人教A版（2019）必修第一册3.2.2　奇偶性同步练习（Word含答案）

3.2.2　奇偶性
基础过关练
　题组一　函数的奇偶性
1.已知函数f(x)=mx2+nx+2m+n是偶函数,其定义域为[m+1,-2n+2],则(　　)
A.m=0,n=0　　　　　　B.m=-3,n=0
C.m=1,n=0　　　　　　D.m=3,n=0
2.(2022山西大同期中)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,则下列说法错误的是(　　)
A.在R上,|f(x)|=|f(-x)|
B.在R上,[f(x)]3+[f(-x)]3=0
C.存在x0∈R,f(x0)+f(-x0)≠0
D.存在x1,x2∈R,f()+f()=0
3.已知y=f(x),x∈(-a,a),若F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)(　　)
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
4.已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x2+2,那么f(-1)的值是(　　)
A.-3　　　　　B.-1　　　　　C.1　　　　　D.3
5.(2020北京通州期末)能说明“若f(x)是奇函数,则f(x)的图象一定过原点”是假命题的一个函数是f(x)=　　　.
6.(2021天津第二南开学校期中)判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x+(x>0);(2)f(x)=x2+x;
(3)f(x)=;(4)f(x)=+.
题组二　函数奇偶性的综合运用
7.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(　　)
A.y=x+1　　　　　　B.y=-x2
C.y=　　　　　　D.y=x|x|
8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,则下列关系式中一定成立的是(　　)
A. f(-1)C. f(1)>f(-2)　　　　　　D. f(0)=0
9.已知f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)是单调函数,且f(-1)=,则f　　　　 f(2).(填“>”“<”或“=”)
10.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<
f 的x的取值范围是　　　　.
11.(2021北京人大附中期中)若定义在R上的函数f(x)=(x+2)(x-a)是偶函数,则f(3)=　　　　.
12.(2022浙江台州 “十校联盟”期中联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时, f(x)=x2-2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)作出函数f(x)的图象,并根据图象写出函数f(x)的单调区间.
能力提升练
题组一　函数的奇偶性
1.已知f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数x,y都成立,则函数f(x)(　　)
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数,也是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
2.(2022天津五校期中联考)函数f(x)=的图象大致为(　　)
3.(2020河南郑州期末)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)恒成立,且f(1)=1,则f(3)+f(4)+f(5)的值为(　　)
A.-1　　　　　B.1　　　　　C.2　　　　　D.0
4.(2021山东省实验中学期中)设函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足:
①x∈(-1,0)时, f(x)>0;
②f(x)+f(y)=f ,x,y∈(-1,1).
则f(x)是　　　　函数(填“奇”或“偶”),且f(x)在定义域上是　　　　函数(填“增”或“减”).
题组二　函数奇偶性的综合运用
5.如果奇函数f(x)在[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上(　　)
A.是增函数且最小值为-5
B.是减函数且最小值为-5
C.是增函数且最大值为-5
D.是减函数且最大值为-5
6.已知偶函数f(x)满足f(x)=x-(x>0),则{x|f(x+2)>1}=(　　)
A.{x|x<-4或x>0} B.{x|x<0或x>4}
C.{x|x<-2或x>2} D.{x|x<-2或x>4}
7.(2022浙江台州“十校联盟”期中联考)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1)=0且在(0,+∞)上单调递减,则不等式 <0的解集是(　　)
A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-1,0)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)
8.(多选)(2021江苏徐州六县期中)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=-x2+2x,则下列说法正确的是(　　)
A.当x∈(0,+∞)时, f(x)=x2-2x
B.函数f(x)在定义域R上为增函数
C.不等式f(3x-2)<3的解集为(-∞,1)
D.不等式f(x)-x2+x-1>0恒成立
9.(2021山东临沂部分学校期中)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且y=f(x)+g(x)为偶函数,y=f(x)-g(x)为奇函数,若f(2)=2,则g(-2)=　　　　.
10.(2022山东费县实验中学期中)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),对任意的a,b∈(-∞,0),总有 >0(a≠b),若f(2m+1)>f(2m),则m的取值范围为　　　　.
11.(2020北京西城期末)已知函数f(x)=.
(1)证明:f(x)为偶函数;
(2)用定义证明:f(x)是(1,+∞)上的减函数;
(3)当x∈[-4,-2]时,求f(x)的值域.
12.(2022河北师大附中期中)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上是减函数.
(1)比较f 与f 的大小关系;
(2)判断函数f(x)在(-∞,0)上的单调性,并证明你的判断;
(3)若f(a-1)-f(2a)>0恒成立,求实数a的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.B　由f(x)=mx2+nx+2m+n是偶函数,得n=0.又函数的定义域为[m+1,-2n+2],所以m+1=2n-2,则m=-3.
2.C　∵函数f(x)为定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),f(0)=0.
A.|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,故A中说法正确;
B.[f(-x)]3=[-f(x)]3=-[f(x)]3,∴[f(x)]3+[f(-x)]3=0,故B中说法正确;
C.f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0,故C中说法错误;
D.当x1+x2=0时, f()+f()=0成立,故D中说法正确.故选C.
3.B　易知F(x)的定义域为(-a,a),关于原点对称,
又F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),
∴F(x)是偶函数.
4.A　∵函数f(x)是奇函数,当x>0时, f(x)=x2+2,
∴f(-1)=-f(1)=-(12+2)=-3.
故选A.
5.答案　(答案不唯一)
解析　举出x=0不在定义域内的奇函数即可,如f(x)=,答案不唯一.
6.解析　(1)∵f(x)的定义域为(0,+∞),不关于原点对称,∴f(x)=x+(x>0)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)易知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.
∵f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x,∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x),∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(3)易知f(x)=的定义域为R,关于原点对称,
对任意x∈R,都有f(-x)==-=-f(x),故f(x)为奇函数.
(4)由f(x)=+,得解得-1≤x≤1,即函数的定义域为[-1,1],关于原点对称,
对任意x∈[-1,1],都有f(-x)=+=f(x),故f(x)是偶函数.
7.D　A是增函数,不是奇函数;B和C都不是定义域内的增函数;D既是奇函数又是增函数.故选D.
8.C　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,
所以f(1)=f(-1)>f(-2)=f(2),故选C.
9.答案　>
解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,
又f(x)是单调函数,且f(-1)=,∴f(-1)>f(0),
∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,∴f >f(2).
10.答案　
解析　因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(|x|),
所以f(2x-1)因为f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
所以|2x-1|<,即-<2x-1<,解得所以满足题意的x的取值范围为.
11.答案　5
解析　因为函数f(x)=(x+2)(x-a)是定义在R上的偶函数,
所以f(-1)=f(1),即-1-a=3(1-a),解得a=2,
所以f(3)=5.
12.解析　(1)当x<0时,-x>0,
则f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,
∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)=-f(-x)=-x2-2x.
∴f(x)=
(2)f(x)的图象如图所示:
由图可知, f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),单调递减区间为(-1,1).
能力提升练
1.A　易知f(x)的定义域为R,关于原点对称.
令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0.
令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,故选A.
2.B　易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,因为f(-x)===-f(x),所以函数f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除C,D;当x>0时,f(x)<0,排除A,故选B.
解题模板　已知函数解析式判断函数图象,可由解析式得到性质,再由性质选择图象,从易到难,一般先判断函数的奇偶性,再判断函数值的符号,函数的单调性、最大(小)值等.
3.D　∵f(x)是定义在R上的奇函数, f(1)=1,
∴f(-1)=-f(1)=-1, f(0)=0.
依题意得f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-1,
f(4)=f(0+4)=f(0)=0, f(5)=f(1+4)=f(1)=1.
因此, f(3)+f(4)+f(5)=-1+0+1=0,故选D.
陷阱提示　在有关奇函数f(x)的求值问题中,要注意当f(x)在x=0处有意义时, f(0)=0,否则可能会出现已知条件不足,导致问题解决不了的情况.
4.答案　奇;减
解析　对于f(x)+f(y)=f ,
令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0,
令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0,
又因为f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,
所以f(x)为奇函数.
任取x1,x2∈(-1,0),且x1因为-10,所以<0,
因为+1=>0,所以>-1,
所以-1<<0,
由条件①得f >0,
所以f(x1)-f(x2)>0,
所以f(x)在(-1,0)上是减函数,
又f(x)为奇函数,
所以f(x)在(-1,1)上是减函数.
5.C　因为奇函数f(x)在[3,7]上是增函数且最小值为5,而奇函数的图象关于原点对称,
所以f(x)在区间[-7,-3]上是增函数且最大值为-5,故选C.
6.A　由题易得偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=1,
故f(x+2)>1等价于f(|x+2|)>f(2),即|x+2|>2,
解得x>0或x<-4,故选A.
7.C　∵f(x)是奇函数,f(1)=0,∴f(-1)=-f(1)=0,
∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴f(x)在(-∞,0)上也单调递减.
当x<0时,不等式 <0可化为f(x)>0,即f(x)>f(-1),解得x<-1;
当x>0时,不等式 <0可化为f(x)<0,即f(x)1.
综上,不等式 <0的解集是(-∞,-1)∪(1,+∞).故选C.
8.BC　对于A:已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=-x2+2x,则当x>0时,-x<0, f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,所以f(x)=x2+2x(x>0),故A错误;
对于B:易得f(x)=所以函数f(x)在定义域R上为增函数,故B正确;
对于C:不等式f(3x-2)<3等价于f(3x-2)对于D:当x≤0时, f(x)=-x2+2x, f(x)-x2+x-1=-2x2+3x-1=(-2x+1)(x-1)<0,故D错误.故选BC.
9.答案　2
解析　因为y=f(x)+g(x)为偶函数,y=f(x)-g(x)为奇函数,
所以f(-2)+g(-2)=f(2)+g(2)①,
f(-2)-g(-2)=g(2)-f(2)②,
由①②可得, f(2)=g(-2),若f(2)=2,则g(-2)=2.
10.答案　m<-
解析　因为对任意的a,b∈(-∞,0),总有>0(a≠b),所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,
因为f(x)的定义域为R,关于原点对称, f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,
若f(2m+1)>f(2m),则|2m+1|<|2m|,即4m+1<0,解得m<-.
11.解析　(1)证明:易得函数f(x)的定义域是{x|x∈R,且x≠±1},任取x∈{x|x∈R,且x≠±1},都有f(-x)===f(x),
∴f(x)是偶函数.
(2)证明:当x>1时, f(x)===,
任取x1,x2∈(1,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-=,
∵10,x2-1>0,x2-x1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)在(1,+∞)上是减函数.
(3)由(1)(2)知函数f(x)在[-4,-2]上是增函数,
∴f(x)min=f(-4)==, f(x)max=f(-2)==1,
∴所求值域为.
12.解析　(1)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f =f ,
又因为a2+2a+=(a+1)2+≥,函数f(x)在[0,+∞)上是减函数,
所以f ≤f .
(2)函数f(x)在(-∞,0)上是增函数,证明如下:
任取x1-x2>0,由f(x)在[0,+∞)上是减函数可知f(-x1)又因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),
所以f(x1)(3)f(a-1)-f(2a)>0恒成立即f(a-1)>f(2a)恒成立,
因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,
所以|a-1|<|2a|,解得a>或a<-1.
因此实数a的取值范围为(-∞,-1)∪.
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