人教A版（2019）必修第一册3.3　幂函数（同步练习Word含答案）

3.3　幂函数
基础过关练
题组一　幂函数的概念
1.(多选)下列函数是幂函数的是(　　)
A.y=xx　　　　 B.y= C.y=+1　　　 　D.y=
2.若幂函数f(x)的图象经过点,则f(x)=　　　　.
3.已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上,则n-m=　　　　.
4.已知函数f(x)=(m2+2m)·,m为何值时,函数f(x)是(1)正比例函数 (2)反比例函数 (3)幂函数
题组二　幂函数的图象及其应用
5.(2022安徽滁州期中)如图所示的函数图象对应的解析式可能是(　　)
A.y=　　　 　　B.y= C.y=　　 　　　D.y=
6.(2020湖南衡阳一中期中)函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)
题组三　幂函数的性质及其应用
7.(2020山西长治二中期末)已知α∈{-1,1,2,3},若函数y=xα的值域为R,且该函数为奇函数,则α的值为(　　)
A.1,3　　　　　B.-1,1　　　　　C.-1,3　　　　　D.-1,1,3
8.(2022河北张家口期中)已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,),则f(x)(　　)
A.是偶函数且在(0,+∞)上单调递减
B.是奇函数且在(0,+∞)上单调递增
C.既不是奇函数也不是偶函数且在(0,+∞)上单调递增
D.既不是奇函数也不是偶函数且在(0,+∞)上单调递减
9.若幂函数f(x)=(a2-5a-5)xa在(0,+∞)上单调递增,则a=(　　)
A.3　　　　　B.6　　　　　C.2　　　　　D.-1
10.若幂函数f(x)的图象过点(3,27),则满足不等式f(a-3)>f(1-a)的实数a的取值范围是　　　　.
11.(2021河北衡水武邑中学期中)已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)x-m-1(m∈R)为偶函数.
(1)求f 的值;
(2)若f(2a+1)=f(a),求实数a的值.
能力提升练
题组一　幂函数的概念及其图象
1.若f(x)是幂函数,且满足=4,则f =(　　)
A.-4　　　　　B.4　　　　　C.-　　　　　D.
2.幂函数y=xm与y=xn的部分图象如图所示,则(　　)
A.-1C.-11　　　　　　D.n<-1,m>1
3.(2020山东临沂期末)用函数M(x)表示函数f(x)和g(x)中的最大者,记为M(x)=max{f(x),g(x)}.若f(x)=,g(x)=x-2,则M(x)的大致图象为(　　)
4.已知幂函数f(x)=(m2-3m+1)的图象不经过原点,则实数m的值为　　　　.
5.(2022湖北荆门龙泉中学期中)已知函数f(x)=(m2+m-1)xm是幂函数,且在(0,+∞)上是减函数.
(1)求实数m的值;
(2)请在给定的坐标系中画出f(x)的大致图象.
题组二　幂函数的性质及其应用
6.(多选)(2022安徽滁州期中)幂函数f(x)=x3m-11(m∈N)在(0,+∞)上是减函数,且f(-x)=f(x),则m可能等于(　　)
A.0　　　　　B.1　　　　　C.2　　　　　D.3
7.(2022江西景德镇期中)已知f(x)=x3,g(x)=x2,则下列说法正确的是(　　)
A.x∈(0,+∞)时,恒有f(x)≥g(x)
B.函数f(x)与g(x)的图象仅有一个交点
C.x∈(0,1)时, f(x)的图象在g(x)的图象的下方
D.存在x0∈(1,+∞),使得f(x0)=g(x0)
8.(2022广东实验中学期中)已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3),则下列命题正确的是(　　)
A. f(x)在R上为增函数
B. f(x)为偶函数
C.若x≥4,则f(x)≥2
D.若x2>x1>0,则 >f
9.已知点(n,8)在幂函数f(x)=(m-2)xm的图象上,则函数g(x)=-2的值域为(　　)
A.[0,1]　　　　　　B.[-2,0]
C.[-1,2]　　　　　　D.[-2,1]
答案全解全析
基础过关练
1.BD　由幂函数的定义知,幂函数满足三个条件:①幂的底数为自变量;②自变量的系数为1;③幂的指数为常数.故选BD.
2.答案　
解析　由题意,设f(x)=xn,
因为f(x)的图象经过点,所以2=,解得n=-,
所以f(x)=.
3.答案　
解析　由幂函数的定义可知,m-1=1,∴m=2,
∴点(2,8)在幂函数f(x)=xn的图象上,
∴2n=8,∴n=3,∴n-m=3-2=.
4.解析　(1)若函数f(x)为正比例函数,
则∴m=1.
(2)若函数f(x)为反比例函数,则∴m=-1.
(3)若函数f(x)为幂函数,则m2+2m=1,∴m=-1±.
5.C　根据题中图象可知函数是偶函数,且在第一象限内单调递减,所以C选项符合题意.故选C.
解题模板　研究幂函数的图象要抓住两点:一是抓住幂函数在第一象限内的图象,以y=x2 、y=x-1、y=为代表;二是抓住函数的奇偶性,由此解决与幂函数图象有关的问题.
6.B　y=-1的定义域为[0,+∞),且该函数为增函数,所以函数图象从左到右是上升的,所以y=-1的图象关于x轴对称的图象从左到右是下降的,故选B.
7.A　当α=-1时,y=xα的值域不是R;当α=2时,y=xα是偶函数;当α=1,3时,y=xα的值域为R,且为奇函数.故选A.
8.C　∵幂函数的图象过点(2,),∴2α=,∴α=,可得f(x)=,
可知f(x)既不是奇函数也不是偶函数且在(0,+∞)上单调递增,故选C.
9.B　由幂函数的定义可知,a2-5a-5=1,解得a=-1或a=6,
又函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以a>0,故a=6.
10.答案　(2,+∞)
解析　设幂函数为f(x)=xα,因为其图象过点(3,27),所以27=3α,解得α=3,所以f(x)=x3.因为f(x)=x3在R上为增函数,所以由f(a-3)>f(1-a),得a-3>1-a,解得a>2.
所以满足不等式f(a-3)>f(1-a)的实数a的取值范围是(2,+∞).
11.解析　(1)由题意知m2-5m+7=1,解得m=2或m=3,
当m=2时, f(x)=x-3,为奇函数,不满足题意;
当m=3时, f(x)=x-4,满足题意,
∴f(x)=x-4,∴f ==16.
(2)由f(x)=x-4和f(2a+1)=f(a)可得|2a+1|=|a|,即2a+1=a或2a+1=-a,∴a=-1或a=-.
能力提升练
1.D　设f(x)=xα,则f(4)=4α=22α, f(2)=2α.
∵==2α=4=22,
∴α=2,∴f(x)=x2,
∴f ==,故选D.
2.B　由题图可知,y=xm在[0,+∞)上单调递增,y=xn在(0,+∞)上单调递减,则m>0,n<0.作直线y=x.当x>1时,y=xm的图象在直线y=x的下方,y=xn的图象在y=x-1的图象下方,则m<1,n<-1.
综上可知,n<-1,03.A　在同一直角坐标系中作出函数y=f(x)和y=g(x)的图象,如图所示:
由图象可知,M(x)=
因此,函数M(x)的大致图象为选项A中的图象.故选A.
4.答案　3
解析　依题意得m2-3m+1=1,解得m=0或m=3.当m=0时, f(x)=x,其图象经过原点,不符合题意;当m=3时, f(x)=x-2,其图象不经过原点,符合题意,因此实数m的值为3.
5.解析　(1)由函数f(x)是幂函数,得m2+m-1=1,解得m=-2或m=1,
又因为f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以m=-2.
(2)由(1)知, f(x)=x-2=,
其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且满足f(x)=f(-x),其图象经过点(1,1),
结合f(x)的单调性,可得f(x)的大致图象如图所示:
6.BD　∵幂函数f(x)=x3m-11(m∈N)在(0,+∞)上是减函数,∴3m-11<0,
又m∈N,∴m=0或m=1或m=2或m=3.
当m=0时, f(x)=x-11,不满足f(-x)=f(x),舍去;
当m=1时, f(x)=x-8,满足f(-x)=f(x),故m=1符合题意;
当m=2时, f(x)=x-5,不满足f(-x)=f(x),舍去;
当m=3时, f(x)=x-2,满足f(-x)=f(x),故m=3符合题意.故选BD.
7.C　当x=时,<,所以A不正确;
令f(x)=g(x),即x3=x2,解得x=0或x=1,所以B不正确;
令h(x)=f(x)-g(x)=x3-x2,由h(x)<0,可得x2(x-1)<0,解得x<1,且x≠0,
所以当x∈(0,1)时, f(x)的图象总在g(x)的图象的下方,所以C正确;
当x∈(1,+∞)时,总有x3>x2,所以D不正确.
故选C.
8.C　设f(x)=xα,则f(9)=9α=3,解得α=,∴f(x)=.
对于A,B,f(x)的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,故A,B均错误;
对于C,易知f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴当x≥4时,f(x)≥f(4)==2,故C正确;
对于D,当x2>x1>0时,-
=-==-<0,
∴<,又f(x)≥0,
∴9.D　∵f(x)是幂函数,∴m-2=1,解得m=3,
∴f(x)=x3,将(n,8)代入,得n3=8,解得n=2,
∴g(x)=-2,
则解得2≤x≤3,
故函数g(x)的定义域是[2,3],
易知函数g(x)在[2,3]上单调递减,g(2)=1,g(3)=-2,故函数g(x)的值域是[-2,1],故选D.
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