人教A版选择性必修第一册3.3.1 抛物线及其标准方程同步练习（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版选择性必修第一册3.3.1 抛物线及其标准方程同步练习（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 168.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-05 17:44:53 | ||
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文档简介
3.3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
基础过关练
题组一 抛物线的定义及标准方程
1.(2021福建三明一中期中)若拋物线的准线方程为x=1,则该抛物线的标准方程是( )
A.y2=-4x B.y2=4x
C.x2=-4y D.x2=4y
2.(2021山西怀仁一中期中)焦点在y轴上,且过点P(-2,3)的抛物线的标准方程是( )
A.y2=-x
C.x2=y
3.(2022江西景德镇一中期中)已知动圆M经过定点A(1,0),且和直线x=-1相切,则点M的轨迹方程为( )
A.y2=2x B.y2=4x
C.y2=-2x D.y2=-4x
4.(2022重庆八中期中)若点P与点(0,2)之间的距离比点P到直线y=-1的距离大1,则点P的轨迹方程为( )
A.y2=4x B.x2=4y
C.y2=8x D.x2=8y
5.(2021山东烟台期末)若抛物线x2=my过点(1,-4),则该抛物线的焦点坐标为( )
A.
C.(-1,0) D.(0,-1)
6.(2022辽宁葫芦岛一高中月考)抛物线x2=ay的准线方程为y=-2,则该抛物线的焦点坐标为( )
A.(2,0) B.(0,2)
C.(0,4) D.(0,-4)
题组二 抛物线的定义及标准方程的应用
7.(2022河南新乡月考)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,准线为l,点P在C上,直线PF交x轴于点Q,若=3,则点P到准线l的距离为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
8.(2021重庆南开中学期中)由抛物线y2=4x上一点P向准线作垂线,垂足为Q,抛物线的焦点为F,已知∠FPQ=60°,则|PF|=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(2021湖南张家界期末)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆=1的一个焦点,则p= .
10.(2022甘肃嘉峪关一中期中)已知双曲线=1(a>0,b>0)与抛物线y2=4x有一个公共的焦点F,且两曲线的一个交点为P.若|PF|=,求双曲线的渐近线方程.
11.已知当抛物线形拱桥的顶点距水面2m时,量得水面宽8m,当水面升高1m后,求水面的宽度.
12.已知抛物线y2=2x的焦点为F,点P是抛物线上的动点.
(1)若A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值及此时点P的坐标;
(2)求点P与点B之间的距离与点P到直线x=-的距离之和的最小值.
13.(2021四川泸州泸县一中二模)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点的直线分别交抛物线于A,B两点,分别过A,B作l的垂线,垂足分别为C,D.若|AF|=3|BF|,且△CDF的面积为,求p的值.
能力提升练
题组一 抛物线的定义及标准方程
1.(2022四川成都期中)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-2x-3=0相切,则p的值为( )
A. B.1 C.2 D.4
2.(2022江苏南通期中)已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点在直线y=2x-4上,则a的值为( )
A.8 B.-4 C.-8 D.-16
3.(2022江苏淮安盱眙马坝高级中学期中)已知F是抛物线x2=4y的焦点,M,N是该抛物线上两点,|MF|+|NF|=6,则线段MN的中点到准线的距离为( )
A. B.2 C.3 D.4
4.(2021江西南昌期末)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交抛物线的准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=6,则此抛物线的标准方程为( )
A.y2=9x B.y2=6x
C.y2=3x D.y2=x
题组二 抛物线的定义及标准方程的应用
5.(2022浙江宁波效实中学期中)已知A(4,5),抛物线x2=8y的焦点为F,P为抛物线上与直线AF不共线的点,则△PAF周长的最小值为( )
A.18 B.13 C.12 D.7
6.(2021吉林梅河口第五中学期中)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,则抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A. D.3
7.(2022河北保定唐县第一中学期中)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,则点P与点Q之间的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是( )
A.2-2
C.-2
8.(2022天津一中期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为直线x=-1,若M为C上的一个动点,点N的坐标为(3,0),则|MN|的最小值为 .
9.已知点A是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,O为坐标原点,若以点M(18,0)为圆心,|OA|为半径的圆交抛物线C于A,B两点,且△ABO为等边三角形,求p的值.
答案全解全析
基础过关练
1.A 由题意可设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),因为抛物线的准线方程为x=1,所以=1,解得p=2,所以抛物线的标准方程为y2=-4x.故选A.
2.C 由题意设抛物线的标准方程是x2=2py(p>0),将(-2,3)代入,得4=6p,解得p=,所以抛物线的标准方程是x2=y.故选C.
3.B 由题意得点M与点A(1,0)之间的距离等于点M到直线x=-1的距离,即点M的轨迹为以点A(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,设其方程为y2=2px(p>0),则-=-1,解得p=2,所以点M的轨迹方程为y2=4x.故选B.
4.D 由题意得点P与点(0,2)之间的距离等于点P到直线y=-2的距离,所以点P的轨迹是以(0,2)为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,设其方程为x2=2py(p>0),则-=-2,解得p=4,所以点P的轨迹方程是x2=8y.故选D.
5.A 由题意得-4m=1,解得m=-,所以抛物线的标准方程为x2=-y,则焦点坐标为.故选A.
6.B 由题意得抛物线的焦点在y轴的正半轴上,且-=-2,解得a=8,所以抛物线的标准方程为x2=8y,所以抛物线的焦点坐标为(0,2).故选B.
7.B 如图,过点P作x轴的垂线,垂足为N,由题意得F(0,1),l:y=-1,则|OF|=1.
易得△QOF∽△QNP,则=,
因为=3,所以===,
所以|NP|=4,所以点P到准线l的距离为|NP|+1=5.故选B.
8.D 连接FQ,由抛物线的定义可得|PF|=|PQ|,
又∠FPQ=60°,所以△FPQ为等边三角形,则∠PQF=60°,|PF|=|QF|.设准线与x轴交于M,则∠MQF=30°.易得|MF|=2,所以在Rt△QMF中,|QF|=2|MF|=4,则|PF|=|QF|=4.故选D.
9.答案 8
解析 由题意得=,即p2-8p=0,解得p=8(p=0舍去).
10.解析 由y2=4x得F(1,0),p=2,
∵抛物线和双曲线有一个公共的焦点F,∴c=1.
设P(m,n),由抛物线的定义知,|PF|=m+=m+1=,∴m=.
∵点P在抛物线上,∴n2=6,解得n=±,
∴点P的坐标为,
∴∴
∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.
11.信息提取 ①抛物线形拱桥;②顶点距水面2m时,量得水面宽8m;③水面升高1m,求水面宽度.
数学建模 建立坐标系,求出抛物线的标准方程,利用方程解决问题.
解析 建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2=-2py(p>0).
由(4,-2)在抛物线上,知16=-2p·(-2),解得p=4,
∴抛物线方程为x2=-8y.
当y=-1时,x2=8,解得x=±2.
∴所求水面宽度是4m.
12.解析 (1)过点P作PQ垂直于抛物线的准线l:x=-,垂足为Q.
由抛物线的定义知,|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|,
∴当P,A,Q三点共线时,|PA|+|PQ|的值最小,最小值为,故|PA|+|PF|的最小值为,此时点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,
∴点P的坐标为(2,2).
(2)易知F.
设点P到准线l:x=-的距离为d.
由抛物线的定义得|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|,当且仅当B,P,F三点共线(P在线段BF上)时取等号.
又|BF|==2,
∴所求距离之和的最小值为2.
13.解析 过点B作BM∥l,交直线AC于点M,交x轴于点N,设点A(x1,y1),B(x2,y2).
由|AF|=3|BF|,得x1+=3,
即x1-3x2=p.①
因为NF∥AM,所以===,所以|NF|=(x1-x2),
所以|OF|=|ON|+|NF|=x2+(x1-x2)=.②
由①②解得x1=,x2=.
在Rt△ABM中,|AB|=x1+x2+p=,|AM|=x1-x2=,所以|BM|==,
所以S△CDF=××p=,解得p=或p=-(舍去),即p=.
解题模板
在解决与抛物线焦半径有关的问题时,常将抛物线上的点与焦点之间的距离转化为其到准线的距离,如抛物线上一点P(x0,y0),焦点F(p>0),准线方程为x=-,则|PF|=x0+.
能力提升练
1.C 易得抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-.由圆x2+y2-2x-3=0得(x-1)2+y2=4.
因为抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-2x-3=0相切,所以=2,解得p=2(p=-6舍去).故选C.
2.D 由抛物线的方程知焦点坐标为.因为焦点在直线y=2x-4上,所以=-4,解得a=-16.故选D.
3.C 易得抛物线x2=4y的准线方程为y=-1.
设M(x,y),N(x',y'),由抛物线的定义得|MF|+|NF|=(y+1)+(y'+1)=6,所以y+y'=4,则线段MN的中点的纵坐标为=2,所以线段MN的中点到准线的距离为2-(-1)=3.故选C.
4.B 如图,分别过点A,B作准线的垂线,垂足为E,D.设准线与x轴交于点G,|BF|=a,则|BC|=2a.由抛物线的定义得|BD|=|BF|=a,故∠BCD=30°.
在Rt△ACE中,易知|AE|=|AF|=6,2|AE|=|AC|,
|AC|=|AF|+|FC|=6+3a,
所以6+3a=12,解得a=2,所以|FC|=3a=6,
所以p=|FG|=|FC|=3,
因此抛物线的标准方程为y2=6x.故选B.
5.C 由题意得F(0,2),准线方程为y=-2.过P作PP1垂直于准线,交准线于P1,过A作AA1垂直于准线,交准线于A1,如图所示,
根据抛物线的定义可知|PF|=|PP1|.
因为A(4,5),所以|AF|==5,
|AA1|=5-(-2)=7,
所以△PAF的周长C=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PP1|≥|AF|+
|AA1|=5+7=12,当且仅当A,P,P1三点共线时,等号成立.故选C.
6.B 由题可知直线l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线.设抛物线的焦点为F,则F(1,0),连接PF,所以动点P到直线l2的距离等于|PF|,所以动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,为=2.故选B.
7.C 易得抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),设为F,圆x2+(y-4)2=1的圆心坐标为(0,4),设为C,半径r=1.
根据抛物线的定义可知点P到抛物线的准线的距离等于点P与焦点F之间的距离,所以当P,Q,F三点共线时,所求距离之和最小,最小值为|FC|-r=-1=-1.故选C.
8.答案 2
解析 由题意得p=2,所以抛物线C:y2=4x.
设M(x0,y0)(x0≥0),由题意知=4x0,
则|MN|2=+=+4x0=+8≥8,当x0=1时,|MN|2取得最小值8,所以|MN|的最小值为2.
9.解析 由已知可得|OA|=|AM|,所以△OAM是等腰三角形,根据圆的对称性可知AB⊥OM,设AB与OM相交于点D,则D分别为AB,OM的中点.
因为M(18,0),所以|OD|=9.
因为△ABO为等边三角形,所以∠AOD=30°.
在Rt△AOD中,|AD|=|OD|·tan30°=9×=3,所以点A的坐标为(9,3).
因为点A(9,3)在抛物线y2=2px(p>0)上,
所以=18p,解得p=.
13
3.3.1 抛物线及其标准方程
基础过关练
题组一 抛物线的定义及标准方程
1.(2021福建三明一中期中)若拋物线的准线方程为x=1,则该抛物线的标准方程是( )
A.y2=-4x B.y2=4x
C.x2=-4y D.x2=4y
2.(2021山西怀仁一中期中)焦点在y轴上,且过点P(-2,3)的抛物线的标准方程是( )
A.y2=-x
C.x2=y
3.(2022江西景德镇一中期中)已知动圆M经过定点A(1,0),且和直线x=-1相切,则点M的轨迹方程为( )
A.y2=2x B.y2=4x
C.y2=-2x D.y2=-4x
4.(2022重庆八中期中)若点P与点(0,2)之间的距离比点P到直线y=-1的距离大1,则点P的轨迹方程为( )
A.y2=4x B.x2=4y
C.y2=8x D.x2=8y
5.(2021山东烟台期末)若抛物线x2=my过点(1,-4),则该抛物线的焦点坐标为( )
A.
C.(-1,0) D.(0,-1)
6.(2022辽宁葫芦岛一高中月考)抛物线x2=ay的准线方程为y=-2,则该抛物线的焦点坐标为( )
A.(2,0) B.(0,2)
C.(0,4) D.(0,-4)
题组二 抛物线的定义及标准方程的应用
7.(2022河南新乡月考)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,准线为l,点P在C上,直线PF交x轴于点Q,若=3,则点P到准线l的距离为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
8.(2021重庆南开中学期中)由抛物线y2=4x上一点P向准线作垂线,垂足为Q,抛物线的焦点为F,已知∠FPQ=60°,则|PF|=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(2021湖南张家界期末)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆=1的一个焦点,则p= .
10.(2022甘肃嘉峪关一中期中)已知双曲线=1(a>0,b>0)与抛物线y2=4x有一个公共的焦点F,且两曲线的一个交点为P.若|PF|=,求双曲线的渐近线方程.
11.已知当抛物线形拱桥的顶点距水面2m时,量得水面宽8m,当水面升高1m后,求水面的宽度.
12.已知抛物线y2=2x的焦点为F,点P是抛物线上的动点.
(1)若A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值及此时点P的坐标;
(2)求点P与点B之间的距离与点P到直线x=-的距离之和的最小值.
13.(2021四川泸州泸县一中二模)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点的直线分别交抛物线于A,B两点,分别过A,B作l的垂线,垂足分别为C,D.若|AF|=3|BF|,且△CDF的面积为,求p的值.
能力提升练
题组一 抛物线的定义及标准方程
1.(2022四川成都期中)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-2x-3=0相切,则p的值为( )
A. B.1 C.2 D.4
2.(2022江苏南通期中)已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点在直线y=2x-4上,则a的值为( )
A.8 B.-4 C.-8 D.-16
3.(2022江苏淮安盱眙马坝高级中学期中)已知F是抛物线x2=4y的焦点,M,N是该抛物线上两点,|MF|+|NF|=6,则线段MN的中点到准线的距离为( )
A. B.2 C.3 D.4
4.(2021江西南昌期末)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交抛物线的准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=6,则此抛物线的标准方程为( )
A.y2=9x B.y2=6x
C.y2=3x D.y2=x
题组二 抛物线的定义及标准方程的应用
5.(2022浙江宁波效实中学期中)已知A(4,5),抛物线x2=8y的焦点为F,P为抛物线上与直线AF不共线的点,则△PAF周长的最小值为( )
A.18 B.13 C.12 D.7
6.(2021吉林梅河口第五中学期中)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,则抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A. D.3
7.(2022河北保定唐县第一中学期中)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,则点P与点Q之间的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是( )
A.2-2
C.-2
8.(2022天津一中期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为直线x=-1,若M为C上的一个动点,点N的坐标为(3,0),则|MN|的最小值为 .
9.已知点A是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,O为坐标原点,若以点M(18,0)为圆心,|OA|为半径的圆交抛物线C于A,B两点,且△ABO为等边三角形,求p的值.
答案全解全析
基础过关练
1.A 由题意可设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),因为抛物线的准线方程为x=1,所以=1,解得p=2,所以抛物线的标准方程为y2=-4x.故选A.
2.C 由题意设抛物线的标准方程是x2=2py(p>0),将(-2,3)代入,得4=6p,解得p=,所以抛物线的标准方程是x2=y.故选C.
3.B 由题意得点M与点A(1,0)之间的距离等于点M到直线x=-1的距离,即点M的轨迹为以点A(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,设其方程为y2=2px(p>0),则-=-1,解得p=2,所以点M的轨迹方程为y2=4x.故选B.
4.D 由题意得点P与点(0,2)之间的距离等于点P到直线y=-2的距离,所以点P的轨迹是以(0,2)为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,设其方程为x2=2py(p>0),则-=-2,解得p=4,所以点P的轨迹方程是x2=8y.故选D.
5.A 由题意得-4m=1,解得m=-,所以抛物线的标准方程为x2=-y,则焦点坐标为.故选A.
6.B 由题意得抛物线的焦点在y轴的正半轴上,且-=-2,解得a=8,所以抛物线的标准方程为x2=8y,所以抛物线的焦点坐标为(0,2).故选B.
7.B 如图,过点P作x轴的垂线,垂足为N,由题意得F(0,1),l:y=-1,则|OF|=1.
易得△QOF∽△QNP,则=,
因为=3,所以===,
所以|NP|=4,所以点P到准线l的距离为|NP|+1=5.故选B.
8.D 连接FQ,由抛物线的定义可得|PF|=|PQ|,
又∠FPQ=60°,所以△FPQ为等边三角形,则∠PQF=60°,|PF|=|QF|.设准线与x轴交于M,则∠MQF=30°.易得|MF|=2,所以在Rt△QMF中,|QF|=2|MF|=4,则|PF|=|QF|=4.故选D.
9.答案 8
解析 由题意得=,即p2-8p=0,解得p=8(p=0舍去).
10.解析 由y2=4x得F(1,0),p=2,
∵抛物线和双曲线有一个公共的焦点F,∴c=1.
设P(m,n),由抛物线的定义知,|PF|=m+=m+1=,∴m=.
∵点P在抛物线上,∴n2=6,解得n=±,
∴点P的坐标为,
∴∴
∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.
11.信息提取 ①抛物线形拱桥;②顶点距水面2m时,量得水面宽8m;③水面升高1m,求水面宽度.
数学建模 建立坐标系,求出抛物线的标准方程,利用方程解决问题.
解析 建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2=-2py(p>0).
由(4,-2)在抛物线上,知16=-2p·(-2),解得p=4,
∴抛物线方程为x2=-8y.
当y=-1时,x2=8,解得x=±2.
∴所求水面宽度是4m.
12.解析 (1)过点P作PQ垂直于抛物线的准线l:x=-,垂足为Q.
由抛物线的定义知,|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|,
∴当P,A,Q三点共线时,|PA|+|PQ|的值最小,最小值为,故|PA|+|PF|的最小值为,此时点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,
∴点P的坐标为(2,2).
(2)易知F.
设点P到准线l:x=-的距离为d.
由抛物线的定义得|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|,当且仅当B,P,F三点共线(P在线段BF上)时取等号.
又|BF|==2,
∴所求距离之和的最小值为2.
13.解析 过点B作BM∥l,交直线AC于点M,交x轴于点N,设点A(x1,y1),B(x2,y2).
由|AF|=3|BF|,得x1+=3,
即x1-3x2=p.①
因为NF∥AM,所以===,所以|NF|=(x1-x2),
所以|OF|=|ON|+|NF|=x2+(x1-x2)=.②
由①②解得x1=,x2=.
在Rt△ABM中,|AB|=x1+x2+p=,|AM|=x1-x2=,所以|BM|==,
所以S△CDF=××p=,解得p=或p=-(舍去),即p=.
解题模板
在解决与抛物线焦半径有关的问题时,常将抛物线上的点与焦点之间的距离转化为其到准线的距离,如抛物线上一点P(x0,y0),焦点F(p>0),准线方程为x=-,则|PF|=x0+.
能力提升练
1.C 易得抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-.由圆x2+y2-2x-3=0得(x-1)2+y2=4.
因为抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-2x-3=0相切,所以=2,解得p=2(p=-6舍去).故选C.
2.D 由抛物线的方程知焦点坐标为.因为焦点在直线y=2x-4上,所以=-4,解得a=-16.故选D.
3.C 易得抛物线x2=4y的准线方程为y=-1.
设M(x,y),N(x',y'),由抛物线的定义得|MF|+|NF|=(y+1)+(y'+1)=6,所以y+y'=4,则线段MN的中点的纵坐标为=2,所以线段MN的中点到准线的距离为2-(-1)=3.故选C.
4.B 如图,分别过点A,B作准线的垂线,垂足为E,D.设准线与x轴交于点G,|BF|=a,则|BC|=2a.由抛物线的定义得|BD|=|BF|=a,故∠BCD=30°.
在Rt△ACE中,易知|AE|=|AF|=6,2|AE|=|AC|,
|AC|=|AF|+|FC|=6+3a,
所以6+3a=12,解得a=2,所以|FC|=3a=6,
所以p=|FG|=|FC|=3,
因此抛物线的标准方程为y2=6x.故选B.
5.C 由题意得F(0,2),准线方程为y=-2.过P作PP1垂直于准线,交准线于P1,过A作AA1垂直于准线,交准线于A1,如图所示,
根据抛物线的定义可知|PF|=|PP1|.
因为A(4,5),所以|AF|==5,
|AA1|=5-(-2)=7,
所以△PAF的周长C=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PP1|≥|AF|+
|AA1|=5+7=12,当且仅当A,P,P1三点共线时,等号成立.故选C.
6.B 由题可知直线l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线.设抛物线的焦点为F,则F(1,0),连接PF,所以动点P到直线l2的距离等于|PF|,所以动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,为=2.故选B.
7.C 易得抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),设为F,圆x2+(y-4)2=1的圆心坐标为(0,4),设为C,半径r=1.
根据抛物线的定义可知点P到抛物线的准线的距离等于点P与焦点F之间的距离,所以当P,Q,F三点共线时,所求距离之和最小,最小值为|FC|-r=-1=-1.故选C.
8.答案 2
解析 由题意得p=2,所以抛物线C:y2=4x.
设M(x0,y0)(x0≥0),由题意知=4x0,
则|MN|2=+=+4x0=+8≥8,当x0=1时,|MN|2取得最小值8,所以|MN|的最小值为2.
9.解析 由已知可得|OA|=|AM|,所以△OAM是等腰三角形,根据圆的对称性可知AB⊥OM,设AB与OM相交于点D,则D分别为AB,OM的中点.
因为M(18,0),所以|OD|=9.
因为△ABO为等边三角形,所以∠AOD=30°.
在Rt△AOD中,|AD|=|OD|·tan30°=9×=3,所以点A的坐标为(9,3).
因为点A(9,3)在抛物线y2=2px(p>0)上,
所以=18p,解得p=.
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