山西师大附属实高2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学参考答案
一．选择题（36分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D D C B C D C C A C B
二．填空题（16分）
13.
14. 18
15.
16.
三．解答题（48分）
17. 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示即可解出；
（2）由正弦定理先求出的关系，再由余弦定理即可解出，最后根据三角形的面积公式即可解出
（1）
由可得，，所以，而，所以．
（2）
由得，而，即，解得，所以，故的面积为．
18.【分析】（1）先由题意求出，再由解出即可求解；
（2）由可得，结合函数的图像求解即可.
（1）
因为函数图像中相邻两条对称轴间的距离为，
所以，
所以，即，
所以，
由，
得，
所以的单调递增区间为.
（2）
因为，
所以，
所以，
所以，，
所以即时，取最小值；
即时，取最大值.
19.【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1可求得，由的居民有300人，结合频率分布直方图的频率可求得所调查的总人数；
（2）根据小于中位数的频率和为0.5计算中位数即可；
（3）根据所给计算公式，结合频率分布直方图数据直接计算即可.
（1）
由频率分布直方图知，即，解得，
设总共调查人，则，解得.
即调查的总人数为1200人.
（2）
由频率分布直方图得：
的频率为：，
的频率为，
设样本的中位数为，则，解得.
所以样本的中位数约为82.9.
（3）
由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02，0.04，0.14，0.20，0.35，0.25，
∴，
∴该市疫苗接种工作不需要进行调整.
20.【分析】（1）由已知可得平面，则，则有平面，所以，而，所以平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论，
（2）假设存在点满足题意，过作于，过作于，连接，可证得为二面角的平面角，不妨设，则，则由∽，可得，再由可求出的值，从而可确定出点的位置
（1）
证明：因为，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，所以,
因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
（2）
假设存在点满足题意，如图，过作于，
因为，所以∥，
由（1）知平面，所以平面，
因为平面，所以，
过作于，连接，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
不妨设，则，
在中，设，
因为∽，
所以，
所以，得，
所以，解得，
即此时为的中点，
综上，存在点，使得二面角的正切值为，此时为的中点，
【点睛】关键点点睛：此题考查面面垂直的判定，考查二面角的求法，解题的关键是通过过作于，过作于，连接，结合已知条件证明出为二面角的平面角，再根据题意求解，考查数形结合的思想，属于较难题山西师大附属实高2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学试题
考查时间: 90 分钟 满分: 100 分 考查内容: 必修一二
一、单选题 (每小题 3 分, 共 36 分)
1. 已知集合 , 则 （ ）.
D.
2. 已知复数 满足 , 则 的虚部为（ ）
A.
B.
C. 1
D.
3. 连续抛掷一枚硬币 3 次, 观察正面出现的情况, 事件 “至少 2 次出现正面” 的对立 事件是 （ ）
A. 只有 2 次出现反面
B. 至多 2 次出现正面
C. 有 2 次或 3 次出现正面
D. 有 0 次或 1 次出现正面
4. 命题 “ ” 的否定是 （ ）
A.
B.
C.
D.
5. 设顶角为 的等腰三角形为最美三角形, 已知最美三角形顶角的余弦值为 , 则 最美三角形底角的余弦值为 （ ）
A.
B.
C.
D.
6. 已知 表示不同的点, 表示直线, 表示不同的平面, 则下列推理中错误的 是 （ ）
A.
B.
C. 直线 与直线 是异面直线
D.
7. 已知直角三角形 中, , 点 在以 为圆心且与边 相切的圆上, 则 的最大值为 （ ）
A.
B.
C.
D.
8. 关于用统计方法获取数据, 分析数据, 下列结论错误的是（ ）
A. 某食品加工企业为了解生产的产品是否合格, 合理的调查方式为抽样调查
B. 为了解高一学生的视力情况, 现有高一男生 480 人, 女生 420 人, 按性别进行分层抽样, 样本量按比例分配, 若从女生中抽取的样本量为 63 ,则样本容量为 135
C. 若甲，乙两组数据的标准差满足
D. 若数据 的平均数为 , 则数据 的平均数 为
9. 声强级 (单位: ) 由公式 给出, 其中 为声强 (单位: ). 某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪, 开展了 “不敢高声语, 恐惊读书人” 主题活动, 要求课下同学之间交流时, 每人的声强级不超过 . 现已知 3 位同学课间交流时, 每人的声强分别为 , 则这 3 人中达到班级要求的人数为（ ）
A.0 B.1 C. D. 3
10. 已知函数 是定义域为 的偶函数, 且 , 若 在 上是单调递减的, 那么 在 上是（ ）
A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先增后减 D. 先减后增
11. 筒车是我国古代发明的一种灌溉工具, 因其经济又环保, 至今还在农业生产中得到使用 (图 1), 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理 (图 2).
现有一个半径为 3 米的筒车按逆时针方向每分钟旋转 1 圈, 筒车的轴心距离水面的高度为 2 米, 设筒车上的某个盛水筒 到水面的距离为 (单位: 米) (在水面下则 为负数), 若以盛水筒 刚浮出水面为初始时刻, 经过 秒后, 下列命题正确的是（ ）(参考数据: )
①. , 其中 , 且
②. , 其中 , 且
③. 当 时, 盛水筒 再次进入水中
④. 当 时, 盛水筒 到达最高点
A. ①③
B. ②③
C. ②④
D. ①④
12. 地球环境科学亚欧合作组织在某地举办地球环境科学峰会, 为表彰为保护地球环境做出卓越贡献的地球科研卫士, 会议组织方特别制作了富有地球寓意的精美奖杯, 奖杯主体由一个铜球和一个三足托盘组成, 如图(1), 已知球的表面积为 , 底座由边长为 4 的正三角形铜片 沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得, 如图(2), 则下列 结论正确的个数是（ ）
(1). 直线 与平面 所成的角为
(2). 底座多面体 的体积为
(3). 平面 平面
(4). 球面上的点距离球托底面 的最小距离为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（每小题 4 分, 共 16 分）
13. 已知平面向量 , 若 , 则 .
14. 已知样本 方差 , 则样本 , 的方差为 .
15. 某海轮以 30 海里/时的速度航行, 在点 测得海面上油井 在南偏东 方向上, 向北航行 40 分钟后到达点 , 测得油井 在点 的南偏东 方向上, 海轮改为北偏东 的航向再行驶 80 分钟到达点 , 则 间的距离为 海里.
16. 六氟化硫是一种无机化合物, 化学式为 , 常温常压下为无色无臭无毒不燃的稳定气体, 密度约为空气密度的 5 倍, 是强电负性气体, 广泛用于超高压和特高压电力系统. 六氟化硫分子结构呈正八面体排布 (8 个面都是正三角形). 若此正八面体的表面积为 , 则该正八面体的内切球的体积为 .
三. 解答题（每小题 12 分, 共 48 分）
17. 在 中, 设角 的对边分别为 . 已知向量 , 且 .
(1) 求角 的大小;
(2) 若 , 求 的面积.
18. 已知函数 , 且函数图像中相邻两条对称轴间的距离 为 .
(1) 求 的值及函数 的单调递增区间;
(2) 当 时, 求函数 的最值, 并写出相应的自变量的取值.
19. 为了解市民对疫苗接种工作的满意度, 从本市居民中随机抽取若干居民进行评分 (满分 100 分), 根据调查数据制成表格和频率分布直方图 (如下图所示), 已知评分在 90,100 的居民有 300 人.
(1) 求频率分布直方图中 的值及所调查的总人数;
(2) 根据所给数据, 估计样本的中位数 (保留小数点后一位);
(3) 定义满意度指数 (满意程度的平均分) , 若 , 则疫苗接种工作需要进 行调整, 否则不需要调整, 根据所学知识判断该市疫苗接种工作是否需要进行调整
20. 如图, 在直角梯形 中, 为 的中点, 沿 将□ 折起, 使得点 到点 的位置, 且 为 的中点, 是 上的动点 (与点 不重合).
(1) 证明: 平面 平面 ;
(2) 是否存在点 , 使得二面角 的正切值为 若存在, 确定 点位置; 若不存在, 请说明理由.
