人教A版选择性必修第一册第2课时 直线与椭圆的位置关系及其应用同步练习（Word含答案）

第2课时　直线与椭圆的位置关系及其应用
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　直线与椭圆的位置关系
1.若直线y=kx+2与椭圆=1有且只有一个交点,则斜率k的值是　(　　)
A.
2.椭圆=1(a>b>0)的离心率为,若直线y=kx与椭圆的一个交点的横坐标为b,则k的值为(　　)
A.±1　　　　　B.±
3.(2022陕西师范大学附属中学月考)若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆=1总有公共点,则实数m的取值范围为　　　　.
题组二　直线与椭圆的相交弦问题
4.(2022重庆七中期中)直线y=x+1被椭圆=1所截得的线段的中点坐标是　(　　)
A.
C.
5.(2022广东深圳期中)过原点的直线l与曲线C:+y2=1相交,直线l被曲线C所截得的线段长等于,则直线l的斜率k的可能取值是(　　)
A.　　　　　D.1
6.(2022河南焦作重点高中期中)经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则·等于(　　)
A.-3　　　　　B.-或-3　　　　　D.±
7.过椭圆=1的右焦点作一条斜率为2的直线,与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB的面积.
8.(2021江西南昌二中月考)在平面直角坐标系中,已知动点P到定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为2.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)若直线l:y=x+t与曲线C交于A,B两点,|AB|=,求t的值.
题组三　直线与椭圆位置关系的综合运用
9.P为椭圆=1上任意一点,EF为圆N:(x-1)2+y2=4的任意一条直径,求·的最大值.
10.已知椭圆C:=1,过右焦点F的直线l与椭圆C交于A,B两点(点A位于x轴上方),若=2,求直线l的方程.
11.已知椭圆C:=1的右顶点为A,上顶点为B,点E在椭圆C上,且不在直线AB上.
(1)求椭圆C的离心率和直线AB的方程;
(2)若以AE为直径的圆经过点B,求点E的坐标.
12.已知△PAB的两个顶点A,B的坐标分别是(0,2),(0,-2),且直线PA,PB的斜率之积是-2,设点P的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程;
(2)设C,D,E是曲线H上异于A,B且互异的三个点,且AC,AD关于y轴对称,AC⊥AE.求证:直线DE过定点.
能力提升练
题组一　直线与椭圆的相交弦问题
1.(多选)已知直线l:y=2x+3被椭圆C:=1(a>b>0)截得的弦长为7,则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有(　　)
A.y=2x-3　　　　　　　B.y=2x+1
C.y=-2x-3　　　　　　　D.y=-2x+3
2.(2022天津英华中学期中)已知椭圆H:=1,三角形ABC的三个顶点都在椭圆H上,设边AB,BC,AC的中点分别为D,E,M,三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,且k1,k2,k3均不为0,O为坐标原点.若直线OD,OE,OM的斜率之和为1,则=　　　　.
3.(2022黑龙江绥化一中期中)已知圆锥曲线E上的点M的坐标(x,y)满足.
(1)说明E是什么图形,并写出其标准方程;
(2)若斜率为1的直线l与E交于y轴右侧不同的两点A,B,点P(2,1).
①求直线l在y轴上的截距的取值范围;
②求证:∠APB的平分线总垂直于x轴.
题组二　直线与椭圆位置关系的综合运用
4.(2022浙江A9协作体期中)若直线mx+ny=9和圆x2+y2=9没有公共点,则过点P(m,n)的直线与椭圆=1的交点个数是(　　)
A.0　　　　　B.1　　　　　C.2　　　　　D.不确定
5.(2021江西上饶月考)已知椭圆C:=1的左、右顶点分别为A,B,点P为椭圆C上不同于A,B的动点,若直线PA的斜率的取值范围是[1,2],则直线PB的斜率的取值范围是(　　)
A.[-2,-1]　　　　　　　B.
C.
6.(2021江苏泰州中学期初检测)如图,椭圆C:+y2=1的右顶点为A,上顶点为B,动直线l交椭圆C于M,N两点,且始终满足OM⊥ON,作OH⊥MN交MN于点H,则·的取值范围是(　　)
A.[3-2
C.
7.(多选)(2022江苏宿迁期中)已知椭圆C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=kx(k≠0)与C交于A,B两点,AE⊥x轴,垂足为E,直线BE与C的另一个交点为P,则下列结论正确的是(　　)
A.四边形AF1BF2为平行四边形
B.∠F1PF2<90°
C.直线BE的斜率为k
D.∠PAB>90°
8.(2022河北九师联盟期中)已知椭圆E:+y2=1,P为E的长轴上任意一点,过点P作斜率为的直线l,与E交于M,N两点,则|PM|2+|PN|2的值为　　　　.
9.(2022江苏姜堰中学期中)2021年4月29日11时22分,天和号核心舱成功发射,标志着中国天宫空间站正式开建.返回舱是宇航员从太空返回地球的座舱,返回舱内空间越大宇航员越舒适.若返回舱的轴截面曲线是由半椭圆=1(y>0)和圆弧x2+(y-2)2=8(y≤0)组成的“曲圆”,如图所示,过椭圆=1(y>0)的上焦点F作两条关于y轴对称的直线交半椭圆于C,D,交圆弧于E,G,则梯形CDEG的面积的最大值为　　　　.
10.(2021江西宜春期中)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,点P(-,1)在该椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点A,B是椭圆C上关于直线y=kx+1(k≠0)对称的两点,求实数k的取值范围.
11.(2022江苏南通期中)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,长轴长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)A1,A2为椭圆的左、右顶点,B为椭圆的上顶点,设M是椭圆C上一点,且不与顶点重合,若直线A1B与直线A2M交于点P,直线A1M与直线A2B交于点Q.求证:△BPQ为等腰三角形.
答案全解全析
基础过关练
1.C　由消去y,并整理得(2+3k2)x2+12kx+6=0.
由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k2)=0,
解得k=±.故选C.
2.C　因为椭圆的离心率为,所以=,即c=a,所以c2=a2=a2-b2,所以b2=a2.易知直线与椭圆的交点的纵坐标为kb,则交点坐标为(b,kb),代入椭圆方程得+=1,即+k2=1,所以k2=,解得k=±.故选C.
3.答案　1≤m<5
解析　由题意得0因为直线y=kx+1过定点(0,1),设为P,且直线与椭圆+=1总有公共点,
所以点P在椭圆上或在椭圆的内部,即+≤1,解得m≥1.
所以1≤m<5.
4.C　由消去y并整理,得3x2+4x-2=0.设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0).
∴x1+x2=-,x0==-,y0=x0+1=,
∴中点坐标为.
5.D　设直线l的方程为y=kx(k≠0),直线l与曲线C交于点A(x1,y1),B(x2,y2).
由消去y并整理,得(1+3k2)x2-3=0,
则x1+x2=0,x1x2=-,
所以|AB|=·==,解得k=±1.故选D.
6.B　由+y2=1,得a2=2,b2=1,则c2=a2-b2=1,则焦点坐标为(±1,0).
不妨设直线l过右焦点,因为l的倾斜角为45°,所以直线l的方程为y=x-1.
代入+y2=1中,得x2+2(x-1)2-2=0,即3x2-4x=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=0,x1+x2=,y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+
x2)+1=-+1=-,
所以·=x1x2+y1y2=0-=-.
7.解析　由题意知,右焦点的坐标为(1,0),又直线的斜率k=2,所以直线的方程为y=2(x-1),将其与+=1联立,消去y并整理,得3x2-5x=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=0,所以|AB|=·|x1-x2|=·=×=.
设原点到直线的距离为d,则d==.
所以S△OAB=|AB|·d=××=.
8.解析　(1)因为|PF1|+|PF2|=2>|F1F2|=2,所以动点P的轨迹为椭圆,且长轴长2a=2,焦点坐标为(-1,0),(1,0),所以a=,c=1,
又因为a2=b2+c2,所以b2=1,
所以轨迹C的方程为+y2=1.
(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y并整理,得3x2+4tx+2t2-2=0,所以x1+x2=-,x1x2=,
Δ=16t2-12(2t2-2)=24-8t2>0,即-所以|AB|=·=·=,解得t=±1,满足Δ>0,所以t=±1.
9.解析　圆N:(x-1)2+y2=4的圆心为N(1,0),半径为2.
设点P(x,y),则y2=15-x2且-4≤x≤4.
易知=+,=+=-,
所以·=(+)·(-)=-=(x-1)2+y2-4=x2-2x+
1+15-x2-4=x2-2x+12=(x-16)2-4,所以当x=-4时,·取得最大值21.
方法点睛　解决圆锥曲线中的最值问题的方法
一是几何法,一般是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;
二是代数法,常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.
10.解析　由题意得,直线l的斜率存在且不为0.
易知F(1,0),∴设直线l的方程为x=ty+1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则可得-y1=2y2.
由可得(3t2+4)y2+6ty-9=0,
∴∴y2=,-2=,
∴-2=,解得t=±,
∴直线l的方程为y=±(x-1).
11.解析　(1)由题可得a=4,b=2,c=2,则A(4,0),B(0,2),椭圆的离心率e==.
∴直线AB的方程为+=1,即x+2y-4=0.
(2)设E(x0,y0),y0≠0且y0≠2.
由题意可知AB⊥BE,即kAB×kBE=-1.
结合(1)得-×=-1,即2x0=y0-2.
∵E是椭圆C上的点,∴+=1.
由消去x0,整理得17-4y0-60=0,解得y0=2(舍去)或y0=-,则x0=-,
所以E.
12.解析　(1)设P(x,y),x≠0,
由已知得kPA=,kPB=,
则·=-2,整理得+=1(x≠0).
所以曲线H的方程为+=1(x≠0).
(2)证明:由于C,D,E是曲线H上异于A,B且互异的三个点,所以直线AC,AD,AE的斜率都存在.
由已知得,因此kADkAE=1.
设直线DE的方程为y=kx+m(m≠2),D(x1,kx1+m),E(x2,kx2+m),
将y=kx+m代入+=1(x≠0)中,消去y并整理,得+2kmx+m2-4=0,
因此x1+x2=,x1x2=.
由kADkAE=1,得(kx1+m-2)(kx2+m-2)=x1x2,
化简并整理,得(m-2)(m-6)=0,
解得m=2(舍去)或m=6,
所以直线DE恒过点(0,6).
能力提升练
1.ACD　直线y=2x-3与直线l关于原点对称,直线y=-2x-3与直线l关于x轴对称,直线y=-2x+3与直线l关于y轴对称,因此A、C、D中的直线被椭圆C截得的弦长一定为7,而直线y=2x+1被椭圆C截得的弦长大于7.故选ACD.
2.答案　-
解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(s1,t1),E(s2,t2),M(s3,t3).
因为A,B在椭圆上,所以+=1,+=1,
两式相减得k1==-×=-×,
即=-,同理,可得=-,=-,
所以++=-.
因为直线OD,OE,OM的斜率之和为1,
所以++=-×1=-.
3.解析　(1)圆锥曲线E是以(-,0),(,0)为焦点,2为长轴长的椭圆,其标准方程为+=1.
(2)设直线l:y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
由消去y,得3x2+4mx+2m2-6=0.
①由题意有
解得-3所以直线l在y轴上的截距的取值范围为(-3,-).
②证明:若直线l过点P,即点A(或点B)与P重合,
则l与E的另一个交点为,不符合题意,所以点A(或点B)与P不重合.
若AP或BP的斜率不存在,则直线l过点(2,-1),此时l与E只有一个交点,所以AP与BP的斜率都存在.
设直线AP的斜率为k1,直线BP的斜率为k2,
由A,B在y轴右侧,结合图形(图略)可知,要证∠APB的平分线总垂直于x轴,只要证k1+k2=0.
因为k1=,k2=,
所以k1+k2=
=
==0,
故∠APB的平分线总垂直于x轴.
4.C　因为直线mx+ny=9和圆x2+y2=9没有公共点,所以圆心(0,0)到直线mx+ny-9=0的距离d=>3,即m2+n2<9,故点P(m,n)在圆x2+y2=9内.因为圆x2+y2=9在椭圆+=1内,所以点P(m,n)在椭圆+=1内,所以过点P(m,n)的直线与椭圆+=1有两个交点.故选C.
5.D　依题意得A(-2,0),B(2,0).
设P(x0,y0),则+=1,即=(8-).
易知kPA=,kPB=,
所以kPA·kPB=·==-,
则kPA=-·.
又1≤kPA≤2,所以1≤-·≤2,
故-≤kPB≤-.故选D.
6.C　直线l的斜率显然存在,设直线l:y=kx+b,与椭圆方程联立,得(1+4k2)x2+8kbx+4b2-4=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=.
因为OM⊥ON,所以·=0,
所以x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=0,
即(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=0,
所以5b2=4k2+4,
所以|OH|2===,即|OH|=.
所以点H在圆O:x2+y2=上运动.
连接AB,记线段AB的中点为D,连接HD,OD,
易知|AB|=,
则·=||2-||2=||2-,
在Rt△AOB中,|OD|=|AB|=.
又易知直线AB与圆O:x2+y2=相切,
所以|HD|∈=,所以||2-∈,即·∈.
故选C.
7.ABC　由椭圆的对称性知,四边形AF1BF2是平行四边形,故A正确;
∵a2=4,b2=2,∴c2=2,∴∠F1AF2<90°,
∴∠F1PF2<∠F1AF2<90°,故B正确;
由得
不妨设k>0,结合图形,则A,
B,E,
∴kBE==k,故C正确;
取k=2,则A,B,E,
∴直线BE的方程为y=x-,与椭圆方程联立,得P,∴=,又=,
∴·=-+=0,∴∠PAB=90°,故D错误.故选ABC.
8.答案　5
解析　设P(m,0)(-2≤m≤2),M(x1,y1),N(x2,y2),则直线l的方程为y=(x-m),
将直线方程代入椭圆方程并化简得到2x2-2mx+m2-4=0,
所以x1+x2=m,x1x2=,
所以|PM|2+|PN|2=+++
=[-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]
=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.
9.答案　
解析　根据题意得F(0,2),A(-2,0),B(2,0),圆x2+(y-2)2=8的圆心为F(0,2),半径r=2.
设CE所在直线的方程为y=kx+2,k>0,C(x1,y1),E(x2,y2),
所以x1>0,-2≤x2<0,连接AF,则k=kEF≥kAF=1.
梯形CDEG的面积S=(2x1-2x2)(y1-y2)=(x1-x2)(y1-y2)=k(x1-x2)2.
因为|CE|=|x1-x2|,
所以|CE|2=(1+k2),
所以梯形CDEG的面积S=|CE|2=|CE|2.
由椭圆的焦半径公式得|CF|=2-y1,
所以|CE|=|CF|+|EF|=4-y1,
当k=1时,y1有最小值,此时|CE|有最大值.
又因为+k≥2=2,当且仅当k=1时,等号成立,所以当k=1时,S=|CE|2取得最大值.
由得3x2+4x-4=0,
解得x1=(舍负),此时y1=,
所以|CE|max=4-×=,
所以Smax=×=.
10.解析　(1)e==,即c2=a2,∴b2=a2-c2=a2.将(-,1)代入椭圆方程,得+=1,∴a2=4,b2=2,∴椭圆C的方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),y1≠y2,AB的中点的坐标为(x0,y0).易知直线y=kx+1(k≠0)恒过点(0,1),则+(y1-1)2=+(y2-1)2,
∵点A,B在椭圆上,∴=4-2,=4-2,
∴4-2+(y1-1)2=4-2+(y2-1)2,
化简得-=-2(y1-y2),即y1+y2=-2,
∴y0==-1.
又AB的中点在直线y=kx+1上,
∴-1=kx0+1,解得x0=-.
由可得x=±,∴0<-<或-<-<0,即k<-或k>.故k的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).
11.解析　(1)由题意得解得
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明:由(1)知A1(-2,0),A2(2,0),B(0,1).
设M(x0,y0)(x0≠±2,y0≠±1),则+=1,
所以·=·==-.
设直线A2M的方程为y=k(x-2).
易知直线A1B的方程为y=x+1.
由可得点P.
由于·=-,所以直线A1M的方程为y=-(x+2).
易知直线A2B的方程为y=-x+1.
由可得点Q.
于是xP=xQ,所以PQ⊥x轴.
设线段PQ的中点为N,则点N的纵坐标为=1.故线段PQ的中点在定直线y=1上.
所以点B在线段PQ的垂直平分线上,
所以|BP|=|BQ|,所以△BPQ为等腰三角形.
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