第三章圆锥曲线的方程复习提升（Word含答案）

第三章圆锥曲线的方程复习提升
易混易错练
易错点1　求轨迹方程时忽略限制条件致错
1.(2022河南郑州重点高中联考)△ABC的三边a,b,c(a>b>c)满足a+c=2b,A,C两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),求顶点B的轨迹方程.
2.(2021江西上饶月考)设椭圆E的方程为+y2=1,斜率为1的动直线l交椭圆E于A,B两点,以线段AB的中点C为圆心,|AB|为直径作圆.
(1)求圆心C的轨迹方程,并描述轨迹表示的图形;
(2)若圆C经过原点,求直线l的方程;
(3)证明:圆C内含或内切于圆x2+y2=3.
易错点2　对圆锥曲线的定义理解不清致错
3.(2022安徽芜湖月考)在平面直角坐标系中,与点(1,1)和到直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是(　　)
A.直线　　　　　B.抛物线　　　　　C.圆　　　　　D.双曲线
4.(2022四川射洪中学期中)直线y=kx+1(k∈R)与椭圆=1恒有两个公共点,则m的取值范围为　　　　　　　.
易错点3　忽略圆锥曲线的焦点位置而致错
5.(2021江苏无锡期中)若椭圆=1的焦距为2,则实数m的值为(　　)
A.1　　　　　B.4　　　　　C.1或7　　　　　D.4或6
6.(2022河南平顶山月考)已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为　　　　.
易错点4　忽略直线的斜率不存在的情况而致错
7.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,椭圆C的上顶点到右顶点的距离为,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若S,T是椭圆C上两点(异于顶点),且△OST的面积为,射线OS,OT的斜率分别为k1,k2,求k1k2的值;
(3)设直线l与椭圆交于M,N两点(直线l不过顶点),且以线段MN为直径的圆过椭圆的右顶点A,求证:直线l过定点.
思想方法练　　　　　　　　　　　　　　
一、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用
1.(2021江苏天一中学期末)已知椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,且点A(0,1)在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)已知P(0,-2),设点B(x0,y0)(y0≠0且y0≠±1)为椭圆E上一点,点B关于x轴的对称点为C,直线AB,AC分别交x轴于点M,N,证明:∠OPM=∠ONP.(O为坐标原点)
二、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用
2.已知椭圆的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且直线y=x-与椭圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2,与椭圆分别交于点P,Q及M,N,求四边形PMQN的面积的最大值与最小值.
三、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用
3.(2022安徽六安一中期中)已知实数x,y满足x|x|+=1,则|x+y-4|的取值范围是(　　)
A.[4-,4)
C.
4.(2021北京首师大附中期中)已知椭圆C:+y2=1(a>0)的右焦点为F(1,0),直线l过点F且与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的长轴长和离心率;
(2)求△AOB的面积的最大值;
(3)若△AOB为直角三角形,求直线l的方程.
答案全解全析
易混易错练
1.解析　设点B的坐标为(x,y).
∵a+c=2b,即|BC|+|BA|=2|AC|,A(-1,0),C(1,0),
∴|BC|+|BA|=4.
根据椭圆的定义知,点B的轨迹方程为+=1.
∵a>c,即>,∴x<0.
∵点B不在x轴上,∴x≠-2.
故所求的轨迹方程为+=1(-2易错警示
求轨迹问题时,注意是否存在隐含条件,不能扩大或缩小变量的取值范围.本题易忽略题中的条件a>b>c及隐含条件点B在x轴上时,A,B,C三点不能构成三角形.
2.解析　(1)设斜率为1的动直线l的方程为y=x+t.
由可得3x2+4tx+2t2-2=0,
则Δ=16t2-12(2t2-2)=24-8t2>0,即-设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=,则C,
∴圆心C的轨迹方程为y=-x,轨迹为不含端点的线段.
(2)由(1)可得|AB|=·=·=
,
∴圆C的方程为+=.
∵圆C经过原点,∴=,解得t=±,
∴直线l的方程为y=x±.
(3)证明:圆x2+y2=3的圆心为(0,0),记为O,半径为.
由(2)知圆C的圆心为C,半径为.
易得>.
|OC|2-=-3-+=t2+-,
令=m,则0∴|OC|2-=+-=-·(m-2)2≤0,
∴圆C内含或内切于圆x2+y2=3.
易错警示
在用代数法解决直线与圆锥曲线的位置关系时,注意限制条件判别式大于0,解题时若忽视判别式的计算,则不能求出参数的取值范围,如本题中若忽略-3.A　因为点(1,1)在直线x+2y=3上,所以所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x+2y=3垂直的直线.
易错警示
定点不在定直线上时,平面内到定点和定直线距离相等的点的轨迹是抛物线;定点在定直线上时,到定点和定直线距离相等的点的轨迹是直线.
4.答案　(1,5)∪(5,+∞)
解析　由可得(m+5k2)x2+10kx+5-5m=0.
∵直线与椭圆恒有两个公共点,∴Δ=100k2-4(m+5k2)·(5-5m)>0,化简得m(m-1+5k2)>0.
由椭圆的定义可知m>0且m≠5,
∴又k∈R,∴m>1且m≠5.
∴m的取值范围为(1,5)∪(5,+∞).
5.D　由题意可得c=1.
当椭圆的焦点在x轴上时,9-(m+4)=1,解得m=4;
当椭圆的焦点在y轴上时,(4+m)-9=1,解得m=6.
综上,m=4或m=6.故选D.
6.答案　2或
解析　由题意知,双曲线的渐近线存在两种情况.
当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
易知其中一条渐近线的倾斜角为60°,如图1所示,或其中一条渐近线的倾斜角为30°,如图2所示,均符合题意,
　　 图1　　　　　　图2
所以双曲线的一条渐近线的斜率k=或k=,
即=或=.
又b2=c2-a2,所以=3或=,
所以e2=4或e2=,所以e=2或e=.
同理,当双曲线的焦点在y轴上时,有=或=,所以=或=,可得到e=或e=2.
综上,双曲线的离心率为2或.
易错警示
研究含参数的圆锥曲线方程时,要注意判断焦点的位置,如果不能确定焦点的位置,要分两种情况讨论,解题时防止未对焦点的位置进行判断导致错误.对于双曲线的渐近线的夹角问题,注意直线的夹角是指两条直线相交所形成的最小正角.
7.解析　(1)由题意得所以a=,b=c=1,
所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)设S(x1,y1),T(x2,y2).
由题意知直线OS:y=k1x,直线OT:y=k2x.
由得=,同理,得=.
点T到直线OS的距离d==,|OS|=·|x1|,
所以S△OST=·|OS|·d==,整理得=0,所以k1k2=-.
(3)证明:设M(x3,y3),N(x4,y4).易得A(,0).
(i)直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,
由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,
所以x3+x4=-,x3x4=.
由题意得·=0,
所以(x3-)·(x4-)+y3y4=0,
所以(1+k2)x3x4+(km-)(x3+x4)+m2+2=0,
把x3+x4=-,x3x4=代入并整理得3m2+2k2+4km=0,即(m+k)(3m+k)=0,
所以m=-k或m=-k,
经检验,均满足Δ>0.
当m=-k时,l:y=kx-k=k(x-),过定点(,0),舍去.
当m=-k时,l:y=kx-k=k,过定点,满足题意.
(ii)直线l的斜率不存在时,设直线l:x=t,|t|<,
由得M,N(不妨设M在第一象限),
所以=,=.
由题意得·=0,所以3t2-4t+2=0,
即(3t-)(t-)=0,所以t=或t=(舍去),
所以直线l过定点.
综上,直线l过定点.
易错警示
在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时,常要设出直线的方程,并且一般需对直线的斜率存不存在进行讨论,解题时要防止不讨论导致错误.
思想方法练
1.解析　(1)由已知得b=1,=,
又∵a2=b2+c2,∴a2=4.
∴椭圆E的方程为+y2=1.
(2)证明:
由题意得C(x0,-y0),
∴直线AC的方程为y=-x+1.
令y=0,得N.
易知直线AB的方程为y=x+1,
令y=0,得M.
∴|ON|·|OM|=·=.
∵点B(x0,y0)在椭圆+y2=1上,
∴+=1,∴=4,即|ON|·|OM|=4.
∴|OM|·|ON|=4=|OP|2,即=,
将证明∠OPM=∠ONP转化为证明Rt△OPM∽Rt△ONP.
又∠POM=∠NOP,∴Rt△OPM∽Rt△ONP,
∴∠OPM=∠ONP.
思想方法
转化与化归思想在解析几何中常见的运用:将一般的点或图形转化为特殊点或特殊图形,将代数形式转化为几何图形,利用圆锥曲线的定义及几何性质对相关的量进行适当的化归.
2.解析　(1)由题意得椭圆的焦点在x轴上,故设椭圆方程为+=1(a>b>0).
由消去y,得(a2+b2)x2-2a2x+3a2-a2b2=0.
因为直线y=x-与椭圆相切,
所以Δ=(-2a2)2-4(a2+b2)(3a2-a2b2)=0,
得a2+b2=3.
利用方程知识得到a,b的关系式,再解方程(组)得到椭圆的方程.
又两焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),
所以a2-b2=1,所以a2=2,b2=1,
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)若直线PQ的斜率不存在(或为0),则S四边形PMQN===2.
若直线PQ的斜率存在且不为0,设斜率为k(k≠0),则直线MN的斜率为-,直线PQ的方程为y=kx+k.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,
所以x1+x2=,x1x2=,
所以|PQ|=|x1-x2|
=
=2×,
同理,|MN|=2×.
选择参数k为自变量,建立与k的函数关系式,利用函数知识求函数的最大(小)值.
所以S四边形PMQN==4×=4×
=4×=4×.
因为4k2++10≥2+10=18(当且仅当k2=1时取等号),
所以∈,所以4×∈.
综上所述,四边形PMQN的面积的最小值为,最大值为2.
思想方法
在解析几何中,建立坐标系,利用代数手段构造方程或函数,通过方程或函数的知识解决问题是一种最基本的方法.
3.B　分类讨论去绝对值,得到不同的方程对应的曲线,通过数形结合解决问题.
当x>0,y>0时,方程为x2+=1,对应的图形为椭圆在第一象限内的部分;
当x>0,y<0时,方程为x2-=1,对应的图形为双曲线在第四象限内的部分;
当x<0,y>0时,方程为-x2+=1,对应的图形为双曲线在第二象限内的部分;
当x<0,y<0时,方程为-x2-=1,不成立.
如图所示.
根据双曲线的方程可得,两双曲线的渐近线方程都是y=±x.
令z=x+y-4,则直线y=-x+z+4与渐近线平行,
所以当z最大时,为图中①的情况,即直线与椭圆相切.
由可得6x2-2(z+4)x+(z+4)2-3=0,
当直线与椭圆相切时,Δ=[-2(z+4)]2-4×6×[(z+4)2-3]=0,解得z=-4±,
因为椭圆只有第一象限内的部分,
所以z=-4+.
又由图可知z+4>0,即z>-4,
所以z的取值范围为-4所以|z|的取值范围为[4-,4),即|x+y-4|的取值范围是[4-,4).故选B.
思想方法
圆锥曲线标准方程的形式有时需进行分类讨论;在解决直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题时,要依据题意进行分类讨论.
4.解析　(1)由题意得a2-1=1,所以a=.
所以椭圆C的长轴长为2a=2,离心率e==.
(2)由(1)知,椭圆C的方程为+y2=1.
设直线l的方程为x=my+1.
由得(m2+2)y2+2my-1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=-,y1y2=-.
所以|y1-y2|==.
所以△AOB的面积S=·|OF|·|y1-y2|=·,
令=t,则t∈[1,+∞),S==≤,当且仅当t=1(即m=0)时,等号成立,此时l:x=1.
所以△AOB的面积的最大值为.
(3)对△AOB的直角顶点的位置分类讨论.
(i)若∠OAB=90°,则OA⊥FA,
又=(x1,y1),=(x1-1,y1),
所以·=x1(x1-1)+=0.
因为+=1,所以-x1(x1-1)=1,即-2x1+2=0,无解,即∠OAB≠90°.
同理,∠OBA≠90°.
(ii)若∠AOB=90°,则·=0,即x1x2+y1y2=0,得(my1+1)(my2+1)+
y1y2=0,故(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=0,
故--+1=0,所以m2=,故m=±.
故l:x=±y+1,即y=±(x-1).
综上所述,所求直线l的方程为y=±(x-1).
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