第三章圆锥曲线的方程综合拔高练（Word含答案）

第三章圆锥曲线的方程综合拔高练
考点1　椭圆的定义及其标准方程
1.(2021新高考Ⅰ,5)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A.13　　　　　B.12　　　　　C.9　　　　　D.6
2.(2021全国甲理,15)已知F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为　　　　.
考点2　椭圆的几何性质
3.(2021全国乙理,11)设B是椭圆C:=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是(　　)
A.
4.(2021浙江,16)已知椭圆=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).若过F1的直线和圆+y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2⊥x轴,则该直线的斜率是　　　　,椭圆的离心率是　　　　.
考点3　直线与椭圆的位置关系
5.(2021新高考Ⅱ,20)已知椭圆C的方程为=1(a>b>0),若右焦点为F(,0),且离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M,N是C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切,证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=.
6.(2021天津,18)已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为B,离心率为,且|BF|=.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M,与y轴的正半轴交于点N,过N与BF垂直的直线交x轴于点P,若MP∥BF,求直线l的方程.
7.(2020新高考Ⅰ,22)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(2,1).
(1)求C的方程;
(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.
考点4　双曲线的标准方程及其应用
8.(2021北京,5)双曲线=1过点(),离心率为2,则双曲线的解析式为(　　)
A.=1
C.=1
9.(2020全国Ⅰ文,11)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为(　　)
A.　　　　　D.2
考点5　双曲线的几何性质
10.(2021全国甲理,5)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为(　　)
A.
11.(2021全国甲文,5)点(3,0)到双曲线=1的一条渐近线的距离为(　　)
A.
12.(2021新高考Ⅱ,13)已知双曲线C:=1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为　　　　,　　　　.
考点6　直线与双曲线的位置关系
13.(2021新高考Ⅰ,21)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-,0),点M满足|MF1|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.
(1)求C的方程;
(2)设点T在直线x=上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
考点7　抛物线的标准方程与几何性质
14.(2021新高考Ⅱ,3)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p=(　　)
A.1　　　　　B.2　　　　　C.2　　　　　D.4
15.(2020全国Ⅰ,4)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=(　　)
A.2　　　　　B.3　　　　　C.6　　　　　D.9
16.(2021北京,12)已知抛物线C:y2=4x,C的焦点为F,点M在C上,且|FM|=6,则M的横坐标是　　　　;作MN⊥x轴于N,则S△FMN=　　　　.
17.(2021新高考Ⅰ,14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为　　　　.
18.(2021全国乙文,20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足=9,求直线OQ斜率的最大值.
考点8　直线与抛物线的位置关系
19.(2020新高考Ⅰ,13)斜率为的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=　　　　.
20.(2021全国乙理,21)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.
(1)求p;
(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.
21.(2021浙江,21)如图,已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,M是抛物线的准线与x轴的交点,且|MF|=2.
(1)求抛物线的方程;
(2)设过点F的直线交抛物线于A,B两点,若斜率为2的直线l与直线MA,MB,AB,x轴依次交于点P,Q,R,N,且满足|RN|2=|PN|·|QN|,求直线l在x轴上截距的取值范围.
应用实践
1.(2021江西南昌二中月考)已知F1,F2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值为(　　)
A.
2.(2022重庆一中期中)过点(4,6)且与双曲线x2-=1有相同渐近线的双曲线方程是(　　)
A.=1
C.=1
3.(2022河南洛阳嵩县一中月考)已知直线y=kx与双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右两支分别交于A,B两点,F为双曲线的右焦点,其中∠ABF=,则双曲线C的离心率e=(　　)
A.2　　　　　B.
4.(2022四川成都七中开学考试)已知点O为坐标原点,点F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,点A(-2,0),B(2,0)分别为C的左、右顶点,点P为椭圆C上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线交线段PF于点M,交y轴于点E.若直线BM经过OE上靠近点O的三等分点N,则|PF|=(　　)
A.4　　　　　B.　　　　　C.2　　　　　D.3
5.(多选)(2022河北保定曲阳一中期中)如图,两个椭圆=1内部重叠区域的边界记为曲线C,P是曲线C上的任意一点,下列说法正确的为(　　)
A.P到F1(-4,0),F2(4,0),E1(0,-4),E2(0,4)四点的距离之和为定值
B.曲线C关于直线y=x,y=-x均对称
C.曲线C所围区域的面积必小于36
D.曲线C的总长度不大于6π
6.(2022江苏南通如东期中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线-4y2=1的右焦点相同,过点F作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|+|DE|的最小值为(　　)
A.16　　　　　B.20　　　　　C.24　　　　　D.32
7.(2021江西临川一中期中)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l与x轴交于点H,过焦点F的直线交抛物线于A,B两点,分别过点A,B作准线l的垂线,垂足分别为A1,B1,如图所示.
①以线段AB为直径的圆与准线l相切;
②以A1B1为直径的圆经过焦点F;
③A,O,B1(其中点O为坐标原点)三点共线;
④若点A的横坐标为x0,且T(-x0,0),则直线TA与抛物线相切.
以上说法中正确的个数为(　　)
A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4
8.(2022辽东南协作体期中)双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作线段F2P与C交于点Q,且=,若等腰三角形PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距,则C的离心率为　　　　.
9.(2021浙江丽水五校共同体段考)已知椭圆=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,左、右焦点分别是F1,F2,且△F1AB的面积为,点P为椭圆上的任意一点,则的取值范围是　　　　.
10.(2021新高考八省(市)联考)双曲线C:=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上.当BF⊥AF时,|AF|=|BF|.
(1)求C的离心率;
(2)若B在第一象限,证明:∠BFA=2∠BAF.
11.(2021山东滨州博兴期中)从①离心率e=;②椭圆C过点;③△PF1F2面积的最大值为这三个条件中任选一个,补充在下面横线处,并解答.
设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且斜率为k的直线l交椭圆于P,Q两点,椭圆C的短轴长为2,　　　　.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若线段PQ的中垂线与x轴交于点N,求证:为定值.
12.(2021四川乐山期末)已知点M(2,1),点F1,F2分别为双曲线C:=1的左、右焦点,点P(x0,y0)(x0>0,y0>0)在双曲线C上且满足,求-的值.
迁移创新
13.(2020上海浦东新区月考)某同学观看了2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》后引发了他的思考:假定地球(设为质点P,半径忽略不计)借助原子发动机开始“流浪”的轨道是以木星(看作球体,其半径R约为7万千米)的中心F为右焦点的椭圆C.已知地球的近木星点A(轨道上离木星表面最近的点)到木星表面的距离为1万千米,远木星点B(轨道上离木星表面最远的点)到木星表面的距离为25万千米.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若地球在“流浪”的过程中,由A第一次逆时针“流浪”到与轨道中心O的距离为(a,b分别为椭圆的长半轴长、短半轴长)万千米时,由于木星引力,部分原子发动机突然失去了动力,此时地球向着木星方向开始变轨(如图所示),假定地球变轨后的轨道为一条直线L,称该直线的斜率k为“变轨系数”.当“变轨系数”k的取值为-2或1时,地球与木星会不会发生碰撞
答案全解全析
五年高考练
1.C　∵M在椭圆C:+=1上,且a=3,
∴|MF1|+|MF2|=6.
∵≥,
∴|MF1|·|MF2|≤=9,
当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.故选C.
2.答案　8
解析　解法一:如图,设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆方程+=1可得,2a=|PF1|+|PF2|=m+n=8,2c=|F1F2|=4.
由P,Q关于原点对称得|OP|=|OQ|,又|OF1|=|OF2|,故四边形PF1QF2为平行四边形.
又|F1F2|=|PQ|,所以平行四边形PF1QF2为矩形,故PF1⊥PF2.
在Rt△F1PF2中,∠F2PF1=90°,则m2+n2=(4)2=48.
由(m+n)2=64得m2+n2+2mn=48+2mn=64,解得mn=8,所以四边形PF1QF2的面积为8.
解法二:由解法一知四边形PF1QF2为矩形,所以由焦点三角形面积公式得=2b2tan=2×4×1=8.
3.C　由题意知B(0,b).设P(x0,y0),则+=1,
∴=a2.∴|PB|2=+(y0-b)2=a2+-2by0+b2=--
2by0+a2+b2.
∵C上任意一点P都满足|PB|≤2b,y0∈[-b,b],∴当y0=-b时,|PB|2取得最大值,∴-≤-b,即b2≥c2,又a2=b2+c2,∴a2-c2≥c2,即a2≥2c2,∴e2≤,又∵e∈(0,1),∴e∈.故选C.
4.答案　;
解析　解法一:设切点为B,圆心为A,连接AB.
易知|F1A|=,|F1F2|=2c,|AB|=c,|BF1|=,
|PF2|=,∴直线PF1的斜率k=tan∠PF1F2===.
在△PF1F2中,tan∠PF1F2===,即b2=4ac,即(a2-c2)=4ac,方程两边同时除以a2,整理可得e2+4e-=0,解得e=或e=-(舍),∴e=.
解法二:∵tan∠PF1F2=,∴在Rt△PF1F2中,可令|PF2|=2,|F1F2|=,则|PF1|=3,故e===.
5.解析　(1)由题意得解得
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2).
①先证必要性.
易知直线MN的斜率不为0.
因为M,N,F三点共线,
所以设直线MN:x=my+.
由题意知O(0,0)到直线MN的距离d==1,解得m2=1,故m=±1,所以直线MN:x±y-=0.
根据对称性,不妨设直线MN:y=x-.
由消去y并整理得4x2-6x+3=0.
故x1+x2=,x1x2=,所以|MN|=·|x1-x2|=×=,即必要性成立.
②再证充分性.
易知直线MN的斜率存在,设其方程为y=kx+t.
由题意得=b=1,即t2=1+k2.
由消去y并整理,得(1+3k2)x2+6ktx+3t2-3=0,则x1+x2=-,x1x2=,
所以|MN|=
==
=.
因为|MN|=,所以=1,解得k2=1,则t2=2.
因为x1+x2=->0,即kt<0,
所以k=1,t=-或k=-1,t=,
所以直线MN的方程为y=x-或y=-x+.
无论哪一种情况,直线MN恒过焦点F,所以M,N,F三点共线.
故M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=.
6.解析　(1)由题意得a=|BF|=.又离心率e==,所以c=2,所以b2=a2-c2=1,所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)解法一:由题意知直线l的斜率存在且不为0,设其方程为y=kx+m.
由得(1+5k2)x2+10kmx+5m2-5=0.
因为直线l与椭圆有唯一的公共点M,所以Δ=0,即(10km)2-4(1+5k2)(5m2-5)=0,化简得m2-5k2-1=0.①
由得y=m,所以点N的坐标为(0,m).
由(1)知B(0,1),F(2,0),所以kBF==-.
由题意知NP⊥BF,所以kNP=2,
所以直线NP的方程为y=2x+m.
由得x=-,所以点P的坐标为.
因为MP∥BF,所以kMP=kBF=-,
所以直线MP的方程为y=-.
由得
所以点M的坐标为,所以+=1,即(k2-4k+9)m2=(4k+2)2.②
由①②解得或(舍去).
所以直线l的方程为y=x+.
解法二:设M(x0,y0)(y0>0),则直线l的方程为x+y0y=1.
由得y=,所以点N的坐标为.
由(1)知B(0,1),F(2,0),所以kBF==-.
由题意知NP⊥BF,所以kNP=2,
所以直线NP的方程为y=2x+.
由得x=-,所以点P的坐标为.
因为MP∥BF,所以=-,整理得2x0y0+4+1=0.③
又+=1④,
联立③④,解得
所以直线l的方程为y=x+.
7.解析　(1)由题意得
解得所以C的方程为+=1.
(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2).
若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m.由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0.则x1+x2=-,x1x2=.
由AM⊥AN知·=0,故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,即(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0,所以(k2+1)-(km-k-2)+(m-1)2+4=0,整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.
因为A(2,1)不在直线MN上,所以2k+m-1≠0,
所以2k+3m+1=0,k≠1.
于是MN的方程为y=k-(k≠1).
所以直线MN过点P.
若直线MN与x轴垂直,则N(x1,-y1).
由·=0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0.又+=1,所以3-8x1+4=0,解得x1=2(舍去)或x1=.所以直线MN过点P.
令Q为AP的中点,即Q.
若D与P不重合,则由题设知AP是Rt△ADP的斜边,故|DQ|=|AP|=.
若D与P重合,则|DQ|=|AP|.
综上,存在点Q,使得|DQ|为定值.
8.B　由题意可知解得则双曲线的解析式为x2-=1.
9.B　由题易知a=1,b=,∴c=2,又∵|OP|=2,∴△PF1F2为直角三角形,易知||PF1|-|PF2||=2,
∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16,
∴|PF1|·|PF2|==6,∴=|PF1|·|PF2|=3.故选B.
10.A　设双曲线C的标准方程为-=1(a>0,b>0),由题意知|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=3|PF2|,两式联立解得|PF1|=3a,|PF2|=a,又|F1F2|=2c,所以在△PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2,即4c2=9a2+a2-2×3a·
a·cos60°,可得=,所以双曲线C的离心率e==.故选A.
11.A　双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,根据对称性,不妨取y=x,即3x-4y=0,点(3,0)到直线3x-4y=0的距离d==,故选A.
12.答案　y=x;y=-x
解析　由题意得所以=3,
所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.
13.解析　(1)由题意知|F1F2|=2,因为|MF1|-|MF2|=2<|F1F2|=2,所以结合双曲线定义知,点M的轨迹C是以F1,F2为焦点的双曲线的右支.设其方程为-=1(a>0,b>0,x≥a),则2a=2,2c=2,解得a=1,c=,则b2=c2-a2=()2-12=16,所以M的轨迹C的方程为x2-=1(x≥1).
(2)解法一:如图,设T,直线AB的方程为y-m=k1.
由
得(16-)x2+(-2k1m)x-+k1m-m2-16=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
则|TA|=,|TB|=,
所以|TA|·|TB|=(1+)x1-·=.
设直线PQ的方程为y-m=k2,
同理,得|TP|·|TQ|=.
因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,
所以=,所以=,即=,
由题意知k1≠k2,所以k1+k2=0,即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
解法二:设T,直线AB的倾斜角为θ1,直线PQ的倾斜角为θ2,||=t1,||=t2,
则直线AB的参数方程为
因为点A在双曲线上,所以16-(m+t1sinθ1)2=16,即(16cos2θ1-sin2θ1)+(16cosθ1-2msinθ1)t1-(m2+12)=0.
同理,可得(16cos2θ1-sin2θ1)+(16cosθ1-2m·sinθ1)t2-(m2+12)=
0.
所以t1,t2为方程(16cos2θ1-sin2θ1)t2+(16cosθ1-2msinθ1)t-(m2+
12)=0的两个根,
则|TA|·|TB|=t1t2=.
同理,|TP|·|TQ|=.
结合|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,得cos2θ1=cos2θ2,
又因为AB与PQ是不同直线,所以cosθ1=-cosθ2,于是θ1+θ2=π,则kAB+kPQ=0,即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
14.B　抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标是,由点到直线x-y+1=0的距离为,可得=,即=2,解得p=2或p=-6,又∵p>0,∴p=-6不合题意,舍去,∴p=2.故选B.
15.C　设焦点为F,点A的坐标为(x0,y0),由抛物线定义得|AF|=x0+,∵点A到y轴的距离为9,
∴x0=9,∴9+=12,∴p=6.故选C.
16.答案　5;4
解析　设点M的坐标为(x0,y0),则|FM|=x0+1=6,解得x0=5,所以M的横坐标是5.将x0=5代入y2=4x,得|y0|=2,由题意得S△FMN=×(5-1)×2=4.
17.答案　x=-
解析　∵点P在抛物线上且PF⊥x轴,不妨设点P位于x轴上方,∴P.∵OP⊥PQ,∴由平面几何知识可得|PF|2=|OF|·|FQ|,
又∵|FQ|=6,∴p2=×6,∴p=3或p=0(舍),
∴C的准线方程为x=-.
18.解析　(1)由已知得p=2,所以C的方程为y2=4x.
(2)由(1)知F(1,0).设P,Q(x1,y1),
则由已知得=9(1-x1,-y1),
所以x1=,y1=.
于是直线OQ的斜率k=.
当y0≤0时,k≤0.
当y0>0时,k=≤=,
当且仅当=,即y0=6时取等号.
所以直线OQ斜率的最大值为.
19.答案　
解析　解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),由已知可得抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),过点F且斜率k=的直线方程为y=(x-1).
由消去y得3x2-10x+3=0,
∴x1+x2=,x1x2=1,
∴|AB|==×=.
解法二:在抛物线y2=4x中,2p=4,斜率为的直线的倾斜角θ=,∴过焦点的弦长|AB|===.
20.解析　(1)由题设知F,圆M的圆心为(0,-4),半径为1,F与圆M上点的距离的最小值为+3,由题设解得p=2.
(2)由(1)知C:x2=4y.
设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2).
因为C在A处切线的斜率为,所以直线PA的方程为x1x-2y-2y1=0.
因为P在直线PA上,所以x1x0-2y0-2y1=0,所以A在直线x0x-2y-2y0=0上.
同理,B也在直线x0x-2y-2y0=0上.
所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.
由得x2-2x0x+4y0=0,
故x1+x2=2x0,x1x2=4y0.
因此|AB|==.
因为点P到直线AB的距离d=,
所以△PAB的面积S=|AB|×d=(-4y0.
由=1-(y0+4)2得S=[21-(y0+6)2.
因为y0∈[-5,-3],所以当y0=-5时,△PAB的面积取得最大值,最大值为20.
21.解析　(1)由题意知p=2,所以抛物线的方程是y2=4x.
(2)由题意可设直线AB的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2).
将直线AB的方程代入y2=4x,得y2-4ty-4=0,
所以y1+y2=4t,y1y2=-4.
直线MA的方程为y=(x+1),
设直线l的方程为x=y+s.
记P(xP,yP),Q(xQ,yQ),
由得yP=.
同理,得yQ=.
记R(xR,yR),由得yR=.
由题意知|yR|2=|yP|·|yQ|,化简得=.易知s≠1,所以=.
因为=+≥,当t=-时,等号成立,所以≥,得s≤-7-4或s≥-7+4且s≠1.
因此直线l在x轴上截距的取值范围是(-∞,-7-4]∪[-7+4,1)
∪(1,+∞).
三年模拟练
1.B　∵△POF2是面积为的正三角形,∴c2=,∴c=2.不妨设P在第一象限,则P(1,).
将(1,)代入椭圆方程可得+=1,与a2=b2+4联立,解得b2=2.故选B.
2.C　设所求双曲线方程为x2-=t(t≠0).
因为点(4,6)在所求双曲线上,所以16-18=t,解得t=-2,所以所求双曲线的方程为-=1.故选C.
3.D　不妨设k>0.设双曲线的左焦点为F1,连接AF1,BF1,如图所示.
由题意知四边形AFBF1是平行四边形.
易知|BF1|=|AF|=2|BF|.
由双曲线的定义知|BF1|-|BF|=2a,所以|BF|=2a,则|AF|=4a,
|AB|=2a.
由双曲线的对称性知|OA|=|OB|=|AB|=a.
在Rt△OBF中,|OB|=a,|OF|=c,|BF|=2a,|OB|2+|BF|2=|OF|2,即3a2+4a2=c2,所以c=a,所以e==.故选D.
4.B　如图所示.
设M(-c,t).易得直线AM的方程为y=(x+2),
令x=0,得y=,所以E.
易得直线BM的方程为y=-(x-2),
令x=0,得y=,所以N.
由题意得|OE|=3|ON|,所以3×=,解得c=1.
所以b2=a2-c2=4-1=3,所以|PF|==.故选B.
5.BC　易知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,E1,E2为椭圆+=1的两个焦点,若点P仅在椭圆+=1上,则P到F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和为定值,到E1(0,-4),E2(0,4)两点的距离之和不为定值,故A中说法错误;两个椭圆关于直线y=x,y=-x均对称,故曲线C关于直线y=x,y=-x均对称,故B中说法正确;曲线C所围区域在边长为6的正方形内部,所以面积必小于36,故C中说法正确;曲线C所围区域在半径为3的圆外部,所以曲线的总长度大于圆的周长6π,故D中说法错误.故选BC.
6.C　由双曲线方程知F(1,0),所以=1,即p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.
由题意设直线l1的方程为y=k1(x-1)(k1≠0),直线l2的方程为y=k2(x-1)(k2≠0),则+=1.
由消去y,得x2-(2+4)x+=0,
所以xA+xB==2+.同理,xD+xE=2+.
由抛物线的定义可得|AB|+|DE|=+=xA+xB+xD+xE+2p=2++2++4=8+=8+≥8+=24,当且仅当==时,|AB|+|DE|取得最小值24.故选C.
7.D　设|AF|=a,|BF|=b,则|AA1|=a,|BB1|=b,
∴线段AB的中点到准线的距离为=,
∴以线段AB为直径的圆与准线l相切,故①正确;
连接A1F,B1F,∵|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,
∴∠AFA1=∠AA1F,∠BFB1=∠BB1F,又∠BAA1+∠ABB1=180°,
∴180°-2∠AFA1+180°-2∠BFB1=180°,∴∠AFA1+∠BFB1=90°,
∴∠A1FB1=90°,∴以A1B1为直径的圆经过焦点F,故②正确;
设直线AB:x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2),
由得y2-2pmy-p2=0,∴y1y2=-p2,
易知=(x1,y1)=,=,
∵·y2=·y1=-y1,∴∥,∴A,O,B1三点共线,故③正确;
易知A(x0,),则kAT=,∴直线AT:x=y-x0,与抛物线方程y2=2px联立,得y2-2py+2px0=0,∵Δ=4p2×-8px0=0,∴直线TA与抛物线相切,故④正确.故选D.
8.答案　
解析　连接QF1,由题意得QF1⊥PF2,且|QF2|=.
由双曲线的定义知|QF1|=2a+.
在Rt△F1QF2中,+=(2c)2,即8a2+4ac-7c2=0,即8+4e-7e2=0,解得e=(负值舍去).
9.答案　[1,4]
解析　由已知得2b=2,故b=1.
∵△F1AB的面积为,∴(a-c)b=,∴a-c=2-.
又a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=1,∴a=2,c=.
∴+=
==.
易知2-≤|PF1|≤2+,
∴1≤-+4|PF1|≤4,
∴1≤+≤4.
故+的取值范围为[1,4].
10.解析　(1)当BF⊥AF时,|AF|=a+c,|BF|=,
∴a+c=,又b2=c2-a2,∴a2+ac=c2-a2,
∴2a2+ac-c2=0,
∴e2-e-2=0,解得e=2(负值舍去).
(2)证明:设B(x,y),x>0,y>0.
当x≠c时,tan∠BAF=kAB=,kBF=,
∴tan2∠BAF========-kBF=tan∠BFA.
∵∠BAF,∠BFA∈∪,
∴∠BFA=2∠BAF.
当x=c时,|BF|=|AF|,∴∠BFA=90°=2∠BAF.
综上,∠BFA=2∠BAF.
11.解析　(1)选①:
由题意可得∴
∴椭圆C的方程为+=1.
选②:
由题意得解得
故椭圆C的方程为+=1.
选③:
当P在上(下)顶点时,最大,
因此×2c×b=,即bc=.
∵2b=2,∴b=,∴c=1,
∵a2=1+3=4,∴椭圆C的方程为+=1.
(2)证明:(i)当k=0时,由(1)可得|PQ|=2a=4,|NF1|=c=1,∴=4.
(ii)当k≠0时,由(1)可得F1(-1,0),所以直线PF1的方程为y=k(x+1).
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,
则x1+x2=-,x1x2=,y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x1+x2)+2k=
+2k=,
∴|PQ|===
,
线段PQ的中点为.
∴线段PQ的中垂线方程为y-=-.
令y=0,得x=-,
∴N.
∴|NF1|==.
∴==4.
综上,为定值4.
12.解析　∵=,
∴||cos∠PF1M=||cos∠F2F1M,∴∠PF1M=∠F2F1M.
∵点F1,F2分别为双曲线C:-=1的左、右焦点,∴F1(-3,0),F2(3,0).
在△MF1F2中,|MF1|=,|MF2|=,|F1F2|=6,
∴由余弦定理知,cos∠F2F1M===,
∴cos∠PF1F2=2cos2∠F2F1M-1=,
∴tan∠PF1F2=,∴直线PF1的方程为y=(x+3).
由解得或(舍去).
∴P,
∴|PF1|=,|PF2|=,|MP|=.
∵cos∠PF1M=cos∠F2F1M=,
∴sin∠PF1M=,
∴=|PF1|·|MF1|·sin∠PF1M=×××=.
在△MPF2中,由余弦定理知,cos∠MPF2===,
∴sin∠MPF2=,
∴=|MP|·|PF2|·sin∠MPF2=×××=.
∴-=-=2.
13.解析　(1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0).
由条件得解得故b2=256,
因此椭圆C的标准方程为+=1.
(2)设地球由近木星点A第一次逆时针“流浪”到与轨道中心O的距离为万千米时所在位置为P(x0,y0),且x0>0,y0>0,
则∴
∴P.
∴直线L的方程为y-=k,即kx-y+-k=0.
设木星的中心F到地球的距离为d万千米.
由d>R得>7,
化简得425k2+128k-839<0.
当k=-2时,不等式左边=861-256>0,故原不等式不成立,此时地球与木星会发生碰撞.
当k=1时,不等式左边=128-414<0,故原不等式成立,此时地球与木星不会发生碰撞.
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