人教A版选择性必修第一册第二章 直线和圆的方程（Word含解析）

第二章　直线和圆的方程
(满分150分,考试用时120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.直线x-y-1=0的倾斜角α=(　　)
A.30°　　　　　B.60°　　　　　C.120°　　　　　D.150°
2.已知圆x2+y2+2x+2y+k=0和定点P(1,-1),若过点P的圆的切线有两条,则实数k的取值范围是(　　)
A.(-2,+∞)　　　　　　　B.(-∞,2)
C.(-2,2)　　　　　　　 D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
3.已知圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0与圆C2:x2+y2-14x-2y+a=0,若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点,则实数a等于(　　)
A.14　　　　　　　 B.34
C.14或45　　　　　　　D.34或14
4.已知直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,若l1∥l2,则实数a=(　　)
A.-1或1　　　　　　　B.0或1
C.1　　　　　　　 D.-1
5.已知a>0,b>0,直线l1:(a-1)x+y-1=0,l2:x+2by+1=0,且l1⊥l2,则的最小值为(　　)
A.2　　　　　B.4　　　　　C.8　　　　　D.9
6.直线l:x-2y-1=0与圆M:x2+y2-4x-6y+k=0相交于A,B两点,且|AB|=4,则实数k的值为(　　)
A.　　　　　D.4
7.台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动,台风中心30km内的地区为危险地区,若城市B在A地正东40km处,则城市B处于危险区内的时间为(　　)
A.0.5h　　　　　B.1h　　　　　C.1.5h　　　　　D.2h
8.已知圆C的圆心为原点O,且与直线x+y+4=0相切.点P在直线x=8上,过点P引圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,如图所示,则直线AB恒过的点的坐标为(　　)
A.(2,0)　　　　　B.(0,2)　　　　　C.(1,0)　　　　　D.(0,1)
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)
9.下列说法错误的是(　　)
A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件
B.直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是
C.过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为
D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程为x+y-2=0
10.已知圆O:x2+y2=4和圆C:(x-2)2+(y-3)2=1,下列结论中正确的是(　　)
A.圆O与圆C有四条公切线
B.过点C(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x+y=5和x-y+1=0
C.过点C且与圆O相切的直线方程为9x-16y+30=0
D.P,Q分别为圆O和圆C上的动点,则|PQ|的最大值为+3,最小值为-3
11.已知直线l1:2x+3y-1=0和l2:4x+6y-9=0,若直线l和直线l1的距离与和直线l2的距离之比为1∶2,则直线l的方程为(　　)
A.2x+3y-8=0　　　　　　　B.4x+6y+5=0
C.2x+3y-5=0　　　　　　　D.12x+18y-13=0
12.已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0和直线l:kx-y+3-4k=0,则(　　)
A.无法判断直线l与圆C的位置关系
B.当k=1时,圆C上的点到直线l的距离的最大值为+2
C.当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时,k=0
D.如果直线l与圆C相交于M,N两点,则MN的中点的轨迹是一个圆
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于A(-2,0),B(-4,0)两点,则圆C的方程为　　　　　　　.
14.在平面直角坐标系中,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是　　　　.
15.若曲线C1:y=2+与曲线C2:(y-2)(y-kx+k)=0有四个不同的交点,则实数k的取值范围是　　　　.
16.已知点P(0,2),圆O:x2+y2=16上两点M(x1,y1),N(x2,y2),且=λ(λ∈R),则|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|的最小值为　 　.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知直线l过点P(-1,2).
(1)若直线l在两坐标轴上的截距和为零,求l的方程;
(2)设直线l的斜率k>0,直线l与两坐标轴的交点分别为A,B,求△AOB面积的最小值.
18.(12分)等腰直角△ABC的直角为角C,且点C(0,-1),斜边AB所在直线的方程为x+2y-8=0.
(1)求△ABC的面积;
(2)求斜边AB的中点D的坐标.
19.(12分)如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处,B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处,以O为坐标原点,正东方向为x轴正方向,1千米为单位长度建立平面直角坐标系,圆C经过O,A,B三点.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处,正沿着北偏东45°方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险
20.(12分)在平面直角坐标系中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4与圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.
(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.
21.(12分)在平面直角坐标系中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况 说明理由;
(2)证明:y轴被过A,B,C三点的圆截得的弦长为定值.
22.(12分)在平面直角坐标系中,直线l:x-y-4=0交x轴于点M,以原点O为圆心的圆与直线l相切.
(1)求圆O的方程;
(2)设点N(x0,y0)为直线y=-x+3上一动点,若在圆O上存在点P,使得∠ONP=45°,求x0的取值范围;
(3)是否存在定点S,对于经过点S的直线a,当a与圆O交于A,B两点时,恒有∠AMO=∠BMO 若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
1.A　直线x-y-1=0的斜率k=.由斜率和倾斜角的关系可得tanα=,∵0°≤α<180°,∴α=30°.故选A.
2.C　因为方程x2+y2+2x+2y+k=0表示一个圆,所以4+4-4k>0,解得k<2.因为点P在圆外,所以1+1+2-2+k>0,解得k>-2.故-23.D　设圆C1、圆C2的半径分别为r1,r2.
圆C1的方程可化为(x-3)2+(y+2)2=1,圆C2的方程可化为(x-7)2+(y-1)2=50-a.所以C1(3,-2),C2(7,1),r1=1,r2=.
由题意得两圆相切,所以|C1C2|=r1+r2或|C1C2|=|r1-r2|.
因为|C1C2|==5,所以5=1+或5=|1-|,
解得a=34或a=14.故选D.
4.D　当a=0时,l2的斜率不存在,l1的斜率为0,此时l1⊥l2,不符合题意;当a≠0时,由l1∥l2可得=≠,解得a=-1.故选D.
5.C　因为l1⊥l2,所以(a-1)×1+1×2b=0,即a+2b=1.
因为a>0,b>0,所以+=(a+2b)=2+2++≥4+2=8,当且仅当即a=,b=时,等号成立,所以+的最小值为8.故选C.
6.D　圆M的方程可化为(x-2)2+(y-3)2=13-k,则圆M的圆心为(2,3),半径r=.圆心(2,3)到直线l的距离d==.
由d2+=r2,得5+22=13-k,解得k=4.故选D.
7.B　以A为坐标原点,正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(图略),则B(40,0).以B为圆心,30为半径的圆的方程为(x-40)2+y2=302.
因为过点A且方向为东北方向的直线方程为y=x,所以圆心B到直线y=x的距离为=20,则直线y=x被圆(x-40)2+y2=302截得的弦长为2=20,所以城市B处于危险区内的时间为=1(h).故选B.
8.A　依题意得圆C的半径r==4,所以圆C的方程为x2+y2=16.连接OA,OB,OP.因为PA,PB是圆C的两条切线,所以OA⊥AP,OB⊥BP,所以A,B在以OP为直径的圆上.设点P的坐标为(8,b),b∈R,则线段OP的中点坐标为,所以以OP为直径的圆的方程为(x-4)2+=42+,b∈R,化简得x2+y2-8x-by=0,b∈R.因为AB为两圆的公共弦,所以直线AB的方程为8x+by=16,b∈R,即8(x-2)+by=0,所以直线AB恒过点(2,0).
9.ACD　当a=0时,两直线方程分别为y=1和x=2,此时满足直线互相垂直,故A中说法错误;易知直线的斜率k=-sinα,则-1≤k≤1,即-1≤tanθ≤1,∴θ∈∪,故B中说法正确;当x1=x2或y1=y2时,直线方程为x=x1或y=y1,此时直线方程=不成立,故C中说法错误;若直线过原点,则直线方程为y=x,此时也满足条件,故D中说法错误.故选ACD.
10.AD　设圆O的半径为r1,圆C的半径为r2.易得O(0,0),C(2,3),
r1=2,r2=1.
圆心距|OC|=>r1+r2=3,所以两圆外离,有四条公切线,故A中结论正确;当直线在两坐标轴上的截距均为0时,直线方程为3x-2y=0;当直线在两坐标轴上的截距相等且均不为0时,设直线方程为+=1,又点C(2,3)在直线上,所以+=1,解得a=5,故直线方程为x+y-5=0,故B中结论不正确;易知点C(2,3)在圆O的外部,所以过点C且与圆O相切的直线有两条,故C中结论不正确;|PQ|的最大值为|OC|+r1+r2=+3,最小值为|OC|-r1-r2=-3,故D中结论正确.
故选AD.
11.BD　直线l1的方程可化为4x+6y-2=0.
设l的方程为4x+6y+c=0(c≠-2且c≠-9).
由题意得=,即|c+9|=2|c+2|,∴c+9=2c+4或c+9=-2c-4,解得c=5或c=-.故直线l的方程为4x+6y+5=0或12x+18y-13=0.故选BD.
12.BCD　由x2+y2-6x-8y+21=0,得(x-3)2+(y-4)2=4,所以圆心为C(3,4),半径为2.直线l的方程可化为y-3=k(x-4),则直线l过定点(4,3).因为点(4,3)在圆C内,所以直线l与圆C相交,故A中说法错误.
k=1时,直线l的方程为x-y-1=0,则圆心C(3,4)到直线l的距离为=,所以圆C上的点到直线l的距离的最大值为+2,故B中说法正确.
当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时,圆心C(3,4)到直线l的距离为1,即=1,解得k=0,故C中说法正确.
易知直线l过定点(4,3),记其为A,设MN的中点为P,则PC⊥PA,故点P的轨迹是以AC为直径的圆,故D中说法正确.故选BCD.
13.答案　(x+3)2+(y-2)2=5
解析　线段AB的中垂线方程为x=-3.由得
故圆心C(-3,2).由两点间的距离公式得半径为|AC|=.
∴圆C的方程为(x+3)2+(y-2)2=5.
14.答案　(2,4)
解析　如图,取平面直角坐标系中任一点P,则P到A,B,C,D的距离之和为|PA|+|PB|+|PC|+|PD|=(|PB|+|PD|)+(|PA|+|PC|)≥|BD|+|AC|,故AC与BD的交点Q即为使所求距离之和最小的点.
易得直线AC的方程为y=2x,直线BD的方程为x+y-6=0.
由得故所求点的坐标为(2,4).
15.答案　
解析　由y=2+得(x+1)2+(y-2)2=1(y≥2),故曲线C1表示以(-1,2)为圆心,1为半径的圆的上半部分(包括端点).
由(y-2)(y-kx+k)=0得y=2或y=kx-k.
显然直线y=2与曲线C1有两个交点,交点为半圆的两个端点,
∴直线y=kx-k=k(x-1)与半圆有2个除端点外的交点.
易知直线y=k(x-1)恒过点(1,0).
当直线y=k(x-1)经过点(0,2)时,k==-2;当直线y=k(x-1)与半圆相切时,=1,解得k=或k=(舍),所以当16.答案　48
解析　∵=λ(λ∈R),∴P,M,N三点共线.又∵圆O:x2+y2=16过点M(x1,y1),N(x2,y2),∴M,N是过点P(0,2)的直线与圆x2+y2=16的两交点.
+的几何意义为M,N两点到直线3x+4y+25=0的距离和.
设线段MN的中点坐标为(x0,y0),则2x0=x1+x2,2y0=y1+y2,
∴+=2·.
∵M,N是过点P(0,2)的直线与圆x2+y2=16的两交点,
∴+=16,+=16,两式作差,得=-.
由斜率公式可得=,∴-=,化简可得+(y0-1)2=1,则MN的中点的轨迹为以(0,1)为圆心,1为半径的圆,
∴(x0,y0)到直线3x+4y+25=0的距离的最小值为-1=.
∵|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|=5,
∴(|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|)min=5×2×=48.
17.解析　(1)由题意得直线l的斜率存在且不为0.(1分)
设直线l的方程为y-2=k(x+1)(k≠0),即kx-y+2+k=0,则它在两坐标轴上的截距分别为-1-和k+2.(3分)
由题意得-1-+k+2=0,∴k=-2或k=1,
∴直线l的方程为2x+y=0或x-y+3=0.(5分)
(2)结合(1)不妨设A,B(0,k+2),(7分)
∴△AOB的面积S=·|k+2|=+2+≥2+2=4,当且仅当k=2时,等号成立.(9分)
故△AOB面积的最小值为4.(10分)
18.解析　(1)顶点C到斜边AB所在直线的距离d===2,(3分)
所以|AB|=2d=4.(4分)
故△ABC的面积S=×|AB|×d=×4×2=20.(6分)
(2)连接CD.由题意知CD⊥AB,又kAB=-,所以kCD=2,(8分)
所以直线CD的方程为y=2x-1,即2x-y-1=0.(10分)
由解得所以点D的坐标为(2,3).(12分)
19.解析　(1)易知O(0,0),A(40,40),B(20,0).(1分)
设过O,A,B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得(4分)
所以圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0.(5分)
(2)有.理由如下:
船D初始位置的坐标为(-20,-20),且该船航线所在直线的斜率为1,(7分)
所以船D的航线所在直线的方程为x-y+20-20=0.(8分)
由(1)可得圆C的圆心为(10,30),半径为10.(9分)
圆心C到直线的距离d==10<10,(11分)
故该船有触礁的危险.(12分)
20.解析　(1)由题意可知直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,所以圆心C1(-3,1)到直线l的距离d===1,(2分)
化简得24k2+7k=0,解得k=0或k=-.(3分)
所以直线l的方程为y=0或y=-(x-4),即y=0或7x+24y-28=0.(5分)
(2)设P(m,n),直线l1,l2的方程分别为y-n=k'(x-m),y-n=-(x-m),即k'x-y+n-k'm=0,-x-y+n+=0.(6分)
因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆的半径也相等,所以圆心C1(-3,1)到直线l1的距离与圆心C2(4,5)到直线l2的距离相等,即=,(8分)
化简得(2-m-n)k'=m-n-3或(m-n+8)k'=m+n-5.(9分)
关于k'的方程有无穷多解,则或
解得或故满足条件的点P的坐标为或.(12分)
21.解析　设A(x1,0),B(x2,0).
(1)不能出现AC⊥BC的情况.理由如下:(1分)
易知x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.(3分)
因为C的坐标为(0,1),所以kAC·kBC=·=-≠-1,所以不能出现AC⊥BC的情况.(5分)
(2)证明:线段BC的中点坐标为,kBC==-,所以线段BC的中垂线方程为y-=x2.(7分)
由(1)可得x1+x2=-m,所以线段AB的中垂线方程为x=-.(8分)
由得y=-(+mx2-1),又+mx2-2=0,所以x=-,y=-.所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为,半径r=.(10分)
故y轴被圆截得的弦长为2×=3,即y轴被过A,B,C三点的圆截得的弦长为定值.(12分)
22.解析　(1)原点到直线l的距离d==2,(2分)
故圆O的方程为x2+y2=4.(3分)
(2)过N作圆O的切线,切点为Q,如图①所示,
图①
则∠ONQ≥∠ONP=45°,∴sin∠ONQ=≥sin∠ONP=,
∴|ON|≤2.(5分)
∵点N(x0,y0)为直线y=-x+3上一动点,∴+=+(3-x0)2≤8,解得≤x0≤.(7分)
(3)存在定点S(1,0),使得∠AMO=∠BMO恒成立,如图②所示.
图②
当直线a的斜率存在时,设直线a:y=kx+m(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).由得(1+k2)x2+2kmx+m2-4=0,∴x1+x2=-,
x1x2=.(9分)
由∠AMO=∠BMO,得kAM+kBM=0.又M(4,0),∴+=0,即2kx1x2+(m-4k)(x1+x2)-8m=0,
∴2k×+(m-4k)-8m=0,化简得m=-k.
∴直线a:y=kx-k,过定点S(1,0).(11分)
当直线AB的斜率不存在时,由圆的对称性知,直线过S(1,0)时满足∠AMO=∠BMO.
综上,存在定点S(1,0),使得∠AMO=∠BMO恒成立.(12分)
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