人教A版选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程（Word含解析）

第三章　圆锥曲线的方程
(满分150分,考试用时120分钟)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是(　　)
A.
2.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆的圆心在(　　)
A.一个椭圆上　　　　　　　 B.双曲线的一支上
C.一条抛物线上　　　　　　 D.一个圆上
3.如图,已知圆柱的底面半径为2,与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆,则该椭圆的焦距为(　　)
A.2
4.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为(　　)
A.
5.已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P为椭圆上一点,且△F1PF2是直角三角形,则△F1PF2的面积为(　　)
A.或8　　　　　D.或8
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别是直线CD,AB上的动点,点P是△A1C1D内的动点(不包括边界),记直线D1P与MN所成角为θ,若θ的最小值为,则点P的轨迹是(　　)
A.圆的一部分　　　　　　　 B.椭圆的一部分
C.抛物线的一部分　　　　　　D.双曲线的一部分
7.抛物线有如下光学性质:由焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线y2=4x的焦点为F,一束平行于x轴的光线l1从点M(3,1)射入,经过抛物线上的点P(x1,y1)反射,再经抛物线上另一点Q(x2,y2)反射后,沿直线l2射出,则下列结论中错误的是(　　)
A.x1x2=1　　　　　　　 B.kPQ=-
C.|PQ|=　　　　　　 D.l1与l2之间的距离为4
8.设A,B分别是双曲线x2-=1的左、右顶点,过P的直线PA,PB与双曲线分别交于点M,N,直线MN交x轴于点Q,过Q的直线交双曲线的右支于S,T两点,且=2,则△BST的面积为(　　)
A.
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分)
9.已知曲线C:mx2+ny2=1,则下列说法正确的是(　　)
A.若m=0,n>0,则C是两条直线
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为
C.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在x轴上
D.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=±x
10.以下关于圆锥曲线的说法不正确的是(　　)
A.设A,B为两个定点,k为非零常数,||PA|-|PB||=k,则动点P的轨迹为双曲线
B.过圆O上一定点A作圆的动弦AB,若(+),则动点P的轨迹为椭圆
C.若曲线C:=1为双曲线,则k<1或k>4
D.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x有且仅有一个公共点,则这样的直线有2条
11.已知抛物线y2=8x的焦点为F,点A是抛物线上的动点,设B(-2,0),当取得最小值时,(　　)
A.AB的斜率为±
B.|AF|=4
C.△ABF内切圆的面积为π
D.△ABF内切圆的面积为(24-16)π
12.如图,F1,F2是双曲线C1:x2-=1与椭圆C2的公共焦点,点A是C1,C2在第一象限的公共点,设C2的方程为=1(a>b>0),则有(　　)
A.a2+b2=4
B.△AF1F2的内切圆与x轴相切于点(1,0)
C.若|F1F2|=|F1A|,则C2的离心率为
D.若AF1⊥AF2,则椭圆方程为=1
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.与双曲线=1有共同的渐近线,且过点(3,2)的双曲线方程为　　　　.
14.直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与抛物线C相交于A,B两点,若AB的中点的纵坐标为2,则p=　　　　,直线l的方程为　　　　　　.
15.已知椭圆=1(a>b>c>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于(a-c),则椭圆的离心率e的取值范围是　　　　.
16.如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点F且依次交抛物线及圆(x-1)2+y2=于A,B,C,D四点,则|AB|+9|CD|的最小值为 .
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(1)求与双曲线=1有相同焦点,且经过点(3,2)的双曲线的标准方程;
(2)已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=,求m的值.
18.(12分)已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,|AB|=8.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知P(x0,-1)为抛物线上一点,M,N为抛物线上异于P的两点,且满足kPM·kPN=-2,试探究直线MN是否过一定点,若是,求出此定点;若不是,请说明理由.
19.(12分)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线右支上一点,PF2⊥F1F2,OH⊥PF1,O为坐标原点,且|OH|=λ|OF1|,λ∈.
(1)当λ=时,求双曲线的渐近线方程;
(2)求双曲线的离心率e的取值范围.
20.(12分)已知点E到直线l:y=-2的距离与点E到点F(0,1)的距离之差为1.设点E的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若P(x0,y0)为直线l上任意一点,过点P作曲线C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,求点F到直线MN的最大距离.
21.(12分)设圆x2+y2-2x-15=0的圆心为M,直线l过点N(-1,0)且与x轴不重合,l交圆M于A,B两点,过点N作AM的平行线交BM于点C.
(1)证明|CM|+|CN|为定值,并写出点C的轨迹方程;
(2)设点C的轨迹为曲线E,直线l1:y=kx与曲线E交于P,Q两点,点R为曲线E上一点,若△RPQ是以PQ为底边的等腰三角形,求△RPQ面积的最小值.
22.(12分)已知椭圆G:=1(a>2)的离心率为.设过点(1,0)的直线l交椭圆G于M,N两点.
(1)求椭圆G的方程;
(2)若直线l的斜率为2,求|MN|;
(3)设A为椭圆的左顶点,AM,AN分别交y轴于点P,Q,在x轴上是否存在点T,使得以PQ为直径的圆恒过点T 如果存在,求出点T的坐标;如果不存在,请说明理由.
答案全解全析
1.B　抛物线y2=4x的焦点为(1,0),其到双曲线x2-=1的一条渐近线x-y=0的距离为=.故选B.
2.B　设圆x2+y2=1的圆心为O,半径为r1,圆x2+y2-8x+12=0的圆心为F,半径为r2,动圆的圆心为P,半径为r.依题意得O(0,0),F(4,0),r1=1,r2=2.易知|PF|=2+r,|PO|=1+r,则|PF|-|PO|=
(2+r)-(1+r)=1<|FO|=4,所以点P的轨迹是双曲线的一支.故选B.
3.D　如图所示,设椭圆的长轴为AB,短轴为CD,中心为O1,圆柱的底面中心为O,则∠OAB=60°,
∴椭圆的长半轴长a=|O1A|==4,短半轴长b=|CD|=2,
∴椭圆的焦距为2=4.故选D.
4.D　由抛物线的方程可得F(1,0),准线l:x=-1,则|AB|=,|OF|=1,所以b=2a,所以c==a,故双曲线的离心率为=.
5.B　由题意得a2=10,b2=8,∴c2=a2-b2=2.
设椭圆的上顶点为B,由c因此PF1⊥F1F2或PF2⊥F1F2.
当PF1⊥F1F2时,|PF1|==,
∴=|F1F2||PF1|=×2×=.
同理,当PF2⊥F1F2时,=.故选B.
6.B　延长D1P,交平面ABCD于点Q,连接DP,DQ,则直线MN与D1Q所成角为θ,又直线D1Q与平面ABCD内的直线所成角的最小值为,所以直线D1Q与平面ABCD所成的角为,则∠DQD1=.设正方体的棱长为a,则|DQ|=a,所以点Q在以D为圆心,a为半径的四分之一圆上运动,即在圆锥DD1的底面四分之一圆上运动.用过底面圆心D的平面A1C1D截取圆锥,在四分之一圆锥DD1表面所得的曲线即为点P的轨迹,即点P的轨迹为椭圆的一部分.故选B.
7.D　如图所示,易知y1=1,∴12=4x1,即x1=,∴P.
易知F(1,0),∴kPF==-.
∴直线PF的方程为y=-(x-1).
由得y2+3y-4=0,解得y=1或y=-4.
当y=1时,x=;当y=-4时,x=4.
∴Q(4,-4),∴x1x2=×4=1,故A中结论正确.
kPQ=kPF=-,故B中结论正确.
|PQ|==,故C中结论正确.
易知l1的方程为y=1,l2的方程为y=-4,
∴l1与l2之间的距离为5,故D中结论错误.故选D.
8.A　双曲线x2-=1的左、右顶点分别为A(-1,0),B(1,0),
又P,∴直线PA的方程为x=-1,直线PB的方程为x=-+1.由可得y2-=0,解得y=0或y=,
将y=代入x=-1,得x=,∴M.
由可得y2-y=0,解得y=0或y=,
将y=代入x=-+1,得x=,∴N.
设Q(s,0),由M,N,Q三点共线,可得kMN=kQN,∴=,
将M,N的坐标代入,化简可得=,
解得s=2,即Q(2,0).
设过Q的直线方程为x=my+2,S(x1,y1),T(x2,y2),
由得(3m2-1)y2+12my+9=0,
则y1+y2=-,y1y2=,Δ=144m2-36(3m2-1)>0恒成立.
∵=2,∴y1=-2y2,∴解得m2=.
∴S△BST=|BQ|·|y1-y2|=|y1-y2|=
=·=3×=.故选A.
9.AD　若m=0,n>0,则C:ny2=1,即y=±,为两条直线,故A中说法正确;若m=n>0,则C:x2+y2=,是圆,半径为,故B中说法错误;若m>n>0,则0<<,所以C:+=1,为椭圆,且焦点在y轴上,故C中说法错误;若mn<0,则C:+=1,为双曲线,且其渐近线方程为y=±x=±x,故D中说法正确.故选AD.
10.ABD　根据双曲线的定义,必须有k<|AB|,动点P的轨迹才为双曲线,故A中说法不正确;∵=(+),∴P为弦AB的中点,故∠APO=90°,则动点P的轨迹为以线段AO为直径的圆,故B中说法不正确;显然C中说法正确;过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x有且仅有一个公共点,这样的直线有3条,分别为直线x=0,y=1,y=x+1,故D中说法不正确.故选ABD.
11.BD　显然B为抛物线的准线与x轴的交点.过点A作准线的垂线,垂足为C.
由抛物线的定义可得,|AF|=|AC|,则==sin∠ABC.
当取得最小值时,sin∠ABC取得最小值,即∠ABC取得最小值,亦即∠ABF取得最大值,此时AB与抛物线相切.
设AB的方程为y=k(x+2),由消去y可得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0(*),令Δ=-4k2·4k2=0,解得k=±1,所以选项A不正确.
将k=±1代入(*)中得x2-4x+4=0,所以x=2,所以|AF|=|BF|=4,所以选项B正确.
不妨设A在第一象限,则A(2,4),所以|BF|=|AF|=4,|AB|=4.
设△ABF内切圆的半径为r,则(|AB|·r+|AF|·r+|BF|·r)=×4×4,解得r==4-2,所以△ABF的内切圆的面积为π×=(24-16)π,所以选项C不正确,选项D正确.故选BD.
12.BCD　由双曲线C1:x2-=1可得c==2,∴a2-b2=c2=4,故A错误;
设△AF1F2的内切圆的圆心为I,圆I与边AF1,F1F2,F2A相切于点N,M,K,连接NI,MI,KI,则|AN|=|AK|,|F1M|=|F1N|,|F2M|=|F2K|,
由双曲线的定义得|AF1|-|AF2|=2,即(|AN|+|F1N|)-(|AK|+|F2K|)
=|F1N|-|F2K|=|F1M|-|F2M|=2①,
又|F1M|+|F2M|=4②,∴由①②解得|F2M|=1,|F1M|=3,
∴M(1,0),∴圆I与x轴相切于点(1,0),故B正确;
椭圆C2中,|F1A|+|F2A|=2a,又|F1A|-|F2A|=2,∴|F1A|=a+1,|F2A|=a-1,
由|F1F2|=|F1A|,得4=a+1,解得a=3,则C2的离心率为=,故C正确;
若AF1⊥AF2,则+=,即(a+1)2+(a-1)2=4c2=16,解得a=,则b===,∴椭圆的方程为+=1,故D正确.故选BCD.
13.答案　-=1
解析　设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0),∵点(3,2)在所求双曲线上,∴-=λ,解得λ=2.故所求双曲线方程为-=1.
14.答案　2;x-y-1=0
解析　由抛物线的焦点F(1,0),得=1,所以p=2,
所以抛物线方程为y2=4x.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4.
直线l的斜率显然不为0,设直线l的方程为x=ny+1,
由消去x,整理得y2-4ny-4=0,所以y1+y2=4n=4,即n=1,
所以直线l的方程为x-y-1=0.
15.答案　
解析　∵|PT|=,∴当|PF2|取得最小值时,|PT|取得最小值.
当P点位于椭圆的右顶点时,|PF2|取得最小值,且最小值为a-c,
∴≥(a-c),∴(a-c)2≥4(b-c)2,∴a-c≥2(b-c),
∴a+c≥2b,∴(a+c)2≥4(a2-c2),即5c2+2ac-3a2≥0,∴5e2+2e-3≥0,
解得e≥或e≤-1(舍去).又e∈(0,1),∴≤e<1.①
∵b>c,∴b2>c2,∴a2-c2>c2,∴a2>2c2,∴e2<,∴0由①②得≤e<.故椭圆离心率的取值范围为.
16.答案　11
解析　抛物线y2=4x的准线为x=-1,所以|AF|=xA+1.
又|AF|=|AB|+,所以|AB|=xA+.同理,|CD|=xD+.
当直线l的斜率不存在时,xD=xA=1,所以|AB|+9|CD|=15.
当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x-1),
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以xAxD=1,
所以|AB|+9|CD|=5+xA+9xD≥5+2=11,当且仅当xA=3,xD=时,等号成立.
综上,|AB|+9|CD|的最小值为11.
17.解析　(1)∵所求双曲线与双曲线-=1有相同焦点,
∴设所求双曲线的方程为-=1(-4<λ<16).(2分)
∵所求双曲线过点(3,2),∴-=1,∴λ=4或λ=-14(舍).
(4分)
∴所求双曲线的方程为-=1.(5分)
(2)方程x2+(m+3)y2=m(m>0)可化为+=1(m>0).(6分)
∵m-=>0,∴m>,
∴a2=m,b2=,∴c==.(8分)
由e=得=,解得m=1.(10分)
18.解析　(1)易知F,kAB=1,则直线AB的方程为y=x-.(1分)
由消去y,得x2-3px+=0,所以xA+xB=3p,(3分)
所以|AB|=xA+xB+p=4p=8,所以p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x.(5分)
(2)将(x0,-1)代入y2=4x可得P.(6分)
设直线MN的方程为x=my+t,M(x1,y1),N(x2,y2),由消去x,得y2-4my-4t=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4t,Δ=16m2+16t.(8分)
由题意得kPM·kPN=×=×==-2,
所以t=-m.(10分)
所以Δ=16m2+16t=16=16+32>0,
此时直线MN的方程为x=m(y-1)+,所以直线MN过定点.(12分)
19.解析　(1)如图,由题意知△OHF1∽△PF2F1,故=,故λ===,即2a2λ+b2λ=b2,即2a2λ=b2(1-λ),则=.(3分)
当λ=时,=1,所以a=b,
所以双曲线的渐近线方程为y=±x.(5分)
(2)结合(1)得e2==1+=1+=1+=-1.(7分)
易知函数y=-1在上单调递增,
所以当λ=时,e2取得最大值3;当λ=时,e2取得最小值.(10分)
所以≤e2≤3,所以≤e≤.
故双曲线的离心率e的取值范围是.(12分)
20.解析　(1)由题意得,点E到直线l':y=-1的距离等于点E到点F(0,1)的距离,则点E的轨迹是以F为焦点,直线l'为准线的抛物线.(2分)
设其方程为x2=2py(p>0).
由题意得=1,解得p=2.所以曲线C的方程是x2=4y.(4分)
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),过曲线C上点M(x1,y1)的切线方程为y-y1=k(x-x1).
由得x2-4kx+4(kx1-y1)=0,
令Δ=(-4k)2-4×4(kx1-y1)=0,又=4y1,所以k=.所以过曲线C上点M(x1,y1)的切线方程为y-y1=(x-x1),即y=x-.(6分)
又切线过点P(x0,y0),所以y0=x0-,即y0=x0-y1.(7分)
同理,过点N(x2,y2)的切线方程为y=x-,
又切线过点P(x0,y0),所以y0=x0-,即y0=x0-y2.(9分)
所以点M(x1,y1),N(x2,y2)均满足y0=x0-y,即x0x=2(y0+y).(10分)
又P(x0,y0)为直线l:y=-2上任意一点,所以y0=-2,所以直线MN的方程为x0x=2(y-2).
所以点F(0,1)到直线MN的距离d=,当x0=0时,dmax=1.
所以点F到直线MN的最大距离为1.(12分)
21.解析　(1)方程x2+y2-2x-15=0可化为(x-1)2+y2=16,
所以圆心M(1,0),半径|MB|=4.(1分)
易知AM∥NC,又|MA|=|MB|,所以∠BNC=∠BAM=∠NBC,
所以|CN|=|CB|,(3分)
所以|CM|+|CN|=|CM|+|CB|=|MB|=4>|MN|=2.(4分)
所以点C的轨迹方程为+=1(y≠0).(6分)
(2)易知k≠0,设P(x1,y1).由消去y,得(3+4k2)x2=12,
所以所以|OP|===
(O为坐标原点).(8分)
因为△RPQ是以PQ为底边的等腰三角形,
所以RO⊥PQ,所以kRO·kPQ=-1,则kRO=-.
同理,|OR|==.(10分)
所以S△RPQ=×|PQ|×|OR|=×2××
=≥==,当且仅当3+4k2=4+3k2,即k=±1时取等号,所以(S△RPQ)min=.(12分)
22.解析　(1)由题意得解得
所以椭圆G的方程为+=1.(2分)
(2)易得直线l的方程为y=2(x-1).(3分)
设M(x1,y1),N(x2,y2),由消去y并整理,得5x2-9x=0,则x1+x2=,x1x2=0.(5分)
所以|MN|=·=.(6分)
(3)设满足题意的定点T存在,且T(t,0)(t≠0).
易知直线l的斜率为0时,不满足题意,故设l的方程为x=my+1.
由消去x,得(4m2+9)y2+8my-32=0.
Δ=(8m)2+4×32(4m2+9)>0恒成立.
设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=.(8分)
易知直线AM的方程为y=(x+3),令x=0,得P.
同理,Q.(10分)
若以PQ为直径的圆恒过点T,则TP⊥TQ,即·=-1,
又x3=my3+1,x4=my4+1,所以=-t2.
所以=-t2,
整理得t2=2,所以t=±.
所以以PQ为直径的圆恒过点T(±,0).(12分)
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