课题：§12.3.1 角平分线的性质（1）
课标要求
作一个角的平分线，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
教
学
目
标
知识技能
掌握画已知角的平分线的方法，掌握角平分线性质.
数学思考
了解角的平分线的性质在生活生产中的应用.
解决问题
在探索角的平分线的性质中培养几何直觉，提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.
情感态度
在探讨作角的平分线的方法及角平分线性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题成功体验，逐步培养学生的理性精神。
重点
角的平分线的性质的证明及运用
难点
角平分线的性质的探究
学情
分析
学生已学习了角平分线的概念和全等三角形的相关知识，并掌握了一定的尺规作图技能，由此可引出本节课的教学.
教法
操作演示、讨论探究
学法
动手操作、合作学习
教具
圆规、三角板
教学程序设计
教学
环节
教学内容
师生活动
设计意图
一、
感悟
作图
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
问题1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？
追问1：你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？
追问2：下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？
追问3：从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
追问4：你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？
学生可能用量角器、折纸的方法动手操作，然后回答问题.
学生分析并回答.
师启发学生建立数学模型，并用全等三角形的知识解释.
师生共同探究角平分线的作法.
学生用三角形全等进行证明，明确作图理论依据.
让学生运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理，体会数学的应用价值，同时从中获得启发，用尺规作角的平分线，增强作图技能，最后让学生在简单推理的过程中体会作法的合理性.
二、
发现
证明
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
问题2：利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？思考问题：
学生动手操作，独立思考，然后汇报自己的发
教学
环节
教学内容
师生活动
设计意图
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线OC，在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并作比较，你得到什么结论？在OC 上再取几个点试一试．通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
追问1：通过动手实验、观察比较，我们发现“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？
已知：∠AOC = ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．
求证：PD =PE．
追问2：由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
追问3：角的平分线的性质的作用是什么？
主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．
现，学生互相补充，师指导，共同概括出角平分线的性质.
师先引导学生分析命题的题设和结论，然后让学生画出图形并用符号语言写出已知求证，再独立完成证明过程.
师生共同概括证明几何命题的一般步骤.
学生回答，师强调.
让学生通过实验发现、分析概括、推理证明角的平分线的性质，体会研究几何问题的基本思路.以角的平分线的性质的证明为例，让学生概括证明几何命题的一般步骤，发展他们的归纳概括能力.而反思性质，可以让学生进一步体会到证明两条线段相等时利用角的平分线的性质比先证明两个三角形全等更简捷.
三、
应用
提高
解决简单问题，巩固角的平分线的性质
练习1：列结论一定成立的是 ．
（1）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分 别为OA，OB 上的点，则PD =PE．
（2）如图，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD =PE．
（3） 如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．
学生独立完成，并找学生板演练习2的证明，师个别指导，师生共同评价.
通过有梯度的训练，提高学生运用角的平分线的性质解决问题的能力。练习2又设计了开放性的问题，有利于提高学生综合运用条件推理的能力.
教学
环节
教学内容
师生活动
设计意图
练习2：如图，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB =FC．在此题的已知条件下，你还能得到哪些结论？
思考：如图，△ABC 的角平分线BM，CN 相交于点P．求证：点P到三边AB，BC，CA 的距离相等．
学生先独立思考，然后小组交流，派代表班级内交流，师适时点拨，并板演证明过程.
四、
体验
收获
谈谈你的收获和体会
师引导学生归纳总结.
旨在让学生学会归纳总结，梳理知识，并建立知识体系.
六、
实践
延伸
课后作业:
课本P51页习题12.3第4、5题
检测学生对本节知识的掌握情况.
附：板书设计
教学反思：
本课题设计思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，体现了数学学习的必然性。教学始终围绕着问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，从而激发了学生学习数学的欲望和兴趣，使教学目标顺利达成。整堂课都以学生操作、探究、合作贯穿始终，在教学过程中给学生的思考留有余地下足够的时间和空间，由学生自己去发现结论，学生在经历“将现实问题转化成数学问题”的过程中，对角平分线性质有了更深刻的认识，培养了学生动手、合作、概括能力，同时也提高了思维水平和应用数学知识解决实际问题的意识。
课题：§12.3.1 角平分线的性质（2）
课标要求
探索并证明角平分线的性质的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
教
学
目
标
知识技能
掌握角平分线性质的逆定理，并能利用这些方法解决简单的数学问题和实际问题．
数学思考
经历探究角平分线性质逆定理的过程，发展学生合情推理能力和演绎推理力．
解决问题
了解角平分线性质在生活、生产中的应用，进一步发展学生的推理证明意识和能力.
情感态度
结合实际，创造丰富的情境，提高学生的学习兴趣，让他们在活动中获得成功的体验，培养学生的探索精神，树立学习的信心.
重点
角平分线性质和判定的应用．
难点
运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题.
学情
分析
通过上节课的学习，学生已掌握角平分线的性质，本节是在此基础之上，并利用学生学习的全等的知识来探究角平分线性质定理的逆定理.
教法
演示、探究、讨论
学法
动手操作、合作学习
教具
圆规、三角板
教学程序设计
教学
环节
教学内容
师生活动
设计意图
一、
情境
引入
引入：
问题1：如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条高速公路的距离相等，离两条公路交叉处500 m，请你帮忙设计一下，这个广告牌P 应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
师出示情境问题同，学生思考，师板书课题.
通过情境问题的引入，吸引学生的兴趣，使学近快融入到学习中来.
情境问题改编于课本P49页思考，将其放入城市立交桥情境中，与学生的生活给合更密切，更易吸引学生的注意力.
二、
探索
发现
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
问题2：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
追问1：你能证明这个结论的正确性吗？
追问2：这个结论与角的平分线的性质在应用上有什么不同？
强调：这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等．
学生思考，并分析题设与结论，然后进行命题证明.小组交流，班内汇报，师生共同评价.
通过问题2及其两个追问，让学生了解角平分线的性质的逆定理，并对其进行证明，并理解这一定理用来解决什么的问题，提高学生的应用意识.
教学
环节
教学内容
师生活动
设计意图
三、
应用
提高
应用角平分线性质定理的逆定理
1．判断题：
（1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；
（2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的平分线；
（3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm， 且Q 到OB 距离等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．
2．在问题1中，在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路的距离相等．
（1）这个广告牌P 应建于何处？这样的广告牌可建多少个？
（2） 若这个广告牌P 离两条公路交叉处500 m（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000），这个广告牌应建于何处？
（3）如图，点P是△ABC的两条角平分线BM，CN 的交点， 点P 在∠BAC的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
问题3：如图，要在S 区建一个广告牌P，使它到两条公路和一条铁路的距离都相等．这个广告牌P 应建在何处？
学生独立完成，师个别指导，师生共同评价.
通过有梯度的训练，提高学生运用角的平分线的性质的逆定理解决问题的能力。并通过对情境问题的再回顾，体会数学知识源于生活，又应用于生活来解决实际问题同，并通过设计一系列变式问题，来提高学生综合运用条件推理的能力.
变式1：如图，△ABC 的一个外角的平分线BM 与∠BAC的平分线 AN 相交于点P，求证：点 P 在△ABC另一个外角的平分线上．
变式1图 变式2图
变式2：如图，P 点是△ABC 的两个外角平分线 BM，CN 的交点，求证：点 P 在∠BAC 的平分线上．
变式3：如图，将问题3中“S 区”去掉，广告牌P到两条公路和一条铁路的距离相等．这个广告牌P 应建在何处？
四、
巩固
练习
课堂练习
课本P51页习题12.3第4、5题
学生练习后全班交流，师讲评.
对学习本节课所学知识进行巩固应用.
五、
体验
收获
谈谈你的收获和体会
师引导学生归纳总结.
旨在让学生学会归纳总结，梳理知识，提高认识.
六、
实践
延伸
课后作业:
课本P51页习题12.3第3、7题
检测学生对本节知识的掌握情况.
附：板书设计
教学反思：
角平分线性质是学生在已经学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识，并在全等三角形的基础上引出的，并进一步引导学生学习推理论证的方法．同时角平分线性质也是研究图形的重要工具，学生只有掌握好这部分的内容，并能灵活地运用它们，才能学好四边形、圆等内容．在学习这部分的时候重点注意培养学生的推理能力，同时注重联系实际充分调动学生学习的积极性和热情．在本节教学中按知识发展与学生认知为顺序，设计教学流程：先出示情境问题然后通过角平分线的性质引出其逆定理，并通过变式训练，激活学生思维，培养学生的应用意识，而整节课上，大多数学生都参与到活动中去，投入到学习中来，使学习的过程充满快乐和成功的体验，促使学生自主学习，勤于思考和勇于探究，形成良好的学习品质．
