鲁教版（五四制）数学七年级下册 7.4 二元一次方程与一次函数（1） 教案

基于翻转课堂模式的教学设计
----记《二元一次方程与一次函数第一课时》
一、背景介绍
实验版的课标对本节课的要求是“能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解”，新课标改为“体会一次函数与二元一次方程的关系”，由注重知识技能目标的实现改为注重过程性目标的实现，让学生能参与到数学活动中，在具体的情景中初步认识方程与函数，方程组与函数的关系，并从中获得一些经验。新课标更注重学生的学习过程、学习体验，更体现生本课堂.
本节课学生的接受和理解是比较难的.根据以往的教学经验，出现这样几种情况;一是老师讲的头头是道，自认为非常清晰明了，但学生一脸茫然；二是看似探究过、讨论过、总结过，但落实比较差；三是课上完了，学生不知道学习这些有什么用，导致遗忘特别快 .新的版本对本节安排了两课时，第一节探究二元一次方程与一次函数，二元一次方程组与一次函数的关系，第二节探究两点法确定一次函数表达式和在实际生活中的应用.在认真研读课标和教材的基础上对本节课做如下设计：
二、教学过程设计
前一天学生自学，完成自主学习任务单。课前小组内讨论解决自主学习任务单中的问题，教师走进学生，倾听学生的想法.
课前自主学习任务单
一、学习指南
1.课题名称：7.7 二元一次方程与一次函数第一课时
2.达成目标： （1）查阅资料，能完成相应的学习任务 （2）初步感知二元一次方程与一次函数的关系，初步感知二元一次方程组与一次函数的关系
3.学习方法建议：查阅资料，自主探究，交流展示
二、学习任务
学习任务 学习过程 学习建议
任务一： 复习回顾 1、解方程组 2、画出一次函数的图象. 知识回顾 自主完成
任务二： 探究二元一次方程与一次函数的关系 1、（1）方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个. （2）在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点,它们都在函数y=5-x上吗 （3）在一次函数y=5-x的图象上任取一个点,它的坐标适合方程x+y=5吗 （4）以方程x+y=5的解为坐标的所有的点所组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗 2、想一想：通过上面的探究，你认为二元一次方程与一次函数有什么关系，并表述出来. 动手操作 自主研究 小组合作 形成成果
任务三： 探究二元一次方程组与一次函数的关系 1、（1）在同一直角坐标系内分别画出一次函数和的图象，这两个图象有交点吗？ （2）解方程组 （3）交点坐标与方程组的解有什么关系？ 2、想一想：通过上面的探究，你认为二元一次方程与一次函数有什么关系，并表述出来. 动手操作 自主研究 小组合作 形成成果
任务四：分层操作 A组 1、一次函数与图象的交点为 (2,3) ，则方程组的解为____. 2、已知一次函数与的交点为(1,a) ，试确定方程组的解和a,b的值. B组 已知二元一次方程组无解，求a的值. 自主探究 小组合作
任务五： 展示交流研究成果 我们展示的方式：__________________ 将你们小组的自学成果呈现给大家（PPT、视频、图片、文稿等）.
任务六： 学后反思 总结学习成果： 1、我收获的知识：__________________ 2、我提升的能力： _________________ 3、我要努力的方面：________________ 评价自我学习成果和其他小组的学习成果. 2.评价方式： 优秀：三颗星 良好：两颗星 一般：一颗星
活动一:明确问题
师：前面我们学习了一元一次方程与一次函数，本章我们又学习了二元一次方程，在此基础上，今天，我们来研究二元一次方程与一次函数.
（教师板书课题）
师：你能把二元一次方程改写成______的形式吗？
生：.
师：是不是任意的二元一次方程都能进行这样的改写呢？
生：是.
师：通过移项任意的二元一次方程都可以改写为的形式，那么两者之间还有哪些关系呢？昨天借助自主学习任务单我们已对这部分进行了自学，而且课下以及课前小组内也讨论交流了，下面我们就请小组代表跟我们一起分享他们的自学成果吧！
活动二：成果汇报
（一）探究二元一次方程与一次函数的关系
根据学生自己的学习经验，请小组代表来说说他们的理解.多请几个小组展示他们的想法，给学生充分的时间和机会来表达自己的对这一问题的认识，以便了解学情.
根据学生的理解，教师及时做出补充和总结.
师：对于方程的每一组解对应图象上的一个点，图象上的每个点的坐标都满足对应的二元一次方程这一关系，这里老师给出一种解释.
（几何画板动态展示验证这两种对应，尤其是图象上的每一个点的坐标都满足对应的方程）（对于其它情况一并做出解释）
师：好，通过以上研究我们知道每一个二元一次方程都对应一个一次函数，一次函数的图象是由无数个点组成的，每个点的坐标都满足对应的二元一次方程，同时，二元一次方程的解有无数组，每一组都对应图象上的一个点，也就是方程的解和图象上的点是一一对应的（边总结边板书）.实际上，一次函数、一次函数图像和二元一次方程所表达的关系是一样的，只是表达形式不同而已.
（二）探究二元一次方程组与一次函数的关系
师：那么你能把对应的一次函数写出来吗？
生：.
师：现在我用大括号一连，变成了二元一次方程组，那么方程组与对应的两个一次函数之间又有什么关系呢？这是我们自主学习任务单上的任务三，哪个小组来展示？
同样让学生说说他们认为两者之间有什么关系.根据实际情况教师及时做出反馈和总结.（一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标.）
师：好，通过上面的研究，一个二元一次方程组对应两个一次函数，并且方程组的解和函数图象的交点坐标是相对应的（教师板书）.下面考考你的眼力如何.
活动三：基础夯实
1、一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3)，则方程组的解为_______；
2、一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3),则对应方程组____________的解.
3、（1）根据下列图象，你能说出对应方程组的解吗
（2）你能说出上图是哪些方程组的解
4、根据下列图象，你能说出对应方程组的解吗
师：通过上面的练习，你有何体会？
生：当两条直线只有一个交点时，对应的方程组有一个解；当两条直线平行时，对应的方程组没有解；当两条直线重合时，对应的方程组有无数解.（估计到这里学生能较轻松的得出结论）
师：非常好，也就是直线的位置关系与方程组解的情况是相对应的.
活动四：应用提高
师：那么反过来，给你方程组你能直观的把解表示在图上吗？尝试完成解二元一次方程组.
生板演，完成后给大家讲一讲做题的步骤：写出对应的一次函数 作出图像 读出交点坐标 写出方程组的解.（若总结不出教师帮忙）
师：这样我们得到一种新的解二元一次方程组的方法——图象法.根据你的做题经验，你能说说图象法的优点和不足吗？
生：我觉得图象法比较直观，但由于作图有误差结果会不精确.
师：同意吗？虽然有一定的误差，但是图象法可以用来估算方程组的解.这种解决问题的思路和方法在实际生活中也有广泛的应用，请大家完成本题：一家电信公司给顾客提供上网费的两种计费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费.
（1）上网时间为多少分时，两种方式的计费相等？
（2）当上网时间290分钟时，选择哪种计费方式比较合算？
两位同学板书过程.教师巡视学生的做题情况.学生完成之后先小组内交流做法.然后请两位学生讲讲他们的思路.
方法一; 方法二;
解： 解：
（１） （1）同方法一
（2）作出函数图象
　　　　　
（２）当ｘ＝４００时，
　　
所以选方式Ａ比较合算．
由图得，当x=290时方式A花费较少，所以选A.（若选则作图的话估计绝大多数学生的图象会如上图）
生;老师，我觉得图象需要改一下，这里，所以只保留第一象限的部分.（希望有学生能发现，若发现不了结合实际问题教师提醒）
师：非常仔细，这样更完美.方法一是计算，是从“数”的角度，方法二是作图，是从“形”的方面，再次印证了对于“数”的问题可以转化为“形”，“形”的问题可以从“数”的角度来考虑.
活动五：总结升华
师：以上就本节课主要内容，①你有哪些收获？对同学和自己有哪些提示？还有哪些困惑？②今天学习的内容是怎样研究的？蕴含着哪些数学思想？
同桌先说一说.学生七嘴八舌，说说自己的收获，然后师生共同总结.
三、设计反思
翻转课堂翻转了传统的教学结构，学生学习知识在课外，内化知识在课内.在课外自主学习，提出问题，整理收获；在课内学生交流展示，协作学习，解疑答惑，教师巡视，进行个性化指导.翻转课堂是以学生为核心，教师为学生学习的设计者、指导者、帮助者，这种模式能有效提升学生的自主学习能力，发展学生思维能力．
翻转课堂落实的一个关键是制作好自主学习任务单，本课在设计时以任务驱动和问题导向为原则，六个任务环环相扣，层层深入．任务一复习方程组的解法和一次函数图象的画法，为下面任务的展开打下基础．任务二和任务三的通过问题串引导学生观察思考，给学生提供一个很好的抓手，并要求学生将探究的结果用自己喜欢的方式表述出来，这也是本节课的难点之一，这样提高学生思考的深度和广度，锻炼表达能力．通过任务四检测自学情况．通过任务五和任务六总结自己的学习.课前学生小组内先说说自己的看法，有哪些疑惑能解决，有哪些不能解决；交流展示环节大家畅所欲言，充分展示了研究问题的过程，找到方程与函数，方程组与函数的关系，教师及时归纳总结“数”与“形”是可以相互转化；知识应用环节通过看图读数直观感受数形结合思想，通过作图体会图象法可以估算方程组的解，然后再回到实际生活中，体会数形结合的直观性，体会数学来源于生活又服务于生活.在总结升华环节，一是对课堂内容作总结，使本节课知识形成一个整体，并纳入已有的知识体系；二是对研究的思路方法进行总结，让学生明确研究方程与函数的关系是从方程的解和函数图象入手的，为继续研究方程与函数、方程与不等式的关系打好基础，培养学生的创新意识和变式能力.