人教A版选择性必修第一册3.3.2 抛物线的简单几何性质同步练习（Word含答案）

3.3.2　抛物线的简单几何性质
基础过关练　　　　　　　　　　　　　　　
题组一　抛物线的简单几何性质
1.若点P在抛物线x2=-12y上,且P到抛物线的准线的距离为d,则d的取值范围是(　　)
A.[6,+∞)　　　　　　　B.[3,+∞)
C.(6,+∞)　　　　　　　D.(3,+∞)
2.等腰直角三角形AOB的三个顶点均在抛物线y2=2px(p>0)上,O为抛物线的顶点,且OA⊥OB,则△AOB的面积是(　　)
A.8p2　　　　　　　B.4p2
C.2p2　　　　　　　D.p2
3.(2021甘肃武威一中月考)抛物线y2=-8x的焦点为F,抛物线上一点P在抛物线的对称轴的上方,若|PF|=5,则点P的坐标是(　　)
A.(-3,2)
C.(2,4)　　　　　　　 D.(-2,4)
4.(2021江西赣州二模)抛物线x2=2py(p>0)与椭圆=1交于A,B两点,若△AOB的面积为(其中O为坐标原点),则p=(　　)
A.2　　　　　　　B.3
C.4　　　　　　　D.6
5.(2022江苏镇江中学期中)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过F作垂直于x轴的直线交抛物线于M,N两点,以MN为直径的圆交y轴于C,D两点,且|CD|=3,则抛物线的标准方程为(　　)
A.y2=2x　　　　　　　 B.y2=2x
C.y2=4x　　　　　　　D.y2=6x
6.顶点在原点,对称轴为y轴且经过点(4,1)的抛物线的准线与对称轴的交点坐标是　　　　.
7.一条光线从抛物线y2=2px(p>0)的焦点F射出,经抛物线上一点B反射后,反射光线经过点A(5,4),若|AB|+|FB|=6,则抛物线的标准方程为　　　　　.
题组二　直线与抛物线的位置关系
8.(2022四川成都七中期中)若过点P(0,2)的直线l与抛物线C:y2=2x有且只有一个公共点,则这样的直线l共有(　　)
A.1条　　　　　　　B.2条
C.3条　　　　　　　D.4条
9.(2022河南南阳邓州月考)已知斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,线段AB的中点为M(2,1),则直线l的方程为(　　)
A.2x-y-3=0　　　　　　　B.2x-y-5=0
C.x-2y=0　　　　　　　 D.x-y-1=0
10.(2022浙江宁波镇海中学期中)已知斜率为的直线l经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,并与抛物线交于A,B两点,且|AB|=8,则p=(　　)
A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4
11.(2022陕西西安长安一中期中)抛物线C:y=x2的焦点为F,直线l经过点F,且与抛物线C交于A,B两点,若点F是线段AB的三等分点,则直线l的斜率是(　　)
A.2
C.
12.(2022宁夏青铜峡高级中学期中)已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点,O是坐标原点.
(1)求证:OA⊥OB;
(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.
题组三　抛物线的综合应用
13.(2021重庆西南大学附中期中)方程mx2+ny=0和mx2+ny2=1(mn≠0)表示的两条曲线在同一坐标系中可以是(　　)
14.(2020天津一中期末)双曲线C1:=1(b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)相交于O,A,B(O为坐标原点),若△OAB的垂心为C2的焦点F,求b的值.
15.(2022湖南师大附中期中)苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑,“门”的造型是东方之门的立意基础,“门”的内侧曲线呈抛物线形,如图1,两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接,在该抛物线两侧距连桥150m处各有一个窗户,两个窗户的水平距离为30m,如图2,求此抛物线顶端O到连桥AB的距离.
　　图1　　　　　　　　　　图2
能力提升练
题组一　抛物线的几何性质
1.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与x轴交于点K,过点K作圆的切线,切点分别为A,B.若|AB|=,则p的值为(　　)
A.1　　　　　　　B.
C.2　　　　　　　D.3
2.(多选)(2022湖南长沙长郡中学期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,斜率为的直线l经过点F,且与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线l'交于点D,若|AF|=4,则以下结论正确的是(　　)
A.p=2　　　　　　　 B.F为AD的中点
C.|BD|=2|BF|　　　　　　　D.|BF|=2
3.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:x-y-1=0与抛物线C交于A,B两点(其中点A在x轴上方),则=　　　　.
题组二　直线与抛物线的位置关系
4.(多选)(2021四川自贡期中)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为A,B在l上的射影,且|AF|=3|BF|,M为AB的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.∠CFD=90°
B.△CMD为等腰直角三角形
C.直线AB的斜率为±
D.△AOB的面积为4
5.(2021重庆巴蜀中学期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(x0,p)在抛物线C上,且|PF|=3.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),O为坐标原点,若·=-(x1+x2),求直线l的方程.
题组三　抛物线的综合应用
6.(2022黑龙江大庆铁人中学月考)已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,点P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为(　　)
A.-1
7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-2,在抛物线C上存在A,B两点关于直线l:x+y-7=0对称,设弦AB的中点为M,O为坐标原点,求|OM|.
8.(2022河南中原名校联考)扎花灯是中国的一门传统手艺,逢年过节常常在大街小巷看到各式各样的花灯.现有一个花灯,它外围轮廓是由两个形状完全相同的抛物线绕着它们自身的对称轴旋转而来的(如图),花灯的下顶点为A,上顶点为B,AB=8分米,在它的内部放有一个半径为1分米的球形灯泡,球心C在轴AB上,且AC=2分米,若球形灯泡的球心C到四周轮廓上的点的最近距离是在下顶点A处取到,建立适当的坐标系可得抛物线方程为y=ax2(a>0),求实数a的取值范围.
9.在平面直角坐标系xOy中,抛物线的顶点是原点,对称轴为x轴,且经过点A(1,2).过点A作直线l1,l2分别交抛物线于点C,D(异于点A),直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且满足k1+k2=-4.
(1)求该抛物线的方程;
(2)试判断直线CD是否过定点.若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.
答案全解全析
基础过关练
1.B　由已知得2p=12,所以=3,因此d的取值范围是[3,+∞).
2.B　不妨设点A在x轴上方,由抛物线的对称性及题意可知kOA=1,故直线OA的方程为y=x,则A(2p,2p),B(2p,-2p),故S△AOB=×2p×4p=4p2.
3.A　设点P的坐标为(x0,y0)(x0<0,y0>0),
易知抛物线y2=-8x的准线方程为x=2,
∵点P在抛物线上,且|PF|=5,∴|x0|+2=5,解得x0=-3(x0=3舍去),
将x0=-3代入y2=-8x,得=24,解得y0=2或y0=-2(舍去),
∴点P的坐标为(-3,2).故选A.
4.B　由抛物线与椭圆的对称性知A,B关于y轴对称,不妨设A,B(x0>0),
∴S△AOB=×2x0×=,整理得=2p①,
又点A在椭圆+=1上,∴+=1②.
由①②得-12+36=0,解得x0=(负值舍去),∴p=3.故选B.
5.B　如图,连接CF,由题意可知|MN|=2p(p>0),所以圆的半径为p,在△COF中,+=p2,解得p=(负值舍去),所以抛物线的标准方程为y2=2x.故选B.
6.答案　(0,-4)
解析　依题意设抛物线的方程为x2=2py(p>0),则42=2p×1,即p=8,所以抛物线的方程为x2=16y,其准线为直线y=-4,则准线与对称轴的交点坐标是(0,-4).
7.答案　y2=4x
解析　抛物线具有光学性质,即从焦点出发的光线经抛物线上一点反射后,反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出,∵|AB|+|FB|=6,∴5+=6,∴p=2,∴抛物线的标准方程为y2=4x.
8.C　(1)当直线l的斜率不存在时,直线l为y轴,与抛物线y2=2x有且只有一个公共点,符合题意.
(2)①当直线l与抛物线y2=2x的对称轴平行,即直线l的方程为y=2时,与抛物线y2=2x有且只有一个公共点,符合题意;
②当直线l的斜率存在且不为0时,设直线方程为y=kx+2(k≠0),代入到抛物线方程y2=2x中,消去y,得k2x2+2(2k-1)x+4=0,则Δ=4(2k-1)2-16k2=0,解得k=,故直线l的方程为y=x+2.
综上,符合题意的直线l共有3条.故选C.
9.A　设A(x1,y1),B(x2,y2),
则∴(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2).
又线段AB的中点为M(2,1),
∴y1+y2=2,∴y1-y2=2(x1-x2),
∴直线l的斜率k==2,
∴直线l的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.故选A.
10.C　解法一:易得F,则直线l的方程为y=,与抛物线方程y2=2px联立,得3=2px,整理得3x2-5px+=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,
所以|AB|=x1+x2+p=+p==8,所以p=3.
故选C.
解法二:因为直线l的斜率为,所以直线l的倾斜角θ=.由焦点弦的性质得|AB|===8,所以p=3.故选C.
11.D　由y=x2可得F.设A(x1,),B(x2,),因为点F是线段AB的三等分点,所以不妨设=,所以解得或则kAB==x2+x1=±.故选D.
12.解析　(1)证明:当k=0时,直线与抛物线仅有一个交点,不符合题意,∴k≠0.
由得y2+y-1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-1.
∵点A,B在抛物线y2=-x上,
∴A(-,y1),B(-,y2),
∴kOA·kOB=·==-1,
∴OA⊥OB.
(2)设直线AB与x轴交于点E,则E(-1,0),
∴|OE|=1,
∴S△OAB=|OE|(|y1|+|y2|)=|y1-y2|==,解得k=±.
13.B　方程mx2+ny=0可化为x2=-y.
若mn>0,则方程x2=-y表示开口向下的抛物线,mx2+ny2=1表示椭圆或圆;
若mn<0,则方程x2=-y表示开口向上的抛物线,mx2+ny2=1表示双曲线.
结合选项可知,只有B符合要求.故选B.
14.解析　如图,不妨设A在第二象限.
易得双曲线的渐近线方程为y=±x.
由得A,
同理,B.
易得抛物线的焦点F,
所以=,=.
因为点F为△OAB的垂心,所以⊥,
所以·=0,所以b=.
15.信息提取　①“门”的内侧曲线呈抛物线形;②A,B,C,D都在抛物线上;③|CD|=30m,|AB|=60m,AB与CD间的距离为150m.
数学建模　根据抛物线的几何特征,以O为坐标原点建立平面直角坐标系,进而求解.
解析　建立平面直角坐标系,如图所示,
设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),D(15,t)(t<0),则B(30,t-150).
由点B,D均在抛物线上,得
解得所以抛物线顶端O到连桥AB的距离为150+50=200m.
能力提升练
1.C　连接FA,如图所示:
易知F是圆+y2=的圆心,
所以FA⊥KA,且|FA|=.
又|KF|=p,所以∠AKF=30°,
所以∠AKB=60°.
易知|KA|=|KB|,所以△AKB是等边三角形,
所以|AB|=|AK|=p.
又|AB|=,所以p=2.故选C.
2.ABC　如图所示,作AC⊥l'于C,AM⊥x轴于M,BE⊥l'于E,设l'与x轴交于点N.因为直线l的斜率为,所以tan∠AFM=,又∠AFM∈[0,π),所以∠AFM=.因为|AF|=4,所以|MF|=2,|AM|=2,所以A.将代入抛物线方程得2p=12,所以p=2,所以|NF|=|FM|=2,所以△AMF≌△DNF,所以|AF|=|DF|,故F为AD的中点.易得∠BDE=,故|BD|=2|BE|=2|BF|,所以|BD|+|BF|=3|BF|=|DF|=|AF|=4,故|BF|=.故选ABC.
3.答案　3+2
解析　解法一:由题意可知直线l经过焦点F,设其倾斜角为θ,则cosθ=.如图,设直线l'是抛物线C的准线,作AA'⊥l'于A',BB'⊥l'于B',BE⊥AA'于E,则|AA'|=|AF|,|A'E|=|BB'|=|BF|,故|AE|=|AA'|-|A'E|=|AF|-|BF|,|AB|=|AF|+|BF|.因为cos∠BAE=
=cosθ=,所以=,则=3+2.
解法二:设直线l的倾斜角为θ,则cosθ=.
由焦点弦的性质可知,|AF|=,|BF|=,所以==3+2.
4.AC　过点M作MN⊥l,垂足为N,易知F(1,0).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
选项A中,易知|AF|=|AC|,所以∠AFC=∠ACF,又因为∠OFC=∠ACF,所以∠OFC=∠AFC,所以FC平分∠OFA,同理,FD平分∠OFB,所以∠CFD=90°,故A正确.
选项B中,假设△CMD为等腰直角三角形,所以∠CFD=∠CMD=90°,所以C,D,F,M四点共圆,且圆的半径为|CD|=|MN|.因为|AF|=3|BF|,所以|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|MN|=4|BF|,所以|MN|=2|BF|,所以|CD|=2|MN|=4|BF|,所以|CD|=|AB|,显然不成立,故B错误.
选项C中,设直线AB的方程为x=my+1,由可得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,因为|AF|=3|BF|,所以y1=-3y2,所以-2y2=4m,-3=-4,所以m=±,所以=±,所以直线AB的斜率为±,故C正确.
选项D中,取m=,则y1+y2=,所以|y1-y2|=
==,所以S△AOB=·|OF|·|y1-y2|=×1×=,故D错误.故选AC.
5.解析　(1)由点P(x0,p)在抛物线C上,
得(p)2=2px0,解得x0=p.
由抛物线的定义得,|PF|=x0+==3,解得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x.
(2)设直线l的方程为x=my+1.
由消去x,得y2-4my-4=0,
故y1+y2=4m,y1y2=-4,
所以x1x2=×==1,x1+x2=(my1+1)+(my2+1)=m(y1+y2)+2=4m2+2,
则·=-(x1+x2)=x1x2+y1y2=-3,
即4m2+2=3,解得m=±,
所以直线l的方程为y=2x-2或y=2-2x.
6.B　由x2=4y,得p=2,∴焦点B(0,1),准线方程为y=-1,∴A(0,-1).作PQ垂直于准线于点Q,如图所示.设∠PAQ=θ.
∵|PA|=m|PB|,|PB|=|PQ|,
∴m===.
结合图形知,当AP与抛物线相切时,sinθ最小,从而m最大.
设直线AP的方程为y=kx-1(k≠0),
由得x2-4kx+4=0,
令Δ=16k2-16=0,解得k=±1,
不妨取k=1,得点P的坐标为(2,1).
设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).
在双曲线-=1(a>0,b>0)中,c=1,
又2a=|PA|-|PB|=2-2,∴a=-1,
∴离心率e===+1.故选B.
解题模板
在解决圆锥曲线问题时,对条件的运用,可用代数法,借助方程的手段解决问题;也可用几何法,利用几何性质、几何图形解决问题.如本题中条件“|PA|=m|PB|”就是借助图形,利用几何性质解决问题.
7.解析　由题意得-=-2,解得p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.
设点A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
则=8x1,=8x2,两式相减并整理,得(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2),即kAB====.
因为A,B两点关于直线l:x+y-7=0对称,
所以解得
所以M(3,4),所以|OM|==5.
8.信息提取　①花灯的截面是抛物线;②在它的内部放有一个半径为1分米的球形灯泡,球心C在轴AB上.
数学建模　建立平面直角坐标系,利用抛物线的方程y=ax2(a>0)设抛物线上动点P的坐标为(m,am2),建立目标函数|PC|2=m2+(am2-2)2=a2m4+(1-4a)m2+4,令t=m2,将问题转化为不等式a2t2+(1-4a)t+4≥4对任意的t≥0恒成立,从而求得a的范围.
解析　由题意,以A为原点,AB所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示:
则A(0,0),C(0,2),
设抛物线上任意一点P(m,am2)(a>0),
则|PC|2=m2+(am2-2)2=a2m4+(1-4a)m2+4.
由于|PC|的最小值是在P位于A(0,0)处取得的,即m=0时,|PC|取得最小值2,
因此对任意的实数m,|PC|2=a2m4+(1-4a)m2+4≥4恒成立.
令t=m2,其中t≥0,则a2t2+(1-4a)t+4≥4对任意的t≥0恒成立,
即t(a2t+1-4a)≥0对任意的t≥0恒成立,
即a2t+1-4a≥0对任意的t≥0恒成立,
故(a2t+1-4a)min=1-4a≥0,解得a≤.
综上,实数a的取值范围为.
9.解析　(1)设抛物线的方程为y2=2px(p>0),
由抛物线经过点A(1,2),得p=2,
∴抛物线的方程为y2=4x.
(2)设C(x1,y1),D(x2,y2),x1≠1,x2≠1.
若直线CD的斜率存在,设直线CD的方程为y=kx+t(k≠0).
由消去x,得ky2-4y+4t=0,
则y1+y2=,y1y2=.
∵k1+k2=+=+
=+=+=-4,
∴y1+2+y2+2=-(y1+2)(y2+2),∴3(y1+y2)+y1y2+8=0,
∴++8=0,即t=-2k-3,
∴直线CD:y=kx-2k-3,即y=k(x-2)-3,
∴直线CD过定点(2,-3).
若直线CD的斜率不存在,则C(x1,y1),D(x1,-y1),
∴k1+k2=+==-4,∴x1=2.
∴直线CD:x=2,此时直线CD过点(2,-3).
综上所述,直线CD过定点(2,-3).
方法点睛
在圆锥曲线综合题的运算中,参数的选择很重要,在有关抛物线的问题中巧妙运用抛物线方程的特点进行变量的转化能够很大程度降低运算量.
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