x0,-y0)
=-ac+cx0-ax0++
=-ac+cx0-ax0++b2-
=-(a-c)x0+b2-ac
=-(a-c)x0+a2-c2-ac
=-2cx0+5c2
=(x0-9c)2-4c2.
∴当x0=-3c时,·有最大值,且最大值为12c2,
∴12c2=12,∴c2=1,∴a2=9,b2=a2-c2=8,
∴椭圆的方程为+=1.
能力提升练
1.AB　依题意,e==,即=,所以=,所以=,因此B正确;因为a1>a2,所以b1>b2,所以椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点,因此A正确;设==m,其中00,即有->-,则->-,因此C错误;(a1-b1)-(a2-b2)=(1-m)·(a1-a2)>0,即有a1-b1>a2-b2,则a1-a2>b1-b2,因此D错误.故选AB.
2.B　设点A(-3,0)关于直线l:y=-x+5的对称点为A'(x0,y0),
则解得即A'(5,8).
根据椭圆的定义可知,2a=|AP|+|BP|=|A'P|+|BP|≥|A'B|=
=2,
当A',P,B三点共线时,长轴长2a取最小值2,即amin=,
又a2=b2+c2且c=3,所以b==≥=2,因此椭圆C的短轴长的最小值为4.故选B.
3.A　因为b>c,所以>c,即a2>4c2,所以0易知m=a+c,n=a-c,∴===-1+.
由04.答案　+y2=1或+=1
解析　直线与坐标轴的交点为(0,1),(-2,0).
当焦点在x轴上时,设椭圆的方程为+=1(a1>b1>0),由题意知,c1=2,b1=1,∴=5,∴椭圆的标准方程为+y2=1;
当焦点在y轴上时,设椭圆的方程为+=1(a2>b2>0),由题意知,b2=2,c2=1,∴=5,∴椭圆的标准方程为+=1.
故椭圆的标准方程为+y2=1或+=1.
易错警示
当不能确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上时,要分两种情况讨论,解题时要防止遗漏导致错误.
5.答案　4
解析　由椭圆方程得F(1,0).
设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1>0,x2>0,
则|PF|2=(x1-1)2+=-2x1+1+3-=-2x1+4=(x1-4)2,
易知x1<2,∴|PF|=2-x1.同理,|QF|=2-x2.
又|PM|2=|OP|2-()2=+-3=,
∴|PM|=x1.同理,|QM|=x2.
∴△PFQ的周长为2-x2+2-x1+x2+x1=4.
解题模板
椭圆上一点到焦点的距离为焦半径,与两条焦半径有关的问题通常用椭圆的定义求解;与一条焦半径有关的问题常用焦半径公式求解,点P(x1,y1)到左焦点F1(-c,0)的距离为|PF1|=a+ex1,到右焦点F2(c,0)的距离为|PF2|=a-ex1.
6.B　由题意易知椭圆的短半轴长b=4.
∵截面与底面所成的角θ=60°,
∴椭圆的长轴长2a==16,则a=8,
所以c===4,
所以离心率为==.故选B.
7.B　由题意可得A(a,0).因为点B在x轴上的射影恰好为左焦点F(-c,0),所以点B的横坐标为-c.
将x=-c代入+=1中,可得+=1,解得y=±.
因为所以k=====1-e.
所以<1-e<,解得8.A　设点P的坐标为(xP,yP).
由题意得×(2a+2c)×c=×2c×|yP|,
∴(a+c)×c=c×|yP|≤bc,∴a+c≤b,
∴(a+c)2≤2b2,∴a2-2ac-3c2≥0,
∴(a+c)(a-3c)≥0,∴a≥3c,
∴09.B　设|AF1|=r1,|AF2|=r2,在△F1AF2中,由余弦定理得+-2r1r2cos=4c2,即+-r1r2=4c2,则-3r1r2=4c2,所以3r1r2=4a2-4c2.易知=+,所以r1r2sin=r1|AM|sin+r2|AM|sin,化简并整理,得r2=c(r1+r2),所以r1r2=2ac.因此4a2-4c2=2ac,即2c2+ac-2a2=0,则2e2+e-2=0,所以e=,因为010.C　①由题意得a2=+1,b2=2,故e==,故椭圆+=1是“黄金椭圆”;②b2=ac,即a2-c2=ac,故e2+e-1=0,解得e=或e=(舍去),故该椭圆是“黄金椭圆”;③由∠ABF=90°得(a+c)2=a2+b2+b2+c2,化简可知e2+e-1=0,解得e=或e=(舍去),故该椭圆是“黄金椭圆”;④由|F1F2|2=|AF1|·|F1B|,得(2c)2=(a-c)·(a+c),则e=(负值舍去),故该椭圆不是“黄金椭圆”.故选C.
11.A　不妨设D(c,),则E.
将D,E的坐标分别代入椭圆方程,
得又a2=b2+c2,所以
所以椭圆方程为+=1,
所以椭圆的焦点为F1(-2,0),F2(2,0).
由P在圆x2+y2=1上,设P(cosθ,sinθ),
所以|PF1|·|PF2|=·
=,所以|PF1|·|PF2|的取值范围为[3,5].
12.AC　如图所示.
对于A选项,当m=0时,直线为x=0,代入椭圆方程得y=±,∴S△FAB=2××1×=,故A正确;对于B选项,当m=0时,∠AFE=,当m=1时,∠AFE<,根据对称性,存在m,使△FAB为直角三角形,故B错误;对于C选项,根据椭圆的对称性可知,当m=0时,四边形FBEA的面积最大,故C正确;对于D选项,由椭圆的定义得△FAB的周长为|AB|+|AF|+|BF|=|AB|+(2a-|AE|)+(2a-|BE|)=4a+|AB|-
|AE|-|BE|,
∵|AE|+|BE|≥|AB|,∴|AB|-|AE|-|BE|≤0,当且仅当AB过点E时取等号,
∴4a+|AB|-|AE|-|BE|≤4a,即直线x=m过椭圆的右焦点E时,△FAB的周长最大,此时m=1,又-1故选AC.
13.解析　如图,连接AC,BC,PC,设PC与AB交于H,则H为AB的中点.
圆(x-1)2+y2=1的圆心为C(1,0),半径r=1.
易知AC⊥PA,BC⊥PB,且|PA|=|PB|=,
所以|AB|=2|AH|===2.
设P(4cosθ,2sinθ),θ∈[0,2π],
则|PC|2=(4cosθ-1)2+=16cos2θ-8cosθ+1+8sin2θ
=8+7,
当cosθ=时,|PC|2取得最小值7,
所以|AB|的最小值为2=.
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