人教A版（2019）必修第一册4.5.1　函数的零点与方程的解（Word含答案）

4.5　函数的应用(二)
4.5.1　函数的零点与方程的解
基础过关练
　题组一　求函数的零点
1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(　　)
A.,0　　　　　B.-2,0　　　　　C.　　　　　D.0
2.(多选)下列函数中不存在零点的是(　　)
A.y=x-　　　　　　 B.y=
C.y=　　　　　　D.y=
3.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是　　　　.
题组二　判断函数的零点所在的区间
4.(2022河北唐山期末)函数f(x)=ex+2x-3的零点所在的区间为(　　)
A.　　　B.
C.　　　D.
5.(2022湖南长沙期末)设函数f(x)=x-ln x(x>0),则f(x)(　　)
A.在区间(e-1,1),(1,e)内均有零点
B.在区间(e-1,1),(1,e)内均无零点
C.在区间(e-1,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点
D.在区间(e-1,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点
6.(2022天津耀华中学期末)函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是(　　)
A.(3,4)　　　　B.(2,3) C.(1,2)　　　D.(0,1)
题组三　判断函数的零点个数
7.对于函数f(x),若f(-1)f(3)<0,则(　　)
A.方程f(x)=0一定有实数解
B.方程f(x)=0一定无实数解
C.方程f(x)=0一定有两个实数解
D.方程f(x)=0可能无实数解
8.函数f(x)=-的零点个数为　　　　.
9.已知函数f(x)=和函数g(x)=log2x,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是　　　　.
题组四　根据零点情况求参数范围
10.(2022河南南阳一中月考)已知方程x2+ax-1=0在区间[0,1]上有解,则实数a的取值范围是　　　　.
11.已知函数f(x)=ln x-m的零点位于区间(1,e)内,则实数m的取值范围是　　　　.
12.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实根,则实数k的取值范围是　　　　.
13.若f(x)=f(x)-m=0有两个不同的零点,则m的取值范围为　　　　.
能力提升练
题组一　函数的零点与方程的解
1.(2020山东泰安期末)函数f(x)=(x+1)x+x(x-1)+(x+1)(x-1)的两个零点分别位于区间(　　)
A.(-1,0)和(0,1)内
B.(-∞,-1)和(-1,0)内
C.(0,1)和(1,+∞)内
D.(-∞,-1)和(1,+∞)内
2.(多选)设实数a,b,c满足ea=ln b=1-c,则下列不等式可能成立的有(　　)
A.a3.(2020湖北宜昌一中期中)已知奇函数f(x)=+a(a≠0),则方程f(x)=的解为x=　　　　.
4.(2022北京清华大学附属中学期中)方程x+2x=2的根为a,方程x+log2x=2的根为b,则a+b=　　　　. 　
题组二　判断函数的零点个数
5.若f(x)=
则函数g(x)=f[f(x)]-1的零点个数为(　　)
A.1　　　　　B.3　　　　　C.4　　　　　D.6
6.已知函数f(x)=则函数g(x)=(x-2)f(x)-2x+1的零点个数为　　　　.
题组三　根据零点情况求参数范围
7.(2022广东惠州惠阳中山中学期末)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)+1-m有4个零点,则m的取值范围为(　　)
A.(0,1)　　　　　　B.(-1,0)
C.(1,2)　　　　　　D.(2,3)
8.(2022河北邯郸期末)设函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2=(a+1)f(x)-a有7个不同的实数根,则实数a的取值范围是(　　)
A.[0,1)　　　　　　B.[1,+∞)
C.[0,+∞)　　　　　　D.(0,1)
9.(2022山西太原五中月考)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m存在四个不同的零点x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的取值范围是　　　　.
10.(2022山东滕州一中月考)已知f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x>0时, f(x)=g(x)=f(x)-a.
(1)若函数g(x)恰有三个不相同的零点,求实数a的值;
(2)记h(a)为函数g(x)的所有零点之和.当-1答案全解全析
基础过关练
1.D　当x≤1时,令2x-1=0,得x=0;当x>1时,令1+log2x=0,得x=(舍去).综上所述,函数f(x)的零点为0.故选D.
2.BD　A选项中,令y=0,解得x=±1,故-1和1是函数y=x-的零点;
B选项中,令y=0,得2x2-x+1=0,因为Δ=(-1)2-4×2×1=-7<0,所以函数y=无零点;
C选项中,令y=0,解得x=±1,故-1和1是函数y=的零点;
D选项中,令y=0,无解,故函数y=无零点.故选BD.
3.答案　-,-
解析　函数f(x)=x2-ax-b的零点是2和3,由函数的零点与方程的根的关系,知方程x2-ax-b=0的两根为2和3,则由根与系数的关系得a=2+3=5,-b=2×3=6,即b=-6.所以g(x)=-6x2-5x-1,
令g(x)=0,解得x=-或x=-,
故g(x)的零点为-,-.
4.C　易知函数f(x)=ex+2x-3在R上单调递增,因为f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且f=-2<0, f=->0,
所以函数f(x)的零点在区间内,故选C.
5.C　令f(x)=0,得x=ln x,在同一直角坐标系中作出函数y=x和y=ln x的图象,如图所示,
根据图象可知, f(x)在区间(e-1,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点,故选C.
6.B　f(x)的定义域为{x|x>0且x≠1},
当x∈(0,1)时, f(x)=ln x-<0恒成立,不存在零点,排除D;
当x∈(1,+∞)时, f(x)=ln x-,易知f(x)在该区间上单调递增,
又f(2)=ln 2-2<0, f(3)=ln 3-1>0, f(x)在(1,+∞)上的图象连续不断,
∴f(x)的零点所在的区间是(2,3).故选B.
解题模板　判断函数零点所在区间,要根据函数解析式,综合运用f(x)的值域、单调性,结合函数零点存在定理进行判断.
7.D　∵函数f(x)的图象在(-1,3)上未必连续,∴由f(-1)f(3)<0不一定能得出函数f(x)在(-1,3)上有零点,即方程f(x)=0可能无实数解.
8.答案　1
解析　令f(x)=-=0,则=.在同一平面直角坐标系中画出函数y=和y=的图象,如图所示,
由图可知,两函数图象的交点只有一个,所以f(x)的零点个数为1.
9.答案　3
解析　在同一平面直角坐标系中作出y=g(x)与y=f(x)的图象如图,
由图知f(x)与g(x)的图象有3个交点,故h(x)有3个零点.
10.答案　[0,+∞)
解析　令f(x)=x2+ax-1,由Δ=a2+4>0及f(0)=-1<0知f(x)=0在[0,1]上有解时, f(1)≥0,即a≥0.
一题多解　解决含参函数存在零点的问题,一般可先采用变量分离,再将问题转化为函数的值域问题加以解决.
当x=0时,-1=0,不成立,故x≠0,所以011.答案　(0,1)
解析　解法一:因为函数f(x)=ln x-m在(1,e)上单调递增,且图象连续不断,所以f(1)·f(e)<0,所以m(m-1)<0,故m∈(0,1).
解法二:令f(x)=ln x-m=0,得m=ln x,
因为x∈(1,e),所以ln x∈(0,1),故m∈(0,1).
12.答案　(0,1)
解析　作出函数f(x)的图象和直线y=k,如图所示.
当k∈(0,1)时,函数f(x)的图象和直线y=k有三个交点,所以k∈(0,1).
13.答案　(-2,+∞)
解析　作出函数f(x)的图象如图.
若f(x)-m=0有两个不同的零点,则函数y=f(x)和y=m的图象有两个交点,结合f(x)的图象可知,当m>-2时,两函数图象有两个交点.故m的取值范围为(-2,+∞).
能力提升练
1.A　f(x)=(x+1)x+x(x-1)+(x+1)(x-1)=3x2-1,
令f(x)=0,解得x=±,
-∈(-1,0),∈(0,1),故选A.
2.BC　在同一直角坐标系中画出函数y=ex,y=ln x,y=1-x的图象,如图,
根据图象可知,当ea=ln b=1-c∈(0,1)时,a1时,c故选BC.
3.答案　log34
解析　由f(x)是奇函数知f(x)+f(-x)=0,
即+a++a=0,化简得2a-1=0,解得a=,因此f(x)=+,
令+=,即3x=4,
解得x=log34.
故f(x)=的解为x=log34.
4.答案　2
解析　方程x+2x=2的根为a,即函数y=2x和y=2-x的图象的交点的横坐标为a.
方程x+log2x=2的根为b,即函数y=log2x和y=2-x的图象的交点的横坐标为b.
在同一坐标系中画出函数y=2x,y=log2x,y=2-x的图象,如图所示.
结合图象易知点A,B关于直线y=x对称,
所以A(a,b),B(b,a),
又点A在直线y=2-x上,
所以b=2-a,即a+b=2.
5.C　令f(x)=1,当x∈(-1,3)时,|log2(x+1)|=1,解得x1=-,x2=1;当x∈[3,+∞)时,=1,解得x3=5.作出y=f(x)的图象如图所示.
由图象可得f(x)=-无解,f(x)=1有3个解,f(x)=5有1个解,因此函数g(x)=f[f(x)]-1的零点个数为4.故选C.
6.答案　3
解析　由g(x)=(x-2)f(x)-2x+1=0,g(2)=-3≠0,得f(x)==2+,作出函数y=f(x)=与y=2+的图象,如图所示,
两个函数图象共有3个交点,故函数g(x)的零点个数为3.
7.C　令g(x)=f(x)+1-m=0,则f(x)=m-1,在同一直角坐标系中画出函数y=f(x)和y=m-1的图象,则两图象有4个交点,
所以08.D　作出函数y=f(x)=的图象如图.
在方程[f(x)]2=(a+1)f(x)-a中,令t=f(x),
则t2-(a+1)t+a=(t-1)(t-a)=0,此方程的根为1,a,
由f(x)的图象可知,直线y=1与y=f(x)的图象有3个交点,即f(x)=1有3个不同的实数解,
故若关于x的方程[f(x)]2=(a+1)f(x)-a有7个不同的实数根,
则f(x)=a有4个不同的实数根,即直线y=a与y=f(x)的图象有4个交点,
所以09.答案　
解析　作出函数f(x)的图象如图所示.
由图象可知当0不妨设x1则由函数图象可知x1∈,|log2x1|=|log2x2|,即-log2x1=log2x2,∴x1x2=1,
∴x2=,
由二次函数图象的对称性可知x3+x4=8,
∴x1+x2+x3+x4=x1++8,
易知x1∈时,y=x1++8单调递减,所以1010.解析　 (1)作出函数f(x)的图象,如图,
由图象可知,当且仅当a=2或a=-2时,直线y=a与函数y=f(x)的图象有三个交点,
∴当且仅当a=2或a=-2时,函数g(x)恰有三个不相同的零点.
(2)由f(x)的图象可知,当-1则x1+x2=-10,x5+x6=10,x3是方程-3-x+7-a=0的解,x4是方程3x-7-a=0的解,
∴x3=-log3(7-a),x4=log3(7+a),
∴h(a)=-10-log3(7-a)+log3(7+a)+10=log3,
当-1故当-11