人教A版选择性必修第一册3.2.2 双曲线的简单几何性质同步练习（Word含答案）

3.2.2　双曲线的简单几何性质
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　双曲线性质的简单应用
1.双曲线-y2=1的右顶点坐标为(　　)
A.(1,0)　　　　　　　 B.(,0)
C.(,0)　　　　　　　D.(2,0)
2.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于(　　)
A.-
3.中心在原点,实轴在x轴上,一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是(　　)
A.x2-y2=8　　　　　　　B.x2-y2=4
C.y2-x2=8　　　　　　　D.y2-x2=4
4.(2022河南郑州中学月考)已知双曲线C的方程为=1(k≥3),则双曲线C的离心率的取值范围是(　　)
A.(]
C.(,6]　　　　　　　 D.(2,6]
5.(2022山东菏泽期中)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A.y=±x
C.y=±x　　　　　　　 D.y=±x
6.(2022山西朔州怀仁期中)已知F1,F2是双曲线C:-y2=1的左、右焦点,过F2的直线l与曲线C的右支交于A,B两点,则△AF1B的周长的最小值为(　　)
A.4
7.(2022浙江杭州联考)已知双曲线=1(a>0,b>0)的实轴长为4,其焦点到渐近线的距离为,则该双曲线的离心率为(　　)
A.
题组二　直线与双曲线的位置关系
8.(2022河南信阳月考)若直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,则实数k的取值范围是(　　)
A.(-)
C.(-)　　　　　　　D.(-1,1)
9.已知双曲线C:=1(a>0,b>0),若直线y=2x+m(m≠0)与双曲线C有且只有一个交点,则双曲线C的离心率为　　　　.
10.过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为的直线,与双曲线交于A,B两点,则|AB|=　　　　.
11.(2021吉林长春期末)已知双曲线C:x2-y2=a2(a>0)与椭圆=1有相同的焦点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)以P(1,2)为中点作双曲线C的一条弦AB,求弦AB所在直线的方程.
能力提升练
题组一　双曲线的性质及其应用
1.(多选)(2022辽南协作校期中)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是双曲线上一点,若|PF1|=5|PF2|,则该双曲线的离心率可以是(　　)
A.　　　　　D.2
2.(2022安徽宿州十三所重点中学期中)已知F1,F2分别为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线C上的点A满足|AF1|=2|AF2|,且AF1的中点在y轴上,则双曲线C的离心率为(　　)
A.+1
3.(2022江苏常州月考)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作圆x2+y2=a2的切线,交双曲线右支于点M,若∠F1MF2=45°,则双曲线的离心率为(　　)
A.　　　　　　　B.2
C.
4.(多选)(2021湖北黄冈中学三模)已知动点P在双曲线C:x2-=1上,双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,下列结论正确的是(　　)
A.双曲线C的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切
B.满足|PF2|=4的点P共有2个
C.直线y=k(x-2)与双曲线的两支各有一个交点的充要条件是-
D.若|PF1|+|PF2|=8,则=6
5.(2022安徽六安一中期中)已知F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A.(1,3]　　　　　　　 B.[3,+∞)
C.[]
6.(多选)(2022山东日照期中)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若|AF1|=|BF2|=2|AF2|,则(　　)
A.∠AF1B=∠F1AB
B.双曲线的离心率e=
C.双曲线的渐近线方程为y=±x
D.原点O在以F2为圆心,|AF2|为半径的圆上
7.(2022河南洛阳月考)双曲线E:=1(a>0,b>0)的渐近线为菱形OABC的边OA,OC所在的直线(O为坐标原点),点B(2,0)为双曲线的焦点,若∠AOC=120°,则双曲线的方程为　　　　　　.
8.(2022河南周口期中)已知F为双曲线E:=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F向双曲线E的一条渐近线引垂线,垂足为A,且交另一条渐近线于点B,若|OF|=|FB|(O为坐标原点),求双曲线E的离心率.
题组二　直线与双曲线的位置关系
9.(2022广东佛山一中期中)已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于A,B两点,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是　　　　.
10.由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务,对商船进行护航.某日,甲舰在乙舰正东方向6km处,丙舰在乙舰北偏西30°方向相距4km处,某时刻甲舰发现商船的求救信号,由于乙、丙两舰比甲舰距商船远,因此4s后乙、丙两舰才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1km/s,若甲舰赶赴救援,行进的方向角应是多少
11.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,|PF1|,|PF2|的最小值分别为m1,m2,且满足m1m2=3a2.
(1)求双曲线的离心率;
(2)若a=2,过点F1的直线交双曲线于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点D(异于坐标原点O),求的最小值.
答案全解全析
基础过关练
1.B
2.A　双曲线方程化为标准形式为y2-=1,则a2=1,b2=-.由题意得2=,解得m=-.
3.A　设等轴双曲线的方程为-=1(a>0).在直线3x-4y+12=0中,令y=0,得x=-4,∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(-4,0),∴c=4,∴a2=c2=×16=8,故所求双曲线的方程是x2-y2=8.故选A.
4.A　由题意得a2=k-2,b2=k+2,所以c2=2k,所以双曲线C的离心率e==.因为k≥3,所以0<≤,所以0>-≥-,所以1>1-≥,所以e∈(,].故选A.
5.A　由题意可得e===,∴=,∴双曲线C的渐近线方程为y=±x.故选A.
6.C　由题意得a=,b=1,所以△AF1B的周长为|F1A|+|F1B|+|AB|=(2a+|F2A|)+(2a+|F2B|)+|AB|=4a+|F2A|+|F2B|+|AB|=4+2|AB|,所以求△AF1B的周长的最小值就是求|AB|的最小值.
由双曲线的性质可知AB为通径时长度最短,为=,所以△AF1B的周长的最小值为4+2=6.故选C.
7.B　由题意可得a=2,一条渐近线方程为bx+ay=0.
设双曲线的右焦点为F(c,0),则==,所以b=,所以c==,所以离心率e==.故选B.
8.D　当直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的渐近线y=±x平行时,k=±1,此时直线与双曲线的左支或右支只有一个交点.
因为直线l:y=kx+2与双曲线C:x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,所以实数k的取值范围为(-1,1).故选D.
9.答案　
解析　由题意知直线y=2x+m与双曲线的一条渐近线平行,则=2,故e===.
10.答案　3
解析　依题意得F1(-2,0),所以直线AB的方程为y=(x+2).
由得8x2-4x-13=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,
所以|AB|=
==3.
11.解析　(1)设双曲线C的两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).
由题意得c=2,∴a2+a2=c2=4,则a=,
∴双曲线C的方程为x2-y2=2.
(2)当AB所在直线斜率不存在时,由对称性可知,中点不可能为P(1,2),故此时不满足题意.
当AB所在直线斜率存在时,设AB所在直线的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(1-k2)x2-2kmx-(m2+2)=0,
则Δ=4k2m2-4(1-k2)(-m2-2)=-8k2+4m2+8>0,即2k2-m2-2<0.①
∵P(1,2)为线段AB的中点,∴x1+x2==2.②
∵点P(1,2)在AB所在直线y=kx+m上,
∴2=k+m.③
联立②③,解得k=,m=,代入①检验,符合题意.
∴弦AB所在直线的方程为x-2y+3=0.
能力提升练
1.AB　易得P为双曲线右支上一点,所以由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a,
又|PF1|=5|PF2|,所以|PF2|=a.
易知|PF2|≥c-a,所以2c≤3a,
即e=≤,
又e>1,所以12.B　设F1(-c,0),F2(c,0),线段AF1的中点为D.连接DF2,由双曲线C上的点A满足|AF1|=2|AF2|,AF1的中点D在y轴上,可得|DF2|=|DF1|=|AD|=|AF2|,所以AF2⊥F1F2,所以点A的横坐标为c.
在-=1(a>0,b>0)中,令x=c,可得y=±b=±.
在直角三角形AF1F2中,∠F1AF2=60°,
所以tan∠F1AF2===,即=,
即e2-2e-=0,解得e=或e=-(舍去).
∴双曲线的离心率是.故选B.
3.A　设切点为N,连接ON,过F2作F2A⊥MN,垂足为A.
由|ON|=a且ON为△F1F2A的中位线,可得|F2A|=2a,|F1N|==b,所以|F1A|=2b.
在直角三角形MF2A中,∠AMF2=45°,则|AM|=|F2A|=2a,|MF2|=2a,所以|MF1|=2b+2a.
由双曲线的定义可得|MF1|-|MF2|=2b+2a-2a=2a,即b=a,∴c==a,∴e==.故选A.
4.ACD　由双曲线C:x2-=1得a=1,b=,c=2.
对于A,双曲线C的渐近线方程为y=±x,圆(x-2)2+y2=3的圆心为(2,0),半径为,圆心(2,0)到渐近线的距离d==,故双曲线C的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,故A正确;
对于B,当P在右支上时,|PF2|≥c-a=1,当P在左支上时,|PF2|≥c+a=3,所以满足|PF2|=4的点P共有4个,故B错误;
对于C,直线y=k(x-2)恒过点(2,0),当k=±时,直线y=k(x-2)与渐近线平行,与双曲线只有一个交点,所以若直线y=k(x-2)与双曲线的两支各有一个交点,则-对于D,不妨设P在双曲线的右支上,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=2,又|PF1|+|PF2|=8,所以|PF1|=5,|PF2|=3,又|F1F2|=2c=4,所以|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,所以PF2⊥F1F2,所以=×3×4=6,故D正确.
故选ACD.
5.A　设|PF2|=m(m≥c-a),则根据双曲线的定义得|PF1|=2a+m,所以==+4a+m≥8a,当且仅当m=2a时,等号成立.
因为m≥c-a,所以c-a≤2a,所以e≤3,又e>1,所以16.ABC　设|AF1|=|BF2|=2|AF2|=2m,则|AB|=|AF2|+|BF2|=3m.
由双曲线的定义知|AF1|-|AF2|=2m-m=2a,即m=2a,|BF1|-|BF2|=2a,即|BF1|-2m=2a,∴|BF1|=3m=|AB|,∴∠AF1B=∠F1AB,故A中说法正确;
在△ABF1中,cos∠AF1B===,
则在△AF1F2中,cos∠F1AF2===,化简并整理,得12c2=11m2=44a2,∴离心率e===,故B中说法正确;
双曲线的渐近线方程为y=±x=±x=±x=±x,故C中说法正确;
若原点O在以F2为圆心,|AF2|为半径的圆上,则c=m=2a,即=2,与=不符,故D中说法错误.
故选ABC.
7.答案　x2-=1
解析　不妨设A在第一象限.由题意知OA所在直线的倾斜角为∠AOC的一半,即∠AOB=60°,故=tan60°=,又点B(2,0)为双曲线的焦点,所以a2+b2=4,所以4a2=4,解得a=1,故b=.所以双曲线的方程为x2-=1.
8.解析　如图所示,过F作另一条渐近线的垂线,垂足为D.
易知双曲线的渐近线方程为y=±x,则F(c,0)到渐近线的距离d==b,即|FA|=|FD|=b,
∴|OA|=|OD|=a,|AB|=b+c.
易知△OFB为等腰三角形,∴D为OB的中点,∴|OB|=2a.
∵AB⊥OA,∴|OB|2=|OA|2+|AB|2=a2+(b+c)2,即4a2=a2+(b+c)2,整理得c2-bc-2b2=0,∴c=2b,则a=b,∴e==.
9.答案　±1
解析　由消去y,得x2-2mx-m2-2=0.
Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,∴线段AB的中点坐标为(m,2m).又∵点(m,2m)在圆x2+y2=5上,∴5m2=5,∴m=±1.
10.数学建模　设A,B,C,P分别为甲舰、乙舰、丙舰和商船.由|PB|-|PA|=4<6=|AB|知可建立双曲线模型解决问题.
解析　设A,B,C,P分别为甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示,
以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2).
∵|PB|=|PC|,∴点P在线段BC的垂直平分线上,又易知kBC=-,线段BC的中点D(-4,),
∴直线PD的方程为y-=(x+4).①
∵|PB|-|PA|=4<6=|AB|,
∴点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,且a=2,c=3,
∴双曲线方程为-=1(x≥2).②
联立①②,得P点坐标为(8,5),
∴kPA==,因此甲舰行进的方向角为北偏东30°.
11.解析　(1)由题意知F1(-c,0),F2(c,0).
由双曲线的性质知m1=c+a,m2=c-a,
∴m1m2=c2-a2=3a2,∴c=2a,
故双曲线的离心率e==2.
(2)当a=2时,c=-a2=12.
∴双曲线的方程为-=1,F1(-4,0).
由题知直线AB的斜率存在,设为k,则k≠±且k≠0,直线AB的方程为y=k(x+4).
联立消去y并整理,得(3-k2)x2-8k2x-16k2-12=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
∴|AB|=
==.
易得线段AB的中点的坐标为,
∴线段AB的垂直平分线的方程为y-=-.
令x=0,得y=,∴D点的坐标为,
∴|OD|=.
∴===≥,当且仅当|k|=1,即k=±1时取等号,
∴的最小值为.
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