人教A版选择性必修第一册3.2.1 双曲线及其标准方程同步练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版选择性必修第一册3.2.1 双曲线及其标准方程同步练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 153.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-05 17:43:06 | ||
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文档简介
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
基础过关练
题组一 双曲线的定义及其应用
1.(2022广东汕头金山中学月考)已知M(-3,0),N(3,0),|PM|-|PN|=6,则动点P的轨迹是( )
A.一条射线 B.双曲线右支
C.双曲线 D.双曲线左支
2.设θ∈,则关于x,y的方程=1所表示的曲线是( )
A.焦点在y轴上的双曲线
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在x轴上的椭圆
3.双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,若|PF1|=3,则|PF2|=( )
A.5 B.1 C.3 D.1或5
4.已知双曲线=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为( )
A.3或7 B.6或14 C.3 D.7
5.设F1,F2为双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是( )
A.1 B.
6.(2022甘肃庆阳期末)已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为右支上一动点,Q(1,4),则|PQ|+|PF1|的最小值为 .
题组二 双曲线的标准方程
7.已知双曲线的焦点为F1(-4,0),F2(4,0),双曲线上一点P与F1,F2的距离差的绝对值等于2,则该双曲线的标准方程为( )
A.=1
C.x2--x2=1
8.(2022河北张家口四中期中)已知双曲线的一个焦点为F1(-,0),点P在该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是( )
A.=1
C.=1
9.已知方程=1表示双曲线,则k的取值范围是( )
A.(-1,1) B.(0,+∞)
C.[0,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
10.求经过点P(-3,2)和Q(-6,-7)的双曲线的标准方程.
11.已知某双曲线与双曲线=1有相同的焦点,且经过点,求该双曲线的标准方程.
12.已知双曲线C的焦点为F1(-2,0),F2(2,0),点A在C上,且关于原点O的对称点为B,|AB|=|F1F2|,四边形AF1BF2的面积为6,求双曲线C的标准方程.
题组三 双曲线的综合运用
13.(2022浙江金华期中)已知△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),其内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是( )
A.=1
C.=1(x>4)
14.(2022江西南昌一模)许多建筑融入了数学元素后更具神韵,数学赋予了建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1是单叶双曲面(由双曲线旋转形成的立体图形)型建筑,图2是其中截面最细附近处的部分图形,上、下底面与地面平行.现测得下底面直径AB=20米,上底面直径CD=20米,AB与CD间的距离为80米,与上、下底面等距离的G处的直径等于CD,则最细部分处的直径为( )
图1 图2
A.10米 B.20米
C.10米 D.10米
15.已知某双曲线与椭圆=1有相同的焦点,且双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,求该双曲线的标准方程.
能力提升练
题组一 双曲线的定义及其应用
1.(2022北京丰台月考)已知F1,F2为双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,那么点P到x轴的距离为( )
A.
2.(2022江西宜春月考)已知方程=1(m,n∈R)表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A.(0,) B.(0,3)
C.(-1,) D.(-1,3)
3.(2021广东东莞期末)已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上一点,直线l分别与以F1为圆心,|F1P|为半径的圆和以F2为圆心,|F2P|为半径的圆相切于点A,B,则|AB|=( )
A.2 B.6 C.8 D.10
4.(2022山西怀仁期末)已知F1,F2分别是双曲线=1的左、右焦点,A,B是过点F1的直线与双曲线左支的交点,且|AB|=5,则△ABF2的周长是 .
题组二 双曲线的标准方程及其应用
5.已知双曲线的两个焦点分别是F1(-,0),P是双曲线上一点,且·=0,|PF1|·|PF2|=2,则该双曲线的标准方程为 .
6.(2022重庆育才中学月考)数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微.”事实上,很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,例如,与相关的代数问题,可以转化为点(x,y)与点(a,b)之间的距离的几何问题.结合上述观点,可得方程||=2的解为 .
题组三 双曲线的综合运用
7.(2022四川成都外国语学校期中)已知点P在曲线C1:=1上,点Q在曲线C2:(x+5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x-5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( )
A.6 B.8 C.10 D.12
8.某地发生地震,为了援救灾民,救援员在如图所示的P处收到一批救灾药品,现要把这批药品沿道路PA,PB运送到矩形灾民区ABCD中去,已知PA=100km,PB=150km,BC=60km,∠APB=60°,试在灾民区中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点沿道路PB送药较近,请说明这一界线是一条什么曲线,并求出其方程.
答案全解全析
基础过关练
1.A 因为|PM|-|PN|=6=|MN|,所以动点P的轨迹是一条射线.
方法总结
已知定点M,N及动点P,||PM|-|PN||<|MN|时,点P的轨迹是双曲线;||PM|-|PN||=|MN|时,点P的轨迹是两条分别以M,N为端点的射线;||PM|-|PN||>|MN|时,点P的轨迹不存在.
2.C 因为θ∈,所以-cosθ>sinθ>0,所以关于x,y的方程-=1所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆.
3.A 依题意得,a=1,b=3,因此c=.因为|PF1|=3∈(c-a,a+c),所以点P在双曲线的左支上,因此|PF1|-|PF2|=-2,即3-|PF2|=-2,所以|PF2|=5,故选A.
易错警示
已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,若|PF1|4.A 连接PF2(F2为双曲线的右焦点),则ON是△PF1F2的中位线,∴|ON|=|PF2|.
∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或6,∴|ON|=|PF2|=7或3.
5.A 由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=4,
易知|F1F2|=2,∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
∴(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=16,
∴|PF1|·|PF2|=2,
则△F1PF2的面积是|PF1|·|PF2|=1.故选A.
6.答案 9
解析 因为点P在双曲线-=1的右支上,所以|PF1|-|PF2|=4,所以|PF1|=|PF2|+4.连接QF2.
又Q(1,4),F2(4,0),所以|PF1|+|PQ|=|PF2|+4+|PQ|≥|QF2|+4=9,当且仅当Q,P,F2三点共线时取“=”.故|PQ|+|PF1|的最小值为9.
7.C 由题意设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).易得c=4,a=1,所以b2=c2-a2=16-1=15.所以双曲线的标准方程是x2-=1.故选C.
8.B 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),易知c=,又c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以-=1.因为线段PF1的中点坐标为(0,2),F1(-,0),所以点P的坐标为(,4).将(,4)代入双曲线方程,得-=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线的标准方程为x2-=1.故选B.
9.A 由题意得(1+k)(1-k)>0,所以(k-1)(k+1)<0,所以-1故选A.
10.解析 设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
则解得
故双曲线的标准方程为-=1.
11.解析 由双曲线-=1,得c2=16+9=25,∴c=5.
设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
∵所求双曲线与双曲线-=1共焦点,∴b2=25-a2,故所求双曲线方程可写为-=1.
∵点在所求双曲线上,
∴-=1,
化简得4a4-129a2+125=0,
解得a2=1或a2=.
当a2=时,b2=25-a2=25-=-<0,舍去,
∴a2=1,b2=24,
∴所求双曲线的标准方程为x2-=1.
12.解析 设双曲线C的标准方程为-=1(a>0,b>0).易知原点O分别为AB和F1F2的中点,
所以四边形AF1BF2为平行四边形,
又因为|AB|=|F1F2|,
所以平行四边形AF1BF2为矩形.
因为四边形AF1BF2的面积为6,
所以|AF1||AF2|=6,
又因为|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=16,||AF1|-|AF2||=2a,
所以4a2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|=16-12=4,解得a2=1,所以b2=c2-a2=3.
故双曲线C的标准方程为x2-=1.
13.C 如图,设△ABC与圆的切点分别为D,E,F,则|AD|=|AE|=8,
|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.
根据双曲线的定义,所求轨迹是双曲线的右支,除去点(3,0),方程为-=1(x>3).故选C.
14.B 取DC的中点E,以EG所在直线为y轴,EG的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示.
易知D(10,20),B(10,-60).
设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则解得所以最细部分处的直径为2a=20(米).故选B.
15.解析 由题意得椭圆的焦点为(0,-3),(0,3),故可设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),且a2+b2=9.由双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,可得此交点的坐标为(,4)或(-,4).由交点在双曲线上知-=1.
由得故所求双曲线的标准方程为-=1.
能力提升练
1.D 不妨设|PF1|=x,|PF2|=y(x>y).
易得c=,a=2,b=1.
∵点P在双曲线上,∴x-y=4.①
∵∠F1PF2=90°,∴x2+y2=20.②
由①②得xy=2,∴=xy=1.
设△F1PF2斜边上的高为h,则·2c·h=h=1,
解得h=,故点P到x轴的距离为.故选D.
2.D 因为双曲线两焦点间的距离为4,所以c=2.
当焦点在x轴上时,方程+=1可化为-=1,所以4=(m2+n)+(3m2-n),解得m2=1.
因为-=1表示双曲线,所以(m2+n)·(3m2-n)>0,即(n+1)(n-3)<0,
解得-1当焦点在y轴上时,方程+=1可化为-=1,所以4=(n-3m2)-(m2+n),解得m2=-1,无解.
综上,n的取值范围是(-1,3).故选D.
3.B 依题意得a=4,b=3,c==5.
不妨设点P在双曲线的右支上,如图所示.
过F2作F2D⊥AF1于点D.
易得四边形ABF2D为矩形.
∵|AF1|=|PF1|,|BF2|=|PF2|,
∴|F1D|=|AF1|-|AD|=|AF1|-|BF2|=|PF1|-|PF2|=2a=8.
又∵|F1F2|=2c=10,
∴在Rt△F1DF2中,|F2D|===6,
∴|AB|=|F2D|=6.
4.答案 26
解析 由题意得|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,
所以|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16,
即|AF2|+|BF2|-|AB|=16.
因为|AB|=5,所以|AF2|+|BF2|=16+5=21,
所以△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.
5.答案 -y2=1
解析 由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且|F1F2|=2c=2.
由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a,得|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=
4a2.
由·=0知PF1⊥PF2,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20.
又|PF1|·|PF2|=2,∴a2=4,∴b2=c2-a2=1,
∴该双曲线的标准方程为-y2=1.
6.答案 x=±
解析 由|-|=2,
得|-|=2,其几何意义为平面内一点(x,1)与两定点(-2,0),(2,0)的距离之差的绝对值为2.
平面内与两定点(-2,0),(2,0)的距离之差的绝对值为2的点的轨迹是双曲线.
设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
由题意得a=1,b==.
所以双曲线的方程是x2-=1.
令y=1,解得x=±.
7.C 不妨设C1:-=1的两个焦点分别是F1(-5,0),F2(5,0),且|PF1|-|PF2|=8.
易知点F1,F2恰好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,且两圆的半径均为1,
所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,
所以|PQ|-|PR|的最大值为(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+
2=10.故选C.
8.信息提取 ①沿道路PA,PB运送药品到矩形灾民区ABCD中去;②PA=100km,PB=150km,BC=60km,∠APB=60°;③界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点沿道路PB送药较近.
数学建模 以救援员运送救灾药品距离最短为背景建立双曲线模型.设M为界线上的任意一点.由|PA|+|MA|=|PB|+|MB|得|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50,确定点M在以A,B为焦点的双曲线的右支上,利用双曲线的定义确定其方程.
解析 灾民区ABCD中的点可分为三类,第一类沿道路PA送药较近,第二类沿道路PB送药较近,第三类沿道路PA和PB送药一样近.
依题意知界线是第三类点的轨迹.
设M为界线上的任意一点,
则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.
因为|AB|==50>50,
所以界线是以A,B为焦点的双曲线的右支的一部分.
如图所示,以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.
设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
易知a=25,c=25,所以b2=c2-a2=3750.
故双曲线的标准方程为-=1.
故所求的曲线方程为-=1(25≤x≤35,0≤y≤60).
14
3.2.1 双曲线及其标准方程
基础过关练
题组一 双曲线的定义及其应用
1.(2022广东汕头金山中学月考)已知M(-3,0),N(3,0),|PM|-|PN|=6,则动点P的轨迹是( )
A.一条射线 B.双曲线右支
C.双曲线 D.双曲线左支
2.设θ∈,则关于x,y的方程=1所表示的曲线是( )
A.焦点在y轴上的双曲线
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在x轴上的椭圆
3.双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,若|PF1|=3,则|PF2|=( )
A.5 B.1 C.3 D.1或5
4.已知双曲线=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为( )
A.3或7 B.6或14 C.3 D.7
5.设F1,F2为双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是( )
A.1 B.
6.(2022甘肃庆阳期末)已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为右支上一动点,Q(1,4),则|PQ|+|PF1|的最小值为 .
题组二 双曲线的标准方程
7.已知双曲线的焦点为F1(-4,0),F2(4,0),双曲线上一点P与F1,F2的距离差的绝对值等于2,则该双曲线的标准方程为( )
A.=1
C.x2--x2=1
8.(2022河北张家口四中期中)已知双曲线的一个焦点为F1(-,0),点P在该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是( )
A.=1
C.=1
9.已知方程=1表示双曲线,则k的取值范围是( )
A.(-1,1) B.(0,+∞)
C.[0,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
10.求经过点P(-3,2)和Q(-6,-7)的双曲线的标准方程.
11.已知某双曲线与双曲线=1有相同的焦点,且经过点,求该双曲线的标准方程.
12.已知双曲线C的焦点为F1(-2,0),F2(2,0),点A在C上,且关于原点O的对称点为B,|AB|=|F1F2|,四边形AF1BF2的面积为6,求双曲线C的标准方程.
题组三 双曲线的综合运用
13.(2022浙江金华期中)已知△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),其内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是( )
A.=1
C.=1(x>4)
14.(2022江西南昌一模)许多建筑融入了数学元素后更具神韵,数学赋予了建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1是单叶双曲面(由双曲线旋转形成的立体图形)型建筑,图2是其中截面最细附近处的部分图形,上、下底面与地面平行.现测得下底面直径AB=20米,上底面直径CD=20米,AB与CD间的距离为80米,与上、下底面等距离的G处的直径等于CD,则最细部分处的直径为( )
图1 图2
A.10米 B.20米
C.10米 D.10米
15.已知某双曲线与椭圆=1有相同的焦点,且双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,求该双曲线的标准方程.
能力提升练
题组一 双曲线的定义及其应用
1.(2022北京丰台月考)已知F1,F2为双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,那么点P到x轴的距离为( )
A.
2.(2022江西宜春月考)已知方程=1(m,n∈R)表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A.(0,) B.(0,3)
C.(-1,) D.(-1,3)
3.(2021广东东莞期末)已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上一点,直线l分别与以F1为圆心,|F1P|为半径的圆和以F2为圆心,|F2P|为半径的圆相切于点A,B,则|AB|=( )
A.2 B.6 C.8 D.10
4.(2022山西怀仁期末)已知F1,F2分别是双曲线=1的左、右焦点,A,B是过点F1的直线与双曲线左支的交点,且|AB|=5,则△ABF2的周长是 .
题组二 双曲线的标准方程及其应用
5.已知双曲线的两个焦点分别是F1(-,0),P是双曲线上一点,且·=0,|PF1|·|PF2|=2,则该双曲线的标准方程为 .
6.(2022重庆育才中学月考)数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微.”事实上,很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,例如,与相关的代数问题,可以转化为点(x,y)与点(a,b)之间的距离的几何问题.结合上述观点,可得方程||=2的解为 .
题组三 双曲线的综合运用
7.(2022四川成都外国语学校期中)已知点P在曲线C1:=1上,点Q在曲线C2:(x+5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x-5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( )
A.6 B.8 C.10 D.12
8.某地发生地震,为了援救灾民,救援员在如图所示的P处收到一批救灾药品,现要把这批药品沿道路PA,PB运送到矩形灾民区ABCD中去,已知PA=100km,PB=150km,BC=60km,∠APB=60°,试在灾民区中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点沿道路PB送药较近,请说明这一界线是一条什么曲线,并求出其方程.
答案全解全析
基础过关练
1.A 因为|PM|-|PN|=6=|MN|,所以动点P的轨迹是一条射线.
方法总结
已知定点M,N及动点P,||PM|-|PN||<|MN|时,点P的轨迹是双曲线;||PM|-|PN||=|MN|时,点P的轨迹是两条分别以M,N为端点的射线;||PM|-|PN||>|MN|时,点P的轨迹不存在.
2.C 因为θ∈,所以-cosθ>sinθ>0,所以关于x,y的方程-=1所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆.
3.A 依题意得,a=1,b=3,因此c=.因为|PF1|=3∈(c-a,a+c),所以点P在双曲线的左支上,因此|PF1|-|PF2|=-2,即3-|PF2|=-2,所以|PF2|=5,故选A.
易错警示
已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,若|PF1|
∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或6,∴|ON|=|PF2|=7或3.
5.A 由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=4,
易知|F1F2|=2,∵|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
∴(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=16,
∴|PF1|·|PF2|=2,
则△F1PF2的面积是|PF1|·|PF2|=1.故选A.
6.答案 9
解析 因为点P在双曲线-=1的右支上,所以|PF1|-|PF2|=4,所以|PF1|=|PF2|+4.连接QF2.
又Q(1,4),F2(4,0),所以|PF1|+|PQ|=|PF2|+4+|PQ|≥|QF2|+4=9,当且仅当Q,P,F2三点共线时取“=”.故|PQ|+|PF1|的最小值为9.
7.C 由题意设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).易得c=4,a=1,所以b2=c2-a2=16-1=15.所以双曲线的标准方程是x2-=1.故选C.
8.B 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),易知c=,又c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以-=1.因为线段PF1的中点坐标为(0,2),F1(-,0),所以点P的坐标为(,4).将(,4)代入双曲线方程,得-=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线的标准方程为x2-=1.故选B.
9.A 由题意得(1+k)(1-k)>0,所以(k-1)(k+1)<0,所以-1
10.解析 设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
则解得
故双曲线的标准方程为-=1.
11.解析 由双曲线-=1,得c2=16+9=25,∴c=5.
设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
∵所求双曲线与双曲线-=1共焦点,∴b2=25-a2,故所求双曲线方程可写为-=1.
∵点在所求双曲线上,
∴-=1,
化简得4a4-129a2+125=0,
解得a2=1或a2=.
当a2=时,b2=25-a2=25-=-<0,舍去,
∴a2=1,b2=24,
∴所求双曲线的标准方程为x2-=1.
12.解析 设双曲线C的标准方程为-=1(a>0,b>0).易知原点O分别为AB和F1F2的中点,
所以四边形AF1BF2为平行四边形,
又因为|AB|=|F1F2|,
所以平行四边形AF1BF2为矩形.
因为四边形AF1BF2的面积为6,
所以|AF1||AF2|=6,
又因为|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=16,||AF1|-|AF2||=2a,
所以4a2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|=16-12=4,解得a2=1,所以b2=c2-a2=3.
故双曲线C的标准方程为x2-=1.
13.C 如图,设△ABC与圆的切点分别为D,E,F,则|AD|=|AE|=8,
|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.
根据双曲线的定义,所求轨迹是双曲线的右支,除去点(3,0),方程为-=1(x>3).故选C.
14.B 取DC的中点E,以EG所在直线为y轴,EG的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示.
易知D(10,20),B(10,-60).
设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则解得所以最细部分处的直径为2a=20(米).故选B.
15.解析 由题意得椭圆的焦点为(0,-3),(0,3),故可设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),且a2+b2=9.由双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,可得此交点的坐标为(,4)或(-,4).由交点在双曲线上知-=1.
由得故所求双曲线的标准方程为-=1.
能力提升练
1.D 不妨设|PF1|=x,|PF2|=y(x>y).
易得c=,a=2,b=1.
∵点P在双曲线上,∴x-y=4.①
∵∠F1PF2=90°,∴x2+y2=20.②
由①②得xy=2,∴=xy=1.
设△F1PF2斜边上的高为h,则·2c·h=h=1,
解得h=,故点P到x轴的距离为.故选D.
2.D 因为双曲线两焦点间的距离为4,所以c=2.
当焦点在x轴上时,方程+=1可化为-=1,所以4=(m2+n)+(3m2-n),解得m2=1.
因为-=1表示双曲线,所以(m2+n)·(3m2-n)>0,即(n+1)(n-3)<0,
解得-1
综上,n的取值范围是(-1,3).故选D.
3.B 依题意得a=4,b=3,c==5.
不妨设点P在双曲线的右支上,如图所示.
过F2作F2D⊥AF1于点D.
易得四边形ABF2D为矩形.
∵|AF1|=|PF1|,|BF2|=|PF2|,
∴|F1D|=|AF1|-|AD|=|AF1|-|BF2|=|PF1|-|PF2|=2a=8.
又∵|F1F2|=2c=10,
∴在Rt△F1DF2中,|F2D|===6,
∴|AB|=|F2D|=6.
4.答案 26
解析 由题意得|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,
所以|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16,
即|AF2|+|BF2|-|AB|=16.
因为|AB|=5,所以|AF2|+|BF2|=16+5=21,
所以△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.
5.答案 -y2=1
解析 由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且|F1F2|=2c=2.
由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a,得|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=
4a2.
由·=0知PF1⊥PF2,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=20.
又|PF1|·|PF2|=2,∴a2=4,∴b2=c2-a2=1,
∴该双曲线的标准方程为-y2=1.
6.答案 x=±
解析 由|-|=2,
得|-|=2,其几何意义为平面内一点(x,1)与两定点(-2,0),(2,0)的距离之差的绝对值为2.
平面内与两定点(-2,0),(2,0)的距离之差的绝对值为2的点的轨迹是双曲线.
设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
由题意得a=1,b==.
所以双曲线的方程是x2-=1.
令y=1,解得x=±.
7.C 不妨设C1:-=1的两个焦点分别是F1(-5,0),F2(5,0),且|PF1|-|PF2|=8.
易知点F1,F2恰好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,且两圆的半径均为1,
所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,
所以|PQ|-|PR|的最大值为(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+
2=10.故选C.
8.信息提取 ①沿道路PA,PB运送药品到矩形灾民区ABCD中去;②PA=100km,PB=150km,BC=60km,∠APB=60°;③界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点沿道路PB送药较近.
数学建模 以救援员运送救灾药品距离最短为背景建立双曲线模型.设M为界线上的任意一点.由|PA|+|MA|=|PB|+|MB|得|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50,确定点M在以A,B为焦点的双曲线的右支上,利用双曲线的定义确定其方程.
解析 灾民区ABCD中的点可分为三类,第一类沿道路PA送药较近,第二类沿道路PB送药较近,第三类沿道路PA和PB送药一样近.
依题意知界线是第三类点的轨迹.
设M为界线上的任意一点,
则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.
因为|AB|==50>50,
所以界线是以A,B为焦点的双曲线的右支的一部分.
如图所示,以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.
设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
易知a=25,c=25,所以b2=c2-a2=3750.
故双曲线的标准方程为-=1.
故所求的曲线方程为-=1(25≤x≤35,0≤y≤60).
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