2022—2023学年人教版数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系导学案（含答案）

21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
【学习目标】
1．了解一元二次方程根与系数的关系。
2．经历从特殊到一般的探究过程，培养学生的归纳探究能力和推理论证能力。
【学习重难点】
1．一元二次方程根与系数的关系及简单运用。
2．一元二次方程根与系数的关系的推导。
【学习过程】
一、预习导学
自主预习教材，完成下列各题。
1．一元二次方程ax +bx+c=0（a≠0），在b2-4ac≥0的条件下，它的根为 ，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。
2．对于一元二次方程ax +bx+c=0（a≠0），当 时，方程有两个 的实数根；当 时，方程有两个 的实数根；当 时，方程 实数根。
二、探究展示
（一）合作探究
问题：我们已经知道，一元二次方程ax +bx+c=0（a≠0）的根的值由方程的系数a、b、c来决定，除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？
做一做：
（1）先解方程，再填表：
方 程 x1 x2 x1+ x2 x1x2
x -2x=0 0 2 2 0
x +3x -4=0
x -5x -6=0
由上表猜测：若x +bx+c=0的两个根为x1、x2，则x1+ x2= ，x1．x2= 。
（2）方程x -5x +6=0的两个根为x1= ， x2= ，则x -5x +6= ，当一元二次方程二次项的系数为1时，两根之和等于 ，两根之积等于 ，那么二次项的系数不为1时，两根之和，两根之积与系数的关系又是怎样的呢？
动脑筋：
对于方程ax +bx+c=0（a≠0），该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？
当△≥0时，设ax +bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，则
ax +bx+c=a(x - x1)(x – x2)
=a [x -(x1+ x2)x + x1x2]，
又 ax +bx+c=a(x +)
于是 x +=a [x 2-(x1+ x2)x + x1x2]，
因此 =-(x1+ x2)，= x1x2，
即 x1+ x2=-，x1x2=
归纳：当△≥0时，一元二次方程两根之和等于 ，两根的积等于 ，这个关系通常被称为韦达定理，是法国数学家韦达最早发现的。
（二）展示提升
1．根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1、x2的和与积：
（1）2 x -3x +1=0； （2）x -3x +2=10； （3）7 x -5= x+8；
2．已知关于x的方程x +3x +q=0的一个根为-3，求它的另一个根及q的值。
三、当堂检测
1．一元二次方程的两个根为，则的值为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．14
2．若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（ ）
A．7 B． C．6 D．
4．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
5．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．如果、是方程的两个根，那么__________，__________．
7．已知关于的一元二次方程x2-2x-3=0的两个实数根分别为、，则（+3）（+3）=____.
8．设是关于x的方程的两个根，且，则_______．
9．解下列一元二次方程：
（1）；
（2）；
（3）．
10．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
11．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若，求m的值．
参考答案：
D2．B3．B4．A5．C

8．2
9．（1），．（2），．（3），
10．（1）；（2）
11．(1)
(2)
试卷第1页，共3页
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