专题强化练8 定点、定值及探究性问题
1.(2022河南开封五校联考)设点M为抛物线C:y2=4x的准线上一点(不在x轴上),过抛物线C的焦点F且垂直于x轴的直线与C相交于A,B两点,设直线MA,MF,MB的斜率分别是k1,k2,k3,则的值为( )
A.4 D.2
2.(2022皖中名校联盟联考)已知某直线与抛物线y2=4x交于A,B两点,且两交点纵坐标之积为-16,则直线恒过点( )
A.(1,0) B.(2,0) C.(4,0) D.(8,0)
3.(2022河南省实验中学月考)已知椭圆=1上的两个动点P(x1,y1),Q(x2,y2),且x1+x2=2.若线段PQ的垂直平分线经过一个定点,则此定点坐标为( )
A. B.(1,0)
C.(2,0) D.(-1,0)
4.(2022河南中原名校联考)已知点P(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与抛物线y2=2x交于不同的两点A,B,若x轴是∠APB的平分线所在直线,则直线l一定过点( )
A. B.(1,0)
C.(2,0) D.(-2,0)
5.(2021重庆巴蜀中学期中)如图,已知P为椭圆C:=1(a>b>0)上的点,点A,B分别在直线y=x与y=-x上,点O为坐标原点,四边形OAPB为平行四边形,若平行四边形OAPB四边长的平方和为定值,则椭圆C的离心率为 .
6.(2022河南安阳月考)过点P的直线交椭圆C:+y2=1于E,F两点,则的值为 .
7.(2021陕西西安中学二模)在平面直角坐标系xOy中,过点M(4,0)且斜率为k的直线交椭圆+y2=1于A,B两点.
(1)求k的取值范围;
(2)当k≠0时,若点A关于x轴的对称点为P,直线BP交x轴于点N,求证:|ON|为定值.
8.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)经过点(2,3),一条渐近线的倾斜角为60°,直线l交双曲线于A,B两点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若l过原点,P为双曲线上异于A,B的一点,且直线PA,PB的斜率kPA,kPB均存在,求证:kPA·kPB为定值;
(3)若l过双曲线的右焦点F1,在x轴上是否存在点M(m,0),使得直线l绕点F1无论怎样转动,都有·=0成立 若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
9.(2022浙江杭州重点高中期中)已知圆C的方程为x2+(y+1)2=r2(r>0).
(1)过点M的直线l交圆C于A,B两点,若r=1,|AB|=,求直线l的方程;
(2)如图,过点N(-1,1)作两条直线分别交抛物线y=x2于点P,Q,并且都与动圆C相切,求证:直线PQ经过定点,并求出定点坐标.
答案全解全析
1.D 不妨设点A在x轴上方,如图:
由题意知,抛物线的准线方程为x=-1,焦点F(1,0),将x=1代入抛物线C的方程得y=±2,所以A(1,2),B(1,-2).
设点M的坐标为(-1,y0)(y0≠0),则k1=,k2=,k3=,所以=2.故选D.
2.C 易知直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2).
由得y2-4my-4n=0,
所以y1y2=-4n=-16,所以n=4,所以x=my+4,
所以直线恒过点(4,0).故选C.
3.A 当x1≠x2时,由
得=-·=-,
设线段PQ的中点为N(1,n),所以kPQ==-,
所以线段PQ的垂直平分线的方程为y-n=2n(x-1),即y=2n,该直线恒过点;
当x1=x2时,线段PQ的垂直平分线也过点.
故线段PQ的垂直平分线恒过点.故选A.
4.B 设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
由得k2x2+(2kb-2)x+b2=0,
所以Δ=4(kb-1)2-4k2b2>0,即kb<,
x1+x2=,x1x2=.
因为x轴是∠APB的平分线所在直线,
所以kAP=-kPB,所以=-,
即=-,整理,得2kx1x2+(k+b)(x1+x2)+2b=0,所以2k·+(k+b)·+2b=0,
化简,得k+b=0,所以y=kx+b=kx-k=k(x-1),
所以直线l过定点(1,0).故选B.
5.答案
解析 设P(x0,y0),则直线PA的方程为y=-x++y0,直线PB的方程为y=x-+y0.
由得A,
由得B,
则|PA|2+|PB|2=+++=+.
又+=为定值,点P在椭圆上,
所以=,所以e2==,所以e=.
6.答案 3
解析 当直线EF的斜率为0时,点E,F为椭圆长轴的端点,不妨设E(-,0),F(,0),
则+=+==3.
当直线EF的斜率不为0时,设直线EF的方程为x=ty+,E,F,
由消去x,得(t2+2)y2+y-=0,
所以Δ=t2+(t2+2)=8t2+>0恒成立,
y1+y2=-,y1y2=-.
因此,+=+==
===×=3.
综上所述,+=3(定值).
7.解析 (1)过点M(4,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x-4).
由得x2-8k2x+16k2-1=0,
因为直线与椭圆有两个交点,
所以Δ=(-8k2)2-4(16k2-1)>0,
解得-
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则P(x1,-y1),
由题意知x1≠x2,y1≠y2,
由(1)得x1+x2=,x1x2=.
直线BP的方程为=,
令y=0,得点N的横坐标为+x1,
又y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),
故|ON|====
=1,即|ON|为定值1.
8.解析 (1)由题意得解得
∴双曲线C的方程为x2-=1.
(2)证明:设A点坐标为(x0,y0),则由对称性知B点坐标为(-x0,-y0).
设P(x,y),则kPA·kPB=·=.
将点A,P的坐标代入曲线C的方程,得
∴y2-=3(x2-),∴kPA·kPB==3.
(3)由(1)得F1(2,0).
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),
B(x2,y2).
由消去y得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,
∴x1+x2=,x1x2=.
假设存在M(m,0),使得·=0恒成立,
∴·=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)
=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+m2+4k2
=-+m2+4k2
==0.
∴3(1-m2)+k2(m2-4m-5)=0对任意的k2≠3恒成立,
∴解得m=-1.
∴存在M(-1,0),使得·=0恒成立.
当直线l的斜率不存在时,不妨令A(2,3),B(2,-3),易知M(-1,0)也满足题意.
综上,存在M(-1,0),使得·=0.
9.解析 (1)当r=1时,圆C的方程为x2+(y+1)2=1.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=,此时圆心(0,-1)到直线l的距离d=,所以|AB|=2=2=,显然成立;
当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k-,即2kx-2y-k-5=0,
因为|AB|=,而|AB|=2=2,
所以d2=,而d==,所以=,整理可得3k+4=0,解得k=-,所以直线l的方程为8x+6y+11=0.
综上所述,直线l的方程为x=或8x+6y+11=0.
(2)设直线NQ,NP的斜率分别为k1,k2,则直线NQ的方程为y-1=k1(x+1),即k1x-y+k1+1=0,同理,直线NP的方程为k2x-y+k2+1=0.
由直线NP,NQ与动圆相切,得=,
所以4k2+4k2+3-3-4k1-4k1=0,
即4k1k2(k1-k2)+4(k2-k1)+3(k1-k2)(k1+k2)=0,
所以(k1-k2)(4k1k2-4+3k1+3k2)=0,
因为k1≠k2,所以4k1k2-4+3k1+3k2=0.
由得x2-k1x-(k1+1)=0,
可得Q(k1+1,(k1+1)2),同理,P(k2+1,(k2+1)2),
所以kPQ=
==k2+k1+2,
所以直线PQ的方程为y-(k2+1)2=(k2+k1+2)[x-(k2+1)],即y=(k1+k2+2)-,
所以直线PQ恒过点.
10专题强化练6 离心率及其取值范围
1.(2022辽宁沈阳重点高中联合体月考)已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,点M是过原点O且倾斜角为60°的直线l与椭圆C的一个交点,且|+|=|-|,则椭圆C的离心率为( )
A.
C.
2.(2022河南中原名校联考)若双曲线=1(a>0,b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个,则双曲线离心率的取值范围是( )
A.e>
C.e>2 D.13.(2022四川南充阆中中学期中)设A,B是椭圆C:=1(m>0)的长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.
C.
4.(2021四川凉山州宁南中学月考)设F1,F2为椭圆C1与双曲线C2的公共的左、右焦点,C1,C2在第一象限内交于点M,△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形,若双曲线C2的离心率e2∈,则椭圆C1的离心率e1的取值范围是( )
A.
C.
5.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,若直线l:y=kx,k∈与双曲线C交于M,N两点,且MF1⊥NF1,则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A.(1,2) B.[,2)
C.[+1] D.(2,+1]
6.(2022江西南昌大学附属中学期中)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,左顶点为C,过点F作x轴的垂线交双曲线于A,B两点,若△ABC为直角三角形,则双曲线的离心率为 .
8.已知F1,F2为椭圆C1和双曲线C2的公共焦点,P为C1和C2的一个公共点,且∠F1PF2=,椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1,e2,求e1·e2的最小值.
9.(2022福建泉州科技中学期中)已知点F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2的直线交双曲线于A,B(点A在点B的上方)两点,且AF1⊥AB,|AF1|∶|AB|=3∶4,求该双曲线的离心率.
10.(2022黑龙江齐齐哈尔五校期中联考)已知椭圆C:=1(a>b>0)的长半轴长为2.
(1)若椭圆C经过点,求椭圆C的方程;
(2)A为椭圆C的右顶点,B(1,0),椭圆C上存在点P,使得,求椭圆C的离心率的取值范围.
答案全解全析
1.C 不妨设M在第一象限.
将|+|=|-|两边平方后化简得·=0,
所以⊥.
在Rt△MF1F2中,|F1F2|=2c,O为F1F2的中点,
∴|OM|=c.
又∠MOF2=60°,|OF2|=c,∴|MF2|=c,∴|MF1|=c.
由椭圆定义可知|MF2|+|MF1|=c+c=2a,
∴离心率e===-1.故选C.
2.C 设双曲线右支上一点坐标为(x,y),则x≥a.
∵该点到右焦点的距离和到原点的距离相等,∴由两点间距离公式得x2+y2=(x-c)2+y2,∴x=.∵这样的点有两个,∴x>a,∴>a,即e>2.
故选C.
3.B 当椭圆的焦点在x轴上时,设上顶点为N,
则∠ANB≥120°,∴∠ANO≥60°(O为坐标原点),
∴tan∠ANO≥,∴≥,∴≤1,∴0∴椭圆的离心率e==∈.
当椭圆的焦点在y轴上时,同理,可得e∈.
综上,e∈.故选B.
4.C 设椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴长为2a2.
因为△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形,所以|MF2|=|F1F2|=2c.
由椭圆的定义可得|MF1|+|MF2|=2a1,即|MF1|+2c=2a1.
由双曲线的定义可得|MF1|-|MF2|=2a2,即|MF1|-2c=2a2.
双曲线C2的离心率e2==∈,即(|MF1|-2c)≤2c≤4(|MF1|-2c),
所以|MF1|∈.
所以椭圆C1的离心率e1==∈,故选C.
5.C 易得F1(-c,0).设M(x,y),由题意有N(-x,-y),则=(-c-x,-y),=(-c+x,y).
因为MF1⊥NF1,所以·=(-c-x)(-c+x)-y2=0,即x2+y2=c2.
因为M(x,y)在双曲线上,所以-=1.
由解得
又M在直线y=kx上,k∈,
所以k2====-1∈,即整理得解得2≤e2≤4+2或4-2≤e2≤(舍去),
所以≤e≤+1.故选C.
6.D 显然P是短轴端点时,|PF1|=|PF2|,满足△F1F2P为等腰三角形,因此由对称性知四个象限内各有一个符合条件的点.
不妨设P(x,y)是第一象限内使得△F1F2P为等腰三角形的点,
若|PF1|=|F1F2|,则消去y并整理得c2x2+2a2cx-4a2c2+a4=0,解得x=(舍去)或x=.
由0若|PF2|=|F1F2|,则消去y并整理得c2x2-2a2cx-4a2c2+a4=0,解得x=或x=(舍去).
由0综上,e的范围是∪.故选D.
7.答案 2
解析 设F(c,0),其中c2=a2+b2.
将x=c代入双曲线方程,得-=1,则y2=b2=,即|y|=,
所以|AF|=.
由△ABC为直角三角形及|AC|=|BC|,得∠ACF=45°,所以|CF|=|AF|,即a+c=,即c2-2a2-ac=0,所以e2-e-2=0,解得e=2(负值舍去).
8.解析 设椭圆C1的长轴长为2a1,双曲线C2的实轴长为2a2,公共焦距为2c,|PF1|=r1,|PF2|=r2,且r1>r2,则r1+r2=2a1,r1-r2=2a2,所以r1=a1+a2,r2=a1-a2.
在△PF1F2中,=+-2r1r2cos∠F1PF2,
即4c2=+-2(a1+a2)(a1-a2)×=2+2-+=+
3,所以+=4.
由基本不等式得4=+≥2=,当且仅当==2,即e1=,e2=时,等号成立,
所以e1·e2≥=.故e1·e2的最小值为.
9.解析 设|AF1|=3m(m>0),则|AB|=4m,|BF1|=5m.
如图1,当A,B均在双曲线的右支上时,由双曲线的定义可知,|AF2|=3m-2a,∴|BF2|=|AB|-|AF2|=m+2a,∴|BF1|-|BF2|=5m-(m+2a)=2a,∴m=a,∴|AF1|=3a,|AF2|=a.
在Rt△AF1F2中,由勾股定理可得4c2=9a2+a2=10a2,∴e==.
图1 图2
如图2,当点A在双曲线的左支上,点B在双曲线的右支上时,由双曲线的定义可知,|BF2|=5m-2a,
∴|AF2|=9m-2a,∴|AF2|-|AF1|=9m-2a-3m=2a,∴m=a,
∴|AF1|=2a,|AF2|=4a.
在Rt△AF1F2中,由勾股定理可得4c2=4a2+16a2=20a2,∴e==.
故双曲线的离心率为或.
10.解析 (1)由题意得所以
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)易知A(2,0).
设P(x,y),则+=1.①
由=,得|PA|2=2|PB|2,即(x-2)2+y2=2[(x-1)2+y2],即x2+y2=2.②
联立①②,解得y2=.
由-b≤y≤b,得0≤y2≤b2,即0≤≤b2,解得0故椭圆C的离心率的取值范围是.
8专题强化练7 直线与圆锥曲线的位置关系
1.(2021吉林长春外国语学校期中)已知椭圆=1的一条弦被点(1,1)平分,那么这条弦所在直线的方程为( )
A.4x+3y-7=0 B.4x-3y-7=0
C.3x+4y-7=0 D.3x-4y+1=0
2.(2022江西贵溪实验中学期中)斜率为1且过椭圆9x2+25y2=225的右焦点的直线交椭圆于A,B两点,则弦AB的长为( )
A.5 B.6
C. D.7
3.(2022河南安阳开学考试)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(-2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若·=0,则k=( )
A.
C. D.2
4.(2022河南郑州中学月考)如图,已知抛物线的方程为x2=2py(p>0),过点A(0,-1)作直线,与抛物线相交于P,Q两点,点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设QB,BP的延长线与x轴分别相交于点M,N.如果直线BQ的斜率与直线BP的斜率的乘积为-3,则∠MBN= .
5.已知双曲线=1(a>0,b>0)的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t(O为坐标原点),求t的值及点D的坐标.
6.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若=3,求|AB|.
7.(2021天津一中期中)已知直线x+y-1=0与椭圆C:b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)相交于A,B两点,且线段AB的中点M在直线l:x-2y=0上.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若椭圆C的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上,求椭圆C的方程.
8.(2021江苏泰州中学期末)已知椭圆C:=1(a>b>0)的上顶点与左、右顶点连线的斜率之积为-.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若直线y=(x+1)与椭圆C相交于A,B两点,且△AOB(O为坐标原点)的面积为,求椭圆C的标准方程.
9.(2022浙江宁波效实中学期中)如图,已知双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),焦点到渐近线的距离为1.M,N两动点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一象限和第四象限,P是直线MN与双曲线右支的一个交点,=λ.
(1)求双曲线C的方程;
(2)当λ=1时,求·的取值范围;
(3)试用λ表示△MON的面积S,设双曲线C上的点与其焦点的距离的取值范围为集合Ω,若∈Ω,求S的取值范围.
答案全解全析
1.A 设这条弦所在的直线与椭圆+=1交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,则
由中点坐标公式知x1+x2=2,y1+y2=2.
∴①-②,得4(x1-x2)+3(y1-y2)=0,
∴kPQ==-,
∴这条弦所在直线的方程为y-1=-(x-1),
即4x+3y-7=0.故选A.
2.C 由9x2+25y2=225得+=1,即a2=25,b2=9,所以c2=16,故椭圆的右焦点的坐标为(4,0),直线AB的方程为y=x-4.
由得34x2-200x+175=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,
故|AB|=
==.故选C.
3.D 由y2=8x知F(2,0).由题意得k≠0.
设直线AB的方程为x=my+2.
由得y2-8my-16=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-16,y1+y2=8m,
∴x1+x2=my1+2+my2+2=8m2+4,x1x2=×==4.
易知=(x1+2,y1-2),=(x2+2,y2-2),
∴·=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=4+16m2+8+4-16-16m+4=0,化简得4m2-4m+1=0,解得m=,故k==2.故选D.
4.答案
解析 设直线PQ的方程为y=kx-1(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2).
由消去y,得x2-2pkx+2p=0,
则x1+x2=2pk,x1x2=2p.
因为kBP==,kBQ==,
所以kBP+kBQ===0.
又kBP·kBQ=-3,所以kBP=,kBQ=-,
所以∠BNM=,∠BMN=,
故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=.
5.解析 (1)由题意知a=2,所以一条渐近线方程为y=x,即bx-2y=0,所以=,又c2=b2+12,所以b2=3.所以双曲线的标准方程为-=1.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.
将直线方程与双曲线方程联立,得x2-16x+84=0,
则x1+x2=16,y1+y2=12.
所以所以所以t=4,点D的坐标为(4,3).
6.解析 设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题意得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+=4,故x1+x2=.
由得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-.所以-=,解得t=-.
所以l的方程为y=x-.
(2)由=3可得y1=-3y2.
由得y2-2y+2t=0,所以y1+y2=2.
所以-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.
将y1=3,y2=-1代入C的方程得x1=3,x2=.
故|AB|==.
7.解析 椭圆C:b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0),即+=1(a>b>0).
(1)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
由得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0.
则Δ=(-2a2)2-4(a2+b2)(a2-a2b2)>0,即a2+b2>1,
x1+x2=,从而y1+y2=-(x1+x2)+2=,
∴点M的坐标为.
又点M在直线l上,∴-=0,
∴a2=2b2=2(a2-c2),即a2=2c2,∴e==.
(2)由(1)知b=c.设椭圆的右焦点为F(b,0),其关于直线l:x-2y=0,即y=x的对称点的坐标为(x0,y0).
由解得
∵+=4,∴+=4,
∴b2=4,∴a2=2b2=8,
显然有a2+b2>1.
∴椭圆C的方程为+=1.
8.解析 (1)由题意知,椭圆的上顶点的坐标为(0,b),左、右顶点的坐标分别为(-a,0),(a,0),
∴·=-,即a2=4b2,则a=2b,
又a2=b2+c2,∴c=b,
∴椭圆的离心率e==.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得2x2+2x+1-4b2=0,
∴x1+x2=-1,x1x2=,
∴|AB|=|x1-x2|==.
原点O到直线y=(x+1),即x-2y+1=0的距离d==,
∴·|AB|·d=,∴=,
∴b2=1,满足Δ=32b2-4>0,∴a2=4,
∴椭圆C的标准方程为+y2=1.
9.解析 (1)双曲线的渐近线方程为bx±ay=0.
设∠MON=2θ.
由a>0,b>0得tanθ=,所以cos2θ=cos2θ-sin2θ===,即a2=4b2.
易得=1,所以b=1,所以a2=4,
所以双曲线C的方程为-y2=1.
(2)结合(1),设M(2m,m),N(2n,-n),m>0,n>0,
当λ=1时,=,则P,
所以-=1,整理得mn=1.
又=,=,
所以·=-(m-n)2-=-(m2+n2)+mn≤-×2mn+mn=-1,当且仅当m=n=1时,等号成立.所以·∈(-∞,-1].
(3)同(2),设M(2m,m),N(2n,-n),m>0,n>0.
由=λ得-=λ(-),
即(1+λ)=+λ,
则=+=.
所以P.
把点P的坐标代入双曲线的方程得-=1,即(m+λn)2-(m-λn)2=(1+λ)2,
所以mn=.
当直线MN的斜率不存在时,其方程为x=2m.
当直线MN的斜率存在时,kMN=,
所以直线MN的方程为y-m=(x-2m),
即(m+n)x-2(m-n)y-4mn=0.
经检验,斜率不存在时,直线方程也满足上式,所以直线MN的方程为(m+n)x-2(m-n)y-4mn=0,
点O到直线(m+n)x-2(m-n)y-4mn=0的距离d==,
又|MN|=
=,
所以S=·|MN|·d=2mn==+1.
记双曲线的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),P(x,y)(x≥2),则|PF1|>|PF2|.
又|PF2|==
===x-2,
所以|PF2|∈[-2,+∞),即双曲线C上的点与其焦点的距离的取值范围Ω=[-2,+∞).
因为∈Ω,所以λ∈[5-10,+∞).
令f(x)=+1,x∈[5-10,+∞),
任取x1,x2∈[5-10,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)<0,所以f(x1)所以f(x)在x∈[5-10,+∞)上单调递增,
因此f(x)min=f(5-10)=,
即Smin=.
所以S∈.
11专题强化练9 圆锥曲线中的最值与范围
1.(2021北京育英中学月考)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F(4,0),点Q(0,-3),P为双曲线左支上的动点,且△PQF周长的最小值为16,则双曲线的离心率为( )
A.2 B.
2.已知椭圆C:+y2=1,直线l:y=x+3,则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为( )
A.
C.
3.(2022河南新乡六校联考)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作两条互相垂直的弦AB,CD,设P为抛物线上的一动点,Q(1,2).若,则|PF|+|PQ|的最小值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2021重庆巴蜀中学期中)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=4x上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )
A.1 B.
5.记由双曲线C1:=1及C2:=1(a>0,b>0)的4个顶点构成的四边形的面积为S1,由其4个焦点构成的四边形的面积为S2,则当取得最大值时,双曲线C1的离心率为( )
A.
6.(2022四川威远中学期中)已知抛物线y=x2和直线x-y-2=0,则抛物线上的点到该直线的最短距离是 .
7.(2021哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已知M是抛物线y2=2x上一点,N是圆x2+(y-2)2=1关于直线x-y=0对称的曲线C上任意一点,则|MN|的最小值为 .
8.(2022宁夏青铜峡高级中学期中)已知点P(x,y)在椭圆=1上,则2x+y的最大值为 .
9.(2022陕西西安八校联考)已知椭圆S:=1(a>b>0)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,点P(2,-)在椭圆S上,过F2的直线l交椭圆S于A,B两点.
(1)求椭圆S的标准方程;
(2)求△ABF1的面积的最大值.
10.(2022江西南昌大学附属中学期中)在平面直角坐标系xOy中,双曲线C:-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2.
(1)若直线l过点Q(-1,0),且与双曲线C的左支、右支各有一个交点,求直线l的斜率k的取值范围;
(2)若点P为双曲线C上一点,求·的最小值.
11.(2022江苏盐城中学期中)已知椭圆C1:=1和抛物线C2:y2=-2px(p>0),点F为C1的右焦点,点H为C2的焦点.
(1)过点F作C2的切线,切点为S,|SH|=,求抛物线C2的方程;
(2)过点H的直线l交C2于P,Q两点,点M满足=-2(O为坐标原点),且点M在线段x=1上,记△PQM的面积为S1,△PFH的面积为S2,求的取值范围.
答案全解全析
1.B 设双曲线的左焦点为F1,则F1(-4,0),连接PF1,QF1,因此|QF|=|QF1|=5.由双曲线的定义可知|PF|=|PF1|+2a,所以△PQF的周长为|PF|+|PQ|+|FQ|=|PF1|+2a+|PQ|+5,当P在线段F1Q上时,|PF1|+|PQ|有最小值,最小值为5,因此有2a+5+5=16,解得a=3,所以离心率e=.故选B.
2.C 设与直线l:y=x+3平行且与椭圆相切的直线l1的方程为y=x+m(m≠-3),
由消去y可得3x2+4mx+2m2-2=0,
令Δ=16m2-24(m2-1)=0,解得m=±,
所以直线l1的方程为y=x+或y=x-,
所以椭圆C上的点到直线l的最大距离为直线y=x+3与直线y=x-的距离,为=.
故选C.
3.C 解法一:由题意可知F,直线AB的斜率存在且不为0.
设直线AB的方程为y=kx+,代入x2=2py得x2-2pkx-p2=0.
由根与系数的关系得xA+xB=2pk,xAxB=-p2,
所以|AB|=2p(1+k2).同理,|CD|=2p.
所以+=+==,
所以2p=4,即p=2.故x2=4y.过点P作PM垂直于抛物线的准线于M,连接MQ,则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|.所以|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ|
≥|MQ|=3,当Q,P,M三点共线时,等号成立.故选C.
解法二:设直线AB的倾斜角为θ,直线CD的倾斜角为β,β>θ,则+=+=,
因为两条焦点弦互相垂直,所以β=+θ,
所以+=====,所以2p=4,即p=2.故x2=4y.
过点P作PM垂直于抛物线的准线于M,连接MQ,则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|.所以|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ|≥|MQ|=3,当Q,P,M三点共线时,等号成立.故选C.
方法点拨 抛物线的焦点弦公式
已知AB是过抛物线的焦点F的一条弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的倾斜角是θ,直线AB的斜率为k.对于抛物线y2=2px(p>0),焦点弦|AB|==2p;对于抛物线x2=2py(p>0),焦点弦|AB|==2p(1+k2).
4.A 由题意得,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0).
设P(y0>0),M(x,y),
因为|PM|=|MF|,
所以M为线段PF的中点,
所以x==+,y=,
所以kOM==≤=1,当且仅当=y0,即y0=2时,等号成立,所以直线OM的斜率的最大值为1.
5.D 易知四个顶点的坐标分别为(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b),四个焦点的坐标分别为(-c,0),(c,0),(0,-c),(0,c),则S1=×2a×2b=
2ab,S2=×2c×2c=2c2,所以==≤=,当且仅当a=b时,等号成立.故当取得最大值时,a=b,所以c=a,所以离心率e==.
6.答案
解析 设点A(x0,)为抛物线上任意一点,则点A到直线x-y-2=0的距离d===,∴当x0=时,点A到直线的距离取得最小值,为=.
7.答案 -1
解析 圆x2+(y-2)2=1的圆心为(0,2),半径为1.
易知圆心(0,2)关于直线x-y=0对称的点为C(2,0),所以曲线C的方程为(x-2)2+y2=1.
设M(x,y)(x>0),则|MC|2=(x-2)2+y2,
又y2=2x,所以|MC|2=(x-2)2+y2=x2-2x+4=(x-1)2+3,所以=3,所以|MC|min=,所以|MN|min=-1.
8.答案 4
解析 设x=cosθ,y=2sinθ(θ为参数),则2x+y=2cosθ+
2sinθ=4sin∈[-4,4].所以2x+y的最大值为4.
9.解析 (1)由题意得所以a=2,b=c=2,
所以椭圆S的标准方程为+=1.
(2)由(1)可得F1(-2,0),F2(2,0).
设l:x=my+2,代入椭圆方程可得(m2+2)y2+4my-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=-,y1y2=-,
所以|y1-y2|=
==,
所以=|F1F2|·|y1-y2|=≤=4,当且仅当m2+1=1,即m=0时取等号,故△ABF1的面积的最大值为4.
10.解析 (1)由题意可知直线l:y=k(x+1),代入双曲线方程,得x2-2k2x-k2-1=0.
要使l与双曲线C的左支、右支各有一个交点,
只需解得-所以斜率k的取值范围为.
(2)由题可知F1(-,0),F2(,0).
设P(x,y),则|x|≥2,·=(--x,0-y)·(-x,0-y)=x2-5
+y2=x2-5+-1=-6.
因为|x|≥2,所以x2≥4,所以·=-6≥-1,故·的最小值为-1.
11.解析 (1)由题意可知F(1,0),H.
设切线方程为y=k(x-1),
联立切线方程与抛物线方程可得k2x2-(2k2-2p)x+k2=0.(*)
令Δ=(2k2-2p)2-4k4=-8k2p+4p2=0,所以p=2k2,
则方程(*)可化为x2+2x+1=0,所以x=-1,
所以S(-1,±),故|SH|==,所以p=,所以抛物线C2的方程为y2=-x.
(2)设直线PQ的方程为x=-+ty,Q,
联立直线PQ的方程与抛物线的方程可得y2+2pty-p2=0.
故yP+yQ=-2pt,yPyQ=-p2,从而yp==.
因为=-2,所以xM=-xQ==1,即=4p,yM=-yQ=-y0.
因为-0,所以0连接OP,则S1=S△POQ+S△POM=S△POQ=××|OH|×|yQ-yP|=×××
|yP-yQ|=p·=p2·,
S2=|FH|·|yP|=××=(p+2)·,
所以==·=·∈.
解题模板
圆锥曲线中的有关范围问题的解法通常有以下几种:(1)函数法:用其他变量表示参数,建立函数关系,利用函数知识求解;(2)不等式法:根据题意建立含参数的不等式,通过解不等式求参数的范围;(3)判别式法:建立关于某变量的一元二次方程,利用判别式求参数的取值范围;(4)数形结合法:研究参数所表示的几何意义,利用数形结合思想求解.
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