高考中的统计、导数[下学期]


一、江苏卷近几年，高考对统计、导数部分的考查内容及考试要求：
统计部分
导数部分
考
试
内
容
*抽样方法．总体分布的估计．
总体期望值和方差的估计．
导数的背景．
导数的概念．
*多项式函数的导数．
*利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．
考
试
要
求
（1）了解随机抽样，了解分层抽机关报意义，会对简单实际问题进行抽样．
（2）会用样本频率分布估计总体分布．
（3）会用样本平均数估计总体期望，会用样本的方差估计总体方差．
（1）了解导数概念的实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数(x∈N*)的导数公式．会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求最大值和最小值的方法，解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题．
二、2002年~2005年高考数学试卷中涉及的典型的统计导数问题：
时间
类别
题号
考查内容
涉及的方法、技能
2002年
新课程（理）
8
二次函数单调性，充要条件
利用导数处理单调性问题
新课程（理）
20
涉及切线问题
应用导数几何意义处理相切问题
天津-文
15
平均值，方差的计算
平均值，方差的计算及其应用
2003年
江苏卷*
天津-理7*
8
涉及相切问题
应用导数几何意义处理相切问题
江苏卷
天津-理-文
辽宁
14
分层抽样中样本个数的计算
分层抽样概念的应用及基本运算
江苏卷
21
导数、不等式证明
综合运用导数及其相关数学知识解决问题的能力
天津-理
19
导数的概念及其运算、导数的应用
导数的概念，基本运算，利用导数研究函数性质，运算能力
天津-理
辽宁
20
离散型随机变量分布列，数学期望等
运用概率知识解决实际问题的能力
天津-文
18
涉及相切问题
综合运用导数知识处理相切问题
2004年
江苏卷
6
利用条形图，计算平均时间
读图、识图
江苏卷
10
闭区间上的最大、最小值问题
利用导数求极值、最值
湖南-理-文6
5
抽样方法
应用概念判断抽样方法的类型
湖南-理
14
随机变量的数学期望
数学期望的求法
湖南-文
9
绘制给定条件的导函数图象
导数的基本运算
四川-理
13
随机变量的概率分布列
对概率分布列的理解
浙江-理
11
函数及其导函数的图象
识图，绘图的能力
浙江-理
18
随机变量的数学期望
随机变量的数学期望
数学期望的求法
北京-春季-理-文
10
平均值问题
求平均值
湖南-文
13
涉及相切及切线方程
导数的几何意义的理解应用
天津-理
18
离散型随机变量分布列，数学期望等
运用概率知识解决实际问题的能力
天津-理
20
函数及其极值
运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力
天津-文
21
函数的单调性，奇偶性
考查运用导数研究函数单调性及极值等基础方法，考查综合分析和解决问题的能力
广东卷
19
导数相切问题
利用导数知识处理相切问题
广东卷
21
导数，单调性问题
运用导数解决单调性问题
湖南-理
20
导数及函数的单调性问题，函数的最值问题
运用导数处理函数的单调性问题及其函数在给定区间上的最值问题
湖南-文
21
导数函数的单调性问题
运用导数处理函数的单调性问题
浙江-理
18
离散型随机变量的概率分布列，数学期望
运用概率知识处理离散型随机变量的概率分布列，数学期望
浙江-理
20
导数与相切问题，函数的最值问题
运用导数知识处理相切问题及函数的最值问题
2005年
江苏卷
7
求平均数和方差
平均值，方差的计算及其应用
江苏卷
14
涉及相切及切线方程
求曲线在某点处的切线方程
江苏卷
22
利用导数研究函数性质
利用导数求函数的单调区间，进而求函数的最值，时考查了分类讨论转化化归的数学思想，以及相关分析推理、计算等方面的能力。
天津卷（理）
10
利用导数求最值
结合对数函数，利用恒成立问题考察导数的应用
全国卷（1）文
4
已知极值求参数的值
极值的简单应用
广东卷
3
求函数的单调区间
导数的简单应用
全国卷（3）文
15
求切线方程
求已知曲线在已知点处的切线方程，导数的简单应用
北京卷（文）
19
求单调区间和最值
求已知函数的单调区间，并求闭区间上的函数最值，考察简单的计算能力
福建卷（文）
20
切线方程和单调区间
已知函数在一点处的切线方程，求函数解析式，并求单调区间
三、2002年~2005年高考数学试卷中涉及的相关题目及其解答：
（一）、选择题：
（2002新课程-理）8．函数是单调函数的充要条件是（A）
　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2003江苏卷 2003天津卷-理7）（8）设，曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为到曲线对称轴距离的取值范围为 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
（05年江苏卷）7.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：
9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为
（A）9.4, 0.484 （B）9.4, 0.016 （C）9.5, 0.04 （D）9.5, 0.016
.答案:D
[评述]:本题考查了统计数据中平均数、方差有关概念、公式及有关计算等。
[解析]：7个数据中去掉一个最高分和一个最低分后，余下的5个数为：
9.4, 9.4, 9.6, 9.4, 9.5
则平均数为：，即。
方差为：
即 ， 故选D.
（05年湖北卷）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；
关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ D ）
A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样
（2004北京-春季-理-文）10. 期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M:N为（ B ）
A. B. 1 C. D. 2
（2004 江苏卷）6.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( B )
(A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时
（2004 江苏卷）10.函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( C )
(A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-19
（05年江西卷）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a, b的值分别为（ A ）
A．0,27,78 B．0,27,83
C．2.7,78 D．2.7,83
（2004 湖南-理 文6）(5)某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①：在丙地区中有20个特大型销焦点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是(B)
（A）分层抽样，系统抽样法 （B）分层抽样法，简单随机抽样法
（C）系统抽样法，分层抽样法 （D）简随机抽样法，分层抽样法
(05年湖南) 14.一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲．乙．丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲．乙．丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了5600件产品.
（05年山东）（13）某学校共有教师490人，其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人。为了了解普通话在该校中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数为__50____。
（2004 湖南-文）（9）若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f＇(x)的图象是 （A）
（2004 四川-文）3.曲线y＝x3－3x2＋1在点(1,－1)处的切线方程为
A.y＝3x－4　　B.y＝－3x＋2　　C.y＝－4x＋3　　D.y＝4x－5
（2004 浙江-理）11、设f '(x)是函数f(x)的导函数，y=f '(x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是
（二）、填空题：
（2002年天津-文科卷）(15)甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t / hm2）
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
其中产量比较稳定的小麦品种是 甲 。
提示：甲 = ( 9.8 + 9.9 + 10.1 + 10 + 10.2) = 10.0，乙 = ( 9.4 + 10.3 + 10.8 + 9.7 + 9.8) = 10.0；
s = ( 9.82 + … + 10.22) – 102 = 0.02，s = ( 9.42 + … + 9.82) – 102 = 0.244 > 0.02 。
（2003江苏卷）（2003天津卷-理-文）（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆。为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 6， 30， 10 辆。
（2004天津-理）(13)某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5。现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中A种型号产品有16件。那么此样本的容量n= 80 。
评注：
1、三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽取的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性。若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种方法抽样时，每一个个体被抽到的概率都是。
2、三种抽样方法的各自特点、适用范围、相互联系及共同点如下表：
类 别
共 同 点
各 自 特 点
相 互 联 系
适 用 范 围
简单随机抽样
抽样过程中每个个体被抽取的概率相等
从总体中逐个抽取
总体中的个体数较少
系统抽样
将总体均分成几个部分，然后按照事先确定的规则在各部分抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
总体中的个体数较多
分层抽样
将总体分成几层，分层进行抽取
各层抽样时采用简单随机抽样
总体由差异明显的几部分组成
（2004 湖南-理）(14)同时抛掷两枚相同的均匀硬币,随机变量ξ=1表示结果中有正面向上, ξ=0表示结果中没有正面向上,则Eξ= 0.75
（2004 湖南-文）（13）过点P（-1，2）且与曲线y=3x2-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是 2x-y+4=0
（2004 四川-理）13、从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2 个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布列为
ξ
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
(05年江苏卷)14.曲线在点（1,3）处的切线方程是 .
答案：4x-y-1=0
[评述]：本题考查了一阶导数的几何意义，由线y=f(x)在点P（x0,y0）处的一阶导数值为曲线y=f(x)在点P处切线的斜率，同时考查了直线方程的求法。
[解析]：由题意得
即曲线y=x3+x+1在点（1，3）处切线的斜率K=4，所以切线方程为：
y-3=4(x-1),即4x-y-1=0.
（三）、解答题：
（2002新课程-理）20．（本题满分12分）已知，函数。设，记曲线在点处的切线为。
（1）求的方程；
（2）设与轴交点为。证明：
（ⅰ）；　　　　　（ⅱ）若则。（解略）
（2003江苏卷）（21）（本小题满分12分）
已知为正整数。
（Ⅰ）设，证明；
（Ⅱ）设，对任意，证明。
（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分.
证明：（Ⅰ）因为，
所以
（Ⅱ）对函数求导数:
∴

即对任意
（2003天津卷-理）（19）（本小题满分12分）
设，求函数的单调区间．
19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 满分12分.
解：.
当时 .
（i）当时，对所有，有.
即，此时在内单调递增.
（ii）当时，对，有，
即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，
函数在（0，+）内单调递增
（iii）当时，令，即.
解得.
因此，函数在区间内单调递增，在区间
内也单调递增.
令，
解得.
因此，函数在区间内单调递减.
（2003天津卷-理，辽宁卷）（20）（本小题满分12分）
A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
对阵队员
A队队员胜的概率
A队队员负的概率
A1对B1
A2对B2
A3对B3
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为．（Ⅰ）求的概率分布；（Ⅱ）求．
20．本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力（满分12分）.
解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.
， ，
， ，
根据题意知ξ+η=3，所以 P(η=0)=P(ξ=3)=, P(η=1)=P(ξ=2)=
P(η=2)=P(ξ=1)= , P(η=3)=P(ξ=0)= .
（2）； 因为ξ+η=3，所以
（2003天津卷-文）18．（本小题满分12分）
已知抛物线C1：y=x2+2x和C：y=－x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段.
（Ⅰ）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；
（Ⅱ）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.
评注：本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力，满分12分。
（Ⅰ）解：函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P（x1,x+2x1）的切线方程是： y－(x+2x1)=(2x1+2)(x－x1),即 y=(2x1+2)x－x ①
函数y=－x2+a的导数y′=－2x, 曲线C2 在点Q（x2,－x+a）的切线方程是
即y－(－x+a)=－2x2(x－x2). y=－2x2x+x+a . ②
如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程，
x1+1=－x2
所以
－ x=x+a.
消去x2得方程 2x+2x2+1+a=0.
若判别式△=4－4×2（1+a）=0时，即a=－时解得x1=－，此时点P与Q重合.
即当a=－时C1和C2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为 y=x－ .
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.当a<－时C1和C2有两条公切线
设一条公切线上切点为：P（x1,y1）, Q（x2 , y2 ）.
其中P在C1上，Q在C2上，则有
x1+x2=－1,
y1+y2=x+2x1+(－x+a)= x+2x1－(x1+1)2+a=－1+a .
线段PQ的中点为
同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是
所以公切线段PQ和P′Q′互相平分.
（2004 天津卷-理）18．（本小题满分12分）
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。设随机变量表示所选3人中女生的人数。
(I) 求的分布列；
(II) 求的数学期望；
(III) 求“所选3人中女生人数”的概率。
(18)本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。
(I)解：可能取的值为。
0
1
2
P
所以，的分布列为



(II)解：由(I)，的数学期望为

(II)解：由(I)，“所选3人中女生人数”的概率为

（2004 天津卷-理）20．（本小题满分12分）
已知函数在处取得极值。
(I)讨论和是函数的极大值还是极小值；
(II)过点作曲线的切线，求此切线方程。
评注：本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力。满分12分。
(I)解：依题意，即
解得
令 得
若 则，故
在上是增函数，
在上是增函数。
若 则，故
在上是减函数。
所以，是极大值；是极小值。
(II)解：曲线方程为点不在曲线上。
设切点为则点M的坐标满足

因故切线的方程为

注意到点在切线上，有

化简得解得
所以，切点为切线方程为

（2004 天津卷-文）21．（本小题满分12分）
已知函数是R上的奇函数，当时取得极值。
(I)求的单调区间和极大值；
(II)证明对任意不等式恒成立。
评注：本小题主要考查函数的单调性及奇偶性，考查运用导数研究函数单调性及极值等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力。满分12分。
(I) 解：由奇函数定义，应有。
即
因此，

由条件 为的极值，必有故

解得
因此，
当 时，，故在单调区间上是增函数。
当 时，，故在单调区间上是减函数。
当 时，，故在单调区间上是增函数。
所以，在处取得极大值，极大值为
(II)解：由(I)知，是减函数，且
在上的最大值
在上的最小值
所以，对任意恒有

（2004 广东卷）本小题12分19、设函数
(I)证明：当且时，
(II)点（0证明：（I）
故f(x)在（0，1上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0故
（II）0曲线y=f(x)在点P（x0，y0）处的切线方程为：
∴切线与x轴、y轴正向的交点为
故所求三角形面积听表达式为：
（2004 广东卷）21、本小题12分
设函数，其中常数为整数
(I)当为何值时，
(II)定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得
试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根
（I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续，且
当x∈(-m,1-m)时,f ’（x）<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m)
当x∈(1-m, +∞)时,f ’（x）>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m)
根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且
对x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m
故当整数m≤1时，f(x) ≥1-m≥0
(II)证明：由（I）知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,
函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续减函数.
由所给定理知，存在唯一的
而当整数m>1时，
类似地，当整数m>1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的
故当m>1时，方程f(x)=0在内有两个实根。
（2004 湖南-理）(20)(本小题满分12分)
已知函数其中a≤0,e为自然对数的底数.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,1]上的最大值.
解 (Ⅰ)
（）当a=0时，令=0, 得x=0.
若x>0. 则>0,从而f(x)在(0,+∞)上单调递增;
若x<0,则<0,从而f(x)在(--∞,0)上单调递减.
(当a<0时,令=0,得x(ax+2)=0,故x=0或
若x<0,则<0,从而f(x)在(--∞,0)上单调递减.
若00.从而f(x)在(0, )上单调递增;
若x> 则<0.从而f(x)在(+∞)上单调递减.
(Ⅱ) (当a=0时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=1.
(当时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(1)=.
当a≤-2时, f(x)在区间[0,1]上的最大值是.
（2004 湖南-文）(21)（本小题满分12分）
如图，已知曲线C1：y=x3(x≥0)与曲线C2:y=-2x3+3x(x≥0)交于点O、A.直线x=t(0（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t)；
（Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t)的最大值.
解：（Ⅰ）由y=-2x3+3x，y=x3得交点O、A的坐标分别是（0，0），（1，1）.
f(t)=S△ABD+S△OBD=|BD|·|1-0|=|BD|=(-3t3+3t)，
即f(t)=-(t3-t)，(0（Ⅱ）f＇(t)=-t2+.
令f＇(t)=0 解得t=.
当00，从而f(t)在区间（0，）上是增函数；
当所以当t=时，f(t)有最大值为f()=.
浙江-理）18、(本题满分12分)盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个。第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同），记第一次与第二次取到球的标号之和为(。（1）求随机变量(的分布列；（2）求随机变量(的期望E(。
解: (Ⅰ)由题意可得,随机变量ε的取值是2、3、4、6、7、10。
随机变量ε的概率分布列如下
ε
2
3
4
6
7
10
P
0.09
0.24
0.16
0.18
0.24
0.09
随机变量ε的数学期望
Eε=2×0.09+3×0.24+4×0.13+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.
（2004 浙江-理）20、设曲线y=e(x(x≥0)在点M(t,e(t}处的切线l与x轴、y轴围成的三角形面积为S(t).(1)求切线l的方程；(2)求S(t)的最大值。
解：（Ⅰ）因为 所以切线的斜率为
故切线的方程为即。
（Ⅱ）令y=0得x=t+1, 又令x=0得
所以S（t）==
从而
∵当（0，1）时，>0, 当（1,+∞）时,<0,
所以S(t)的最大值为S(1)=2
（05年江苏卷）22. （本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）
已知函数
（Ⅰ）当a=2时，求使f（x）＝x成立的x的集合；
（Ⅱ）求函数y＝f (x)在区间[1,2]上的最小值.
分析]:本题是一道函数与导数综合运用问题,第一问对x进行讨论,得出方程,进而求出x的值;第二问对a进行讨论,结合函数的一阶导数值判断函数在区间上的单调性,进而求出函数的最小值.
[解答]:
(Ⅰ)由题意,f(x)=x2
当x<2时,f(x)=x2(2-x)=x,解得x=0,或x=1;
当x
综上所述,所求解集为.
(Ⅱ)设此最小值为m.
①当
因为:
则f(x)是区间[1,2]上的增函数,所以m=f(1)=1-a..
②当1③当a>2时，在区间[1，2]上，

若在区间(1，2)内f/(x)>0,从而f(x)为区间[1，2]上的增函数，
由此得：m=f(1)=a-1.
若2 当
当
因此，当2 当;
当
综上所述，所求函数的最小值
四、导数问题的复习指导：
重点难点导析： 　　1．函数f(x)在区间 (a,b) 内是单调递增或递减函数的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。 　　2．函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。f'(x0)=0仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件，点x0是f (x)的极值点，当且仅当在x0的左右f ' (x)的符号相反。 　　3．函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。 　　4．在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f(x),并注明其定义域，当f '(x)=0在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数f(x)的最值点。
5．掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题．
在生产建设和科学技术中，要求“用料最省”，“体积最大”，“效率最高”等问题时，往往可以归纳为求函数的最大值和最小值的问题．
　　由导数来求最值问题的方法可知，解这类实际问题需先建立函数关系，再求极值点，确定最值点及最值．在设变量时可采用直接法也可采用间接法．
导数的应用：
单调性问题
例1．若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0) 满足条件f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0x1>0, x2-x1>0, ∴ a>0, 　　又∵ x1+x2>0, ∴ b=-a(x1+x2)<0, 故实数b的取值范围是(-∞,0)。
最（极）值问题
例2．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，求a,b的值。 　　解：f ' (x)=3x2+2ax+b=0有一个根x=1, 　　故3+2a+b=0.....(1) 　　又f(1)=10, 故1+a+b+a2=10.....(2) 　　联立(1),(2)，消去b得，a2-a-12=0。 　　由此可得　　当a=-3，b=3时，f ' (x)=3(x-1)2≥0，这时f(x)在x=1处无极值，不合题意。 　　当a=4, b=-11时，f ' (x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1)，时，f ' (x)<0, x>1时，f ' (x)>0。 　　这时x=1是极小值点， 故a=4, b=-11。 例3．求函数f(x)=3x-x3在闭区间的最大值和最小值。 　　解析：f ' (x)=3-3x2, 令f ' (x)=0，则x1=-1，x2=1。　　则f(-1)=-2, f(1)=2，又,
∴ [f(x)]max=2, [f(x)]min=-18。例4．如右图所示，在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成图形中有个内接矩形ABCD，求 这个矩形面积的最大值。 　解析：设点B的坐标为(x,0)且0相切问题
例5．若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线，试求a的值。 　　解：设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点P(x0, y0)，由y=ax3得，y ' =3ax2，所以 　　，由(1),(2)得。 由(3)得，将它代入上式可得3x0+1=x0, 　　∴ , ∴ , ∴ a=4。 例6．已知二次函数f(x)的图象过点(-1,0)，且不等式对一切实数x都成立，求函数f(x)解析式。 　　解：设函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0)。 　　∵ 函数f(x)的图象过点(-1, 0), 　　∴ a-b+c=0........(1), ∵ , 　　∴ ,　 　　∴ f(1)=1。 　　∴ a+b+c=1......(2) 　　由(1),(2)可得，，从而。 　　　　故直线y1=x与y2=f(x)，相切于同一点（1，1）。 　　∵ , 而f '(1)=1, 即， 　　∴ ，故。
例7、（1）在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；
（2）一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s=3t2+t，求t=2时的瞬时速度。
解析：（1）
当x0=-1时，k有最小值3，此时P的坐标为（-1，-14）
故所求切线的方程为3x-y-11=0
（2）=6t+1，当t=2时，=13，∴ 当t=2时，质点的瞬时速度为13
点拨：1、导数的几何意义：就是曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线斜率，
即=k切线。
评注：瞬时速度是路程s对时间t的导数，即v=。
应用问题
例 8．用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。 　　解：设容器底面短边为xm，则另一边长为(x+0.5)m, 高为。 　　由3.2-2x>0且x>0，得00；当x∈(1,1.6)时，y ' <0。 　　∴ 函数y=-2x3+2.2x2+1.6x在(0,1)上单调递增，在[1，1.6]上单调递减。 　　因此，当x=1时，ymax=-2+2.2+1.6=1.8，这时，高为3.2-2×1=1.2。 　　故容器的高为1.2m时容器最大，最大容积为1.8m3。五、练习题：
1、在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性是 （C）
（A）与第几次抽样有关，第一次抽的可能性最大。
（B）与第几次抽样有关，第一次抽的可能性最小。
（C）与第几次抽样无关，每次抽到的可能性相等。
（D）与第几次抽样无关，与抽取几个样本有关。
2、一个年级有12个班，每个班有50名学生，随机编为1～50号，为了了解他们在课外的兴趣爱好要求每班是40号学生留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（D）
（A）分层抽样 （B）抽签法 （C）随机数表法 （D）系统抽样法
3、为了抽查某城市汽车尾气排放执行标准情况，在该城市的主干道上采取抽取车牌末位数字为5 的汽车检查，这种抽样方法称为 （C）
（A）简单随机抽样 （B）随机数表法
（C）系统抽样法 （D）分层抽样法
4、设15000件产品中有1000件废品，从中抽取150件进行检查，查得废品的数学期望为 （B）
（A）20 （B）10 （C）5 （D）15
5、抛物线y=在横坐标为x=4的点处的切线方程为（ C ）
（A）4x-y-18=0 (B)x+4y+4=0 (C)x-4y+4=0 (D)4x+y-18=0
6、一物体的运动方程为，则物体在t=2时的速度为（D）

7、则a的值为（A）
8、某人有资金10万元，准备用于投资经营甲，乙两种商品，根据统计资料：
经营甲 经营乙
获利（万元）
2
3
-1
概率
0.4
0.3
0.3
获利（万元）
1
4
-2
概率
0.6
0.2
0.2
那么，他应该选择经营 甲 种商品。
9、要检查某厂的产品合格率，检查人员从1000件产品中任意抽取了50件，问这种抽样的方法是 简单随机抽样法 。
10、若样本a1，a2，a3的方差是2，则样本2a1+3，2a2+3，2a3+3的方差是 8 。
11、甲、乙两种棉花，各抽取50根棉花纤维检验长度，样本方差分别是s甲=1.32，s乙=0.93，这两种棉花质量较好的是 乙 。
12、甲、乙两学生连续五次数学测验成绩如下，甲：80、75、80、90、70；乙：70、70、75、80、65。则可以认为 乙 的数学成绩比较稳定。
13、某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出两件，其中次品数的概率分布是：
ζ
0
1
2
P
0.9025
0.095
0.0025


14、若样本a1，a2，a3的方差是2，则样本2a1，2a2，2a3的方差是 8 。
15、某公司有三个部门，第一个部门800个员工，第二个部门604个员工，第三个部门500个员工，现在用按部门分层抽样的方法抽取一个容量为380名员工的样本，求应该删除几个人，每个部门应该抽取多少名员工？
略解：4，160，120，100
16、某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试的成绩情况如下表：
统计量
组别
平均
标准差
第一组
90
6
第二组
80
4
求全班的平均成绩和标准差。
略解：平均为85，
17、对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：
　　甲：27，38，30，37，35，31；
　　乙：33，29，38，34，28，36。
　　根据以上数据，试判断他们谁更优秀。
　　分析:根据统计知识可知，需要计算两组数据的与，然后加以比较，最后再作出判断。
　　解: ，
　　
；
　　，
　　
　　∴，，
　　由此可以说明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀。
　　说明：与作为总体方差的两个估计量，当样品容量不是很大时，更接近，故在实际运用时，我们常用去估计，但当容量较大时，与则没有什么差别。
18．设曲线在它们交点处的两切线的夹角为α，求tanα
解：由，解得两曲线的交点为（1,1）。设两曲线在交点处的切线斜率分别为，则
由两直线的夹角公式得tanα=
19．函数y=4x2(x-2), x∈[-2，2]的最小值是 –64 。 20．一个外直径为10cm的球，球壳厚度为，则球壳体积的近似值为 19.63cm3 。 21．函数f(x)=x4-5x2+4的极大值是 4 ，极小值是 。 22．做一个容积为256升的方底无盖水箱，问高为多少时最省材料？ 略解：设高为h，底边长为a，则所用材料为S=a2+4ah,
而a2h=256，a∈(0,+∞), 　　∴ , a∈(0,+∞), 　令S'(a)=, ∴ a=8。显然当08时，S'(a)>0，因此当a=8时，S最小，此时h=4。
溧阳市埭头中学
高三数学备课组
2005-11-8