山西大学附属实高
2022——2023学年第一学期高二年级开学考试
数学试题
考查时间：90分钟 满分：100分 考查内容：必修一二
一、单选题（每小题 3 分，共 36分）
1．已知集合 = { | 2 < ≤ 1}， = { 2, 1,0,1}，则 ∩ =（ ）．
A．{ 2, 1,0,1} B．{ 1,0,1} C．{ 1,0} D．{ 2, 1,0}
2+ 3
2．已知复数 满足 = ，则 的虚部为（ ）
(1+ )2
A． B． i C．1 D． 1
3．连续抛掷一枚硬币 3次，观察正面出现的情况，事件“至少 2次出现正面”的对立
事件是（ ）
A．只有 2次出现反面 B．至多 2次出现正面
C．有 2次或 3次出现正面 D．有 0次或 1次出现正面
4．命题“ x 1， x2 x 0”的否定是（ ）
A． x0 1
2
， x0 x
2
0 0 B． x 1， x x 0
C． x0 1 x
2
， 0 x0 0 D． x 1， x
2 x 0
5+1
5．设顶角为36°的等腰三角形为最美三角形，已知最美三角形顶角的余弦值为√ ，则
4
最美三角形底角的余弦值为（ ）
√5 1 √5 1 √5+1 5+1A． B． C． D．√
2 4 4 2
6．已知 A,B,C 表示不同的点， 表示直线， , 表示不同的平面，则下列推理中错误的
是（ ）
A． ∈ ， ∈ ， ∈ ， ∈
B． ∈ ， ∈ ， ∈ ， ∈ ∩ =
C． , ∈ ， 直线 AB 与直线 是异面直线
D． ∈ ， ∈ ， ∩ =
7．已知直角三角形 ABC中，∠ = 90°，AB=2，AC=4，点 P在以 A为圆心且与边 BC相切
的圆上，则 的最大值为（ ）
16+16 5 16+8
A． √ B． √
5
5 5
16 56
C． D．
5 5
8．关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论错误的
是（ ）
A．某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调
查方式为抽样调查
B．为了解高一学生的视力情况，现有高一男生 480人，女
生 420人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为 63，
则样本容量为 135
C．若甲 乙两组数据的标准差满足 甲 < 乙则可以估计乙比甲更稳定
D．若数据 1, 2, 3, , 的平均数为 ，则数据 = ( = 1,2,3, , )的平均数
为
9．声强级（单位：dB）由公式 = 10 ( 12)给出，其中 为声强（单位：
2
10 W/m ）．某
班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题
活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过 40dB．现已知 3 位同学课间交流
时，每人的声强分别为5 × 10 8 2，10 8 2 9 2W/m W/m ，2 × 10 W/m ，则这 3人中达到班级
要求的人数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知函数 ( )是定义域为 R的偶函数，且 ( + 2) = ( )，若 ( )在[-1，0]上是
单调递减的，那么 ( )在[2，3]上是（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增
11．筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到
使用(图 1)，明朝科学家徐光启在《农
政全书》中用图画描绘了筒车的工作原
理(图 2).
现有一个半径为 3米的筒车按逆时针方
向每分钟旋转 1圈，筒车的轴心距离水
面的高度为 2米，设筒车上的某个盛水
筒 P到水面的距离为 (单位：米)(在
水面下则 为负数)，若以盛水筒 P刚浮
出水面为初始时刻，经过 秒后，下列命
2
题正确的是（ ）(参考数据： 4 8 ≈ )
3
2
①． = 2 3sin ( + )，其中 = ，且 0,
30 3 2
2
②． = 2 + 3sin ( )，其中 = ，且 0,
30 3 2
③．当 ≈ 38时，盛水筒 再次进入水中
④．当 ≈ 22时，盛水筒 到达最高点
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
12．地球环境科学亚欧合作组织在某地举办地球环境科学峰会，为表彰为保护地球环境
做出卓越贡献的地球科研卫士，会议组织方特别制作了富有地球寓意的精美奖杯，奖杯
主体由一个铜球和一个三足托盘组成，如图①，已知球的表面积为4 ，底座由边长为 4
的正三角形铜片 沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得，如图②，则下列
结论正确的个数是（ ）
（1）．直线 与平面 所成的角为
3
9
（2）．底座多面体 的体积为
4
（3）．平面 //平面
（4）．球面上的点距离球托底面 的
5
最小距离为 √√3 + 1
3
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题 4 分，共 16分）
13．已知平面向量a = (2, 1)，b = ( k, 2)，若a∥b ，则 a + b = ________．
14．已知样本 1， 2， x3 ，…， xn方差 s
2 = 2，则样本3x1 +1，3x2 +1，3x3 +1，…，
3xn +1的方差为______．
15．某海轮以30海里/时的速度航行，在点A 测得海面上油井 P 在南偏东60 方向上，向
北航行40分钟后到达点 B ，测得油井 P 在点 B 的南偏东30 方向上，海轮改为北偏东60
的航向再行驶80分钟到达点C ，则 P 、C 间的距离为______海里．
16．六氟化硫是一种无机化合物，化学式为SF6 ，常温常压下为无色无臭无毒不燃的稳
定气体，密度约为空气密度的 5倍，是强电负性气体，广泛用于超高压和特高压电力系
统．六氟化硫分子结构呈正八面体排布（8个面都是正三角形）．若此正八面体的表面积
为32 3，则该正八面体的内切球的体积为______．
三．解答题（每小题 12 分，共 48分）
17．在 中，设角 A， ，C 的对边分别为a，b ， c．已知向量
m = ( 3 cos A，sin A )， n = (1， 1)，且m⊥ n．
(1)求角A 的大小；
(2)若a = 7 ，3sin B = 2sinC，求 的面积．
π
18．已知函数 f (x) = 2sin 2 x + +1( 0)，且函数图像中相邻两条对称轴间的距离
6
π
为 .
2
(1)求 的值及函数 f ( x)的单调递增区间；
π
(2)当 x ,0 时，求函数 f ( x )的最值，并写出相应的自变量的取值. 2
19．为了解市民对疫苗接种工作的满意度，从本市居民中随机抽取若干居民进行评分
（满分 100分），根据调查数据制成表格和频率分布直方图（如下图所示），已知评分在
90,100 的居民有 300人.
满意
度评 40,60) 60,80) 80,90) 90,100 )
分
满意
基本满 非常满
度等 不满意 满意
意 意
级
(1)求频率分布直方图中 的值及所调查的总人数；
(2)根据所给数据，估计样本的中位数（保留小数点后一位）；
(3)定义满意度指数 =（满意程度的平均分）/100，若 0.8，则疫苗接种工作需要进
行调整，否则不需要调整，根据所学知识判断该市疫苗接种工作是否需要进行调整？
20．如图，在直角梯形 ABCD中， AB∥DC ， ABC = 90 ， AB = 2DC = 2BC，E 为
AB的中点，沿DE 将 ADE折起，使得点A 到点 P 的位置，且PE ⊥ EB，M 为PB的中
点， N 是BC上的动点（与点 B ，C 不重合）．
(1)证明：平面EMN ⊥平面PBC ；
(2)是否存在点N ，使得二面角B EN M 的正切值为 5？若存在，确定N 点位置；
若不存在，请说明理由．山西省山西师大附属实高2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学参考答案
一．选择题（36分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D D C B C D C C A C B
二．填空题（16分）
13.
14. 18
15.
16.
三．解答题（48分）
17. 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示即可解出；
（2）由正弦定理先求出的关系，再由余弦定理即可解出，最后根据三角形的面积公式即可解出
（1）
由可得，，所以，而，所以．
（2）
由得，而，即，解得，所以，故的面积为．
18.【分析】（1）先由题意求出，再由解出即可求解；
（2）由可得，结合函数的图像求解即可.
（1）
因为函数图像中相邻两条对称轴间的距离为，
所以，
所以，即，
所以，
由，
得，
所以的单调递增区间为.
（2）
因为，
所以，
所以，
所以，，
所以即时，取最小值；
即时，取最大值.
19.【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1可求得，由的居民有300人，结合频率分布直方图的频率可求得所调查的总人数；
（2）根据小于中位数的频率和为0.5计算中位数即可；
（3）根据所给计算公式，结合频率分布直方图数据直接计算即可.
（1）
由频率分布直方图知，即，解得，
设总共调查人，则，解得.
即调查的总人数为1200人.
（2）
由频率分布直方图得：
的频率为：，
的频率为，
设样本的中位数为，则，解得.
所以样本的中位数约为82.9.
（3）
由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02，0.04，0.14，0.20，0.35，0.25，
∴，
∴该市疫苗接种工作不需要进行调整.
20.【分析】（1）由已知可得平面，则，则有平面，所以，而，所以平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论，
（2）假设存在点满足题意，过作于，过作于，连接，可证得为二面角的平面角，不妨设，则，则由∽，可得，再由可求出的值，从而可确定出点的位置
（1）
证明：因为，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，所以,
因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
（2）
假设存在点满足题意，如图，过作于，
因为，所以∥，
由（1）知平面，所以平面，
因为平面，所以，
过作于，连接，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
不妨设，则，
在中，设，
因为∽，
所以，
所以，得，
所以，解得，
即此时为的中点，
综上，存在点，使得二面角的正切值为，此时为的中点，
【点睛】关键点点睛：此题考查面面垂直的判定，考查二面角的求法，解题的关键是通过过作于，过作于，连接，结合已知条件证明出为二面角的平面角，再根据题意求解，考查数形结合的思想，属于较难题
