安徽省六校教育研究会2022-2023学年高一上学期8月入学考试数学试题（Word版+解析版）

安徽省六校教育研究会2022-2023学年高一上学期8月入学考试
数学试题卷
考试范围：初中；满分100分，考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一 单选题（共10小题，每题3分）
1. PM2.5是指大气中直径小于或等于的颗粒物，含有大量有毒 有害物质，也称可入肺颗粒物，将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱柱
3. 某药店在今年6月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元.已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在对一组样本数据进行分析时，小凡列出了方差的计算公式：，根据公式不能得到的是（ ）
A. 众数是6 B. 平均数是8 C. 方差是6 D. 中位数是8
5. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，都在格点处，与相交于点，则的值为（ ）
A B. C. D.
6. 已知1和3是关于的方程的两个根，且关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ）
A. 1或 B. 或 C. 或 D. 1或
7. 如图，大矩形分割成五个小矩形，④号 ⑤号均为正方形，其中⑤号正方形边长为1.若②号矩形的长与宽的差为2，则知道哪个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积（ ）
A. ①或③ B. ② C. ④ D. 以上选项都可以
8. 如图①，点从顶点出发，沿匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中是曲线部分的最低点，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知三个实数满足，则（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 如图，将一直角三角形纸片的直角边折叠，折痕为与上重合，裁去，已知，在上任取一点，将沿翻折，得到，与重叠部分记为.当为直角三角形时，长可以为多少？①；②；③；④.以上答案正确的有（ ）
A. ①③ B. ①② C. ①②④ D. ①②③
第II卷（非选择题）
二 填空题（共4题，每题3分）
11. 因式分解：__________.
12. 阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的倍.
用公式可描述：，，，
现已知中，，，，则__________.
13. 如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形.第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点......按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是__________.
14. 函数的图象由拋物线的一部分和一条射线组成，且与直线为常数）相交于三个不同的点设，则的取值范围是__________.
三 解答题
15. 计算：.
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，B，C.
（1）画出将向左平移5个单位得到的；
（2）画出将绕原点顺时针旋转得到的.
17. 观察下列关于自然数的等式：
（1）①
（2）②
（3）③
根据上述规律解决下列问题：
（1）写出第4个等式：____________________；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明其正确性.
18. 为了让乘客有良好的候车环境，某市在公交站牌旁投放大量的候车亭（如图①），其结构示意图的侧面如图②所示，其中支柱的长为，且支柱垂直于地面，顶棚横梁长为为镶接柱，镶接柱与支柱的夹角，与顶棚横梁的夹角，要求横梁一端点在支柱的延长线上，此时测量得镶接点与点的距离为.根据以上测量数据，求点到地面的距离.（结果精确到，参考数据：.）
19. 某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理.已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元.
（1）求该车间的日废水处理量m；
（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.
20. 如图，在中，，以为直径作交于点.过点作，垂足为，且交的延长线于点.
（1）求证：是的切线；
（2）已知，，求的长.
21. 某校为了解学生每月零用钱情况，从七 八 九年级1200名学生中随机抽取部分学生，对他们今年4月份的零用钱支出情况进行调查统计并绘制成如下统计图请根据图表中所给的信息，解答下列问题：
组别 零用钱支出（单位：元） 频数（人） 频率
节俭型 2
4
富足型 12
奢侈型
2
（1）在这次调查中共随机抽取了名学生__________，图表中的__________，__________；
（2）请估计该校今年4月份零用钱支出在“范围的学生人数；
（3）在抽样的“节俭型”学生中，有2位男生和4位女生，校团委计划从中随机抽取两人参与“映山红”的公益活动，求恰好抽中一男一女的概率.
22. 如图，抛物线与直线交于两点，交轴于两点，连接，已知.
（1）求拋物线对应函数解析式和的值；
（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？
23. （1）如图1，在和中，，，连接交于点.
①的值为__________；
②的度数为__________；
（2）如图2，在和中，，连接交的延长线于点.计算的值及的度数；
（3）在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，所在直线交于点，若，求当点与点重合时的长.
安徽省六校教育研究会2022-2023学年高一上学期8月入学考试
数学试题卷 解析版
考试范围：初中；满分100分，考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一 单选题（共10小题，每题3分）
1. PM2.5是指大气中直径小于或等于的颗粒物，含有大量有毒 有害物质，也称可入肺颗粒物，将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据科学记数法的规则，结合题意，即可求解.
【详解】根据科学记数法的规则，可得用科学记数法表示为.
故选：D.
2. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱柱
【答案】B
【解析】
【分析】由图可知，该几何体是圆柱.
【详解】解：将展开图还原后，可得到一个圆柱，
故选：B.
3. 某药店在今年6月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元.已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是元，则购进口罩的单价是元，利用数量总价单价，结合购进两种口罩的只数相同，即可得出关于的分式方程．
【详解】解：设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是元，则购进口罩的单价是元，
依题意可得.
故选：B．
4. 在对一组样本数据进行分析时，小凡列出了方差的计算公式：，根据公式不能得到的是（ ）
A. 众数是6 B. 平均数是8 C. 方差是6 D. 中位数是8
【答案】C
【解析】
【分析】由公式得到样本数据为，即可得样本的数据特征，判断各项正误.
【详解】由公式知：样本数据为，
所以众数为6，平均数为，
方差为，中位数为8.
故选：C
5. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，都在格点处，与相交于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把向上平移一个单位到，连接，则，由勾股定理逆定理可以证明为直角三角形，所以即可得答案．
【详解】解：设每个小正方形的边长为1，
把向上平移一个单位到，连接，如图，
则，
．
在中，有，，，
，
故为直角三角形，，
．
故选：B．
6. 已知1和3是关于的方程的两个根，且关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是（ ）
A. 1或 B. 或 C. 或 D. 1或
【答案】D
【解析】
【分析】根据韦达定理得到，由根的判别式得到，解出或
【详解】整理为，
所以，，
即，
又因为有两个相等的实数根，
所以，
整理为，解得：或
故选：D
7. 如图，大矩形分割成五个小矩形，④号 ⑤号均为正方形，其中⑤号正方形边长为1.若②号矩形的长与宽的差为2，则知道哪个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积（ ）
A. ①或③ B. ② C. ④ D. 以上选项都可以
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，可以设②号小矩形的宽为，④号正方形边长为，然后即可表示出其它的小矩形的长和宽，从而本题得以解决．
详解】解：设②号小矩形的宽为，④号正方形边长为，则②号小矩形的长为，
⑤号正方形边长为1，
①号小矩形的宽为，长为，
③号小矩形的宽为，长为，大矩形的长为，宽为，
①号小矩形的周长为，
③号小矩形的周长为，
大矩形的面积为，
要算出这个大矩形的面积只需要知道的值即可，
知道①或③号小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积
故选：A．
8. 如图①，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图②是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中是曲线部分的最低点，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分析可知，且当点为的中点时，，利用勾股定理求出的长，利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】由图②可知，，当点为的中点时，，如下图所示：
则，，.
故选：D.
9. 已知三个实数满足，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】由代入整理可得，利用完全平方公式及其非负性，结合判断的大小.
【详解】由题设，，则，即，
又，则，
而.
故选：A
10. 如图，将一直角三角形纸片的直角边折叠，折痕为与上重合，裁去，已知，在上任取一点，将沿翻折，得到，与重叠部分记为.当为直角三角形时，长可以为多少？①；②；③；④.以上答案正确的有（ ）
A. ①③ B. ①② C. ①②④ D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分都与点重合和及，三种情况讨论，即可求解.
【详解】由题意，在中，，
可得，
如图（1）所示，都与点重合，可得，
如图（2）所示，，因为，所以为的中点，所以，
如图（3）所示，，则，
所以，所以为的中点，
过点作的垂线段，可得，
所以，
所以的长可以为.
故选：C.
第II卷（非选择题）
二 填空题（共4题，每题3分）
11. 因式分解：__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据因式分解法则，进行分解.
【详解】解：，
故答案为：
12. 阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的倍.
用公式可描述为：，，，
现已知中，，，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理可求得的长.
【详解】由题意可知.
故答案为：.
13. 如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形.第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点......按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是__________.
【答案】301
【解析】
【分析】根据图形找出规律，得出第n个图形为，代入100计算即可.
【详解】解：第1幅图形中一共有个圆点，
第2幅图形中一共有个圆点，
第3幅图形中一共有个圆点，
第4幅图形中一共有个圆点，
，
按此规律排列下去，
第100个图形中圆的个数是个圆点．
故答案为：301．
14. 函数的图象由拋物线的一部分和一条射线组成，且与直线为常数）相交于三个不同的点设，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据、关于对称轴对称，可知，由直线为常数）相交于三个不同的点，可以求出的取值范围，进而求出的范围．
【详解】解：设
由二次函数可知：图象开口向上，对称轴为，
当时函数有最小值为2，，
由一次函数可知当时有最大值3，当时
直线为常数）相交于三个不同的点，，，，，，
，，
，
，
．
故答案为：
三 解答题
15. 计算：.
【答案】
【解析】
【分析】根据根式与绝对值和正弦值、指数的运算等求解即可.
【详解】
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点坐标分别为，B，C.
（1）画出将向左平移5个单位得到的；
（2）画出将绕原点顺时针旋转得到的.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）将三个顶点分别向左平移5个单位画图即可；
（2）将三个顶点分别绕原点顺时针旋转画图即可.
【小问1详解】
【小问2详解】
17. 观察下列关于自然数的等式：
（1）①
（2）②
（3）③
根据上述规律解决下列问题：
（1）写出第4个等式：____________________；
（2）写出你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明其正确性.
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据前3式的整数与分数的分子分母规律求解即可；
（2）易得第个等式为，再通分化简证明即可.
【小问1详解】
根据①②③可得，第④项为
【小问2详解】
猜想第个等式为.
证明：，即得证.
18. 为了让乘客有良好的候车环境，某市在公交站牌旁投放大量的候车亭（如图①），其结构示意图的侧面如图②所示，其中支柱的长为，且支柱垂直于地面，顶棚横梁长为为镶接柱，镶接柱与支柱的夹角，与顶棚横梁的夹角，要求横梁一端点在支柱的延长线上，此时测量得镶接点与点的距离为.根据以上测量数据，求点到地面的距离.（结果精确到，参考数据：.）
【答案】
【解析】
【分析】过作，过作，可得，，，结合直角三角形及对应三角函数值求相关线段长度，求即可.
【详解】过作，过作，
由题意，，则，
所以，则，且，故，
综上，到地面距离.
19. 某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理.但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理.已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元.
（1）求该车间的日废水处理量m；
（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.
【答案】（1）m＝20；
（2）15≤x≤25.
【解析】
【分析】（1）根据处理废水35吨花费370可得出m＜35，根据废水处理费用＝该车间处理m吨废水的费用＋第三方处理超出部分废水的费用，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设一天产生工业废水x吨，分0＜x≤20及x＞20两种情况考虑，利用每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【小问1详解】
∵处理废水35吨花费370，且＝>8，∴m<35,
∴30+8m +12(35－m)＝370，解得：m＝20；
【小问2详解】
设一天生产废水x吨,则
当0< x≤20时，8x+30≤10 x，解得：15≤x≤20，
当x>20时，12(x－20)+160+30≤10x，解得：20综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围是15≤x≤25.
20. 如图，在中，，以为直径作交于点.过点作，垂足为，且交的延长线于点.
（1）求证：是的切线；
（2）已知，，求的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，，根据等腰三角形三线合一得，根据三角形的中位线可得，所以得，从而得结论；
（2）证明，再根据相似的性质计算可得．
【小问1详解】
证明：连接，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
【小问2详解】
解：，
，
，
，，
，
．
21. 某校为了解学生每月零用钱情况，从七 八 九年级1200名学生中随机抽取部分学生，对他们今年4月份的零用钱支出情况进行调查统计并绘制成如下统计图请根据图表中所给的信息，解答下列问题：
组别 零用钱支出（单位：元） 频数（人） 频率
节俭型 2
4
富足型 12
奢侈型
2
（1）在这次调查中共随机抽取了名学生__________，图表中的__________，__________；
（2）请估计该校今年4月份零用钱支出在“范围的学生人数；
（3）在抽样的“节俭型”学生中，有2位男生和4位女生，校团委计划从中随机抽取两人参与“映山红”的公益活动，求恰好抽中一男一女的概率.
【答案】（1）；；.
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到调查的总人数为（人），进而求得的值；
（2）结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（3）列表得到基本事件的总数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【小问1详解】
解：本次调查的总人数为（人），
则，.
【小问2详解】
解：根据题意，估计该校今年4月份零用钱支出在“”范围内的学生人数大约为：（人）.
【小问3详解】
解：由题意，列表如下：
男 男 女 女 女 女
男 （男，男） （女，男） （女，男） （女，男） （女，男）
男 （男，男） （女，男） （女，男） （女，男） （女，男）
女 （男，女） （男，女） （女，女） （女，女） （女，女）
女 （男，女） （男，女） （女，女） （女，女） （女，女）
女 （男，女） （男，女） （女，女） （女，女） （女，女）
女 （男，女） （男，女） （女，女） （女，女） （女，女）
所以恰好抽中一男一女的概率为.
22. 如图，抛物线与直线交于两点，交轴于两点，连接，已知.
（1）求拋物线对应函数的解析式和的值；
（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法可求解析式，根据两点距离公式可求，，的距离，根据勾股定理逆定理可证，即可求的值；
（2）如图，过作轴，过作轴，与交于点，与交于点，求出直线的解析式，推出，所以当且仅当时，取最小值，点在整个运动中用时最少，求出点横坐标，即可求出点的坐标．
【小问1详解】
解：抛物线过点，点．
，
解得：，，
抛物线解析式：，
当时，，
，，
点坐标，
抛物线与直线交于，两点，
令，
解得或，
点坐标，
，，，
，，，
，，，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，过作轴，过作轴，与交于点，与交于点，
，，
可设直线的解析式为，
将点代入，
得，
，
直线的解析式为，
，，
，
，
，
，
当且仅当时，取最小值，点在整个运动中用时最少，
此时，，
在中，当时，，，
，
则点横坐标为2，
将代入直线，得，
，
所以点的坐标是时，点在整个运动中用时最少.
【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，最短路径问题，综合性强，难度较大．
23. （1）如图1，在和中，，，连接交于点.
①的值为__________；
②的度数为__________；
（2）如图2，在和中，，连接交的延长线于点.计算的值及的度数；
（3）在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，所在直线交于点，若，求当点与点重合时的长.
【答案】（1）①1；②；（2），，（3）的长为或．
【解析】
【分析】（1）①证明，得，即可说明；
②由，得，根据三角形的内角和定理求出；
（2）根据两边的比相等且夹角相等可得，则，由全等三角形的性质得的度数；
（3）正确画图形，当点与点重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：，则，，可得的长．
【详解】解：（1）①如图1，，，
，
，，
，
，
；
②，
，
，
，
在中，，
故答案为：①1；②；
（2）如图2，，，
理由是：中，，，
，
同理得，
，
，
，
，
，，
在中，；
（3）①点与点重合时，如图3，同理得：，
，，
设，则，
中，，，
，，
中，，，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
，
，（舍去），
；
②点与点重合时，如图4，同理得：，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
（舍去），，
；
综上所述，的长为或．
【思路点睛】主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题，解题的关键是能得出，根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题.