人教A版（2019）必修第一册第四章　指数函数与对数函数复习提升（Word含答案）

第四章　指数函数与对数函数复习提升
易混易错练
易错点1　不能正确进行指数、对数的相关运算
1.已知x=log43,则的值为　　　　.
2.求下列各式的值:
(1)++;
(2)lg -lg+lg ;
(3)-log37×log79+log186+log183.
易错点2　忽视对参数取值范围的讨论导致错误
3.(2022辽宁协作校期末)已知函数f(x)=loga(ax2-2x+4)(a>0,且a≠1)在区间上单调递增,则a的取值范围是　　　　.
4.已知loga<1(a>0,且a≠1),求实数a的取值范围.
5.(2020天津滨海新区期末)已知函数f(x)=loga(2+x)(a>0,a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若f(2)=2,判断函数f(x)的单调性,并用单调性的定义证明;
(3)解关于x的不等式f(x)>0.
易错点3　研究函数时忽视定义域与值域导致错误
6.(2022湖南岳阳期末)已知函数y=ln(x2-ax+3a)在[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-4,+∞)　　　　　　B.(0,4]
C.[4,+∞)　　　　　　D.(-4,4]
7.(2020山东枣庄期末)已知f(x)=若a8.(2022浙江温州新力量联盟期中)已知函数f(x)=4x-2x+1+k的定义域是[-1,+∞),g(x)=f(x)+f(-x).
(1)写出g(x)的定义域,并求g(x)的最小值;
(2)若对于y=g(x)的定义域中的任意实数x1,x2,x3,x4,x5,
kg(x5)>g(x1)+g(x2)+g(x3)+g(x4)恒成立,求实数k的取值范围.
思想方法练
　一、方程思想在解决函数问题中的运用
1.(2020浙江温州十五校期中联考)函数f(x)=|log2x|-e-x的所有零点的积为m,则(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.m=1　　　　　　B.m∈(0,1)
C.m∈(1,2)　　　　　　D.m∈(2,+∞)
2.(2020山东菏泽期末联考)若函数f(x)满足:在定义域内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)具有性质M;反之,则称函数f(x)不具有性质M.
(1)证明函数f(x)=2x具有性质M,并求出对应的x0的值;
(2)已知函数h(x)=lg 具有性质M,求实数a的取值范围.
二、数形结合思想在解决函数问题中的运用
3.(2022江苏镇江期末)函数f(x)=x2+-3的零点个数为(　　)
A.0　　　　　B.1　　　　　C.2　　　　　D.3
(2022江苏苏州期末)若实数a,b满足a·2a=b·log2b=4,则a　　　　b(填“<”“=”或“>”).
5.函数y=2|x|-x2的大致图象是(　　)
三、分类讨论思想在解决函数问题中的运用
6.(2022福建龙岩期末)若函数f(x)=ex+ln(x-a)在(0,+∞)上存在零点,则实数a的取值范围是　　　　.
7.(2020山东泰安期末)已知f(x)=loga(x-2a)+loga(x-3a)(a>0,且a≠1).
(1)当a=时,若方程f(x)=lo(p-x)在(2,3)上有解,求实数p的取值范围;
(2)若f(x)≤1在[a+3,a+4]上恒成立,求实数a的取值范围.
四、转化与化归思想在解决函数问题中的运用
8.(2022湖南张家界期末)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞), f(1)=1+e,对任意的x1,x2∈(0,+∞),当x2>x1时,都有x2 f(x1)-x1·f(x2)>x2-x1,则不等式f(ln x)>x+ln x的解集为(　　)
A.(1,+∞)　　　　　　B.(e,+∞)
C.(1,e)　　　　　　D.(0,e)
9.设函数f(x)=+aex(a为常数),若对任意x∈R, f(x)≥3恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　.
答案全解全析
易混易错练
1.答案　
解析　因为x=log43,所以4x=3,2x=,
所以==22x-1+2-2x=-1+=3-1+=.
2.解析　(1)原式=π-++4=π+3.
(2)原式=lg-lg[(23+lg
=lg -lg 4=lg =lg =.
(3)-log37×log79+log186+log183
=3-×+log18(6×3)=3-×+log1818
=3-2+1=2.
易错警示　准确记住指数运算、对数运算的相关公式是指数、对数运算正确的基本保证,解题时要防止公式记错,同时要注意公式成立的条件.如()n=a(n>1,且n∈N*)有意义的条件是有意义;当n为偶数时,=|a|,当n为奇数时,=a;对数式中真数大于0,底数大于0且不等于1等.
3.答案　∪[2,+∞)
解析　令t=ax2-2x+4,x∈.
当a>1时,y=logat在t∈(0,+∞)上单调递增,若f(x)在上单调递增,则t=ax2-2x+4在上单调递增,且t>0,
则解得a≥2;
当00,
则解得≤a≤.
所以a的取值范围是∪[2,+∞).
4.解析　loga<1 loga当a>1时,由loga,故a>1;
当0综上,实数a的取值范围为.
5.解析　(1)由题意知2+x>0,解得x>-2,
则函数f(x)的定义域为{x|x>-2}.
(2)∵f(2)=2,∴loga4=2,∴a=2,
∴f(x)=log2(2+x),∴函数f(x)在(-2,+∞)上单调递增.证明如下:
任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=log2(2+x1)-log2(2+x2)=log2.
∵-2∴log2<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(3)f(x)>0,即loga(2+x)>0,即loga(2+x)>loga1.
当0当a>1时,解得x>-1.
综上所述,当01时,不等式的解集为{x|x>-1}.
易错警示　在研究指数函数、对数函数有关问题时,若底数中含有参数,其单调性不能确定,应分a>1, 06.D　∵函数y=ln(x2-ax+3a)在[2,+∞)上单调递增,
∴函数t=x2-ax+3a在[2,+∞)上单调递增,且有t>0,
∴解得-4因此a的取值范围为(-4,4],故选D.
易错警示　在研究形如y=loga f(x)(a>0且a≠1)型函数的性质时,可转化为研究f(x)的性质,同时要注意f(x)>0这一隐含条件.
7.答案　 (-∞,8]
解析　依题意得a≤1由f(a)=f(b)得3a=3b-4,即3b=3a+4.
令S=a+3b=a+3a+4.
∵函数S=a+3a+4在(-∞,1]上单调递增,
∴S≤1+31+4=8,因此S的取值范围是(-∞,8].
易错警示　求某个式子的最大(小)值,关键是选一个自变量,建立这个式子与此自变量的函数关系,利用函数知识求解,本题中若找不准自变量的取值范围则易导致解题错误.
8.解析　(1)由可得-1≤x≤1,
所以g(x)的定义域为[-1,1].
g(x)=f(x)+f(-x)
=4x-2x+1+k+4-x-2-x+1+k
=4x+4-x-2(2x+2-x)+2k
=-2(2x+2-x)+2k-2
=+2k-3,
令t=2x,-1≤x≤1,则≤t≤2,易知y=t+在上单调递减,在[1,2]上单调递增,
所以2≤y≤,即2x+2-x∈,
所以当2x+2-x=2,即x=0时,g(x)取得最小值,为2k-2.
(2)因为对于y=g(x)定义域中的任意实数x1,x2,x3,x4,x5,
kg(x5)>g(x1)+g(x2)+g(x3)+g(x4)恒成立,所以[kg(x)]min>4g(x)max,
由(1)可得g(x)min=2k-2,g(x)max=+2k-3=2k-,
当k=0时,0>4×成立,所以k=0符合题意;
当k>0时,则k(2k-2)>4,解得k>或0当k<0时,则k>4,解得k<0.
所以实数k的取值范围是∪.
思想方法练
1.B　由f(x)=0,得|log2x|=e-x,在同一平面直角坐标系中作出函数y=|log2x|与y=e-x的图象,如图所示.
由图象知f(x)=0有两个实数解x1,x2,且0∴-log2x1=,log2x2=,
由函数的零点就是方程的解,列出关于x1,x2的方程.
∴log2x1+log2x2=-<0,
即log2(x1x2)<0,
∴02.解析　(1)由f(x0+1)=f(x0)+f(1),得=+2,
利用新定义列出关于x0的方程,通过方程的解的情况判断.
即=2,解得x0=1,所以函数f(x)=2x具有性质M,且x0=1.
(2)易知h(x)的定义域为R,且a>0.
因为h(x)具有性质M,
所以在R上存在x0,使h(x0+1)=h(x0)+h(1),
利用新定义列出关于x0的方程.
即lg =lg +lg ,即2(+1)=a(x0+1)2+a,
整理得(a-2)+2ax0+2a-2=0.
若a=2,则x0=-,满足题意;若a≠2,则Δ≥0,即a2-6a+4≤0,
利用一元二次方程解的情况求解.
解得3-≤a≤3+,所以a∈[3-,2)∪(2,3+].
综上可得a∈[3-,3+].
思想方法　在指数函数与对数函数中,利用条件得到等式,运用代数手段构造方程,通过方程的知识结合指数、对数运算解题,是一种最基本的方法.
3.C　令f(x)=x2+-3=0,则2-x=3-x2,
在同一平面直角坐标系中作出函数y=2-x与y=3-x2的图象如图:
通过对应函数图象的交点情况,得到函数的零点个数.
由图可知,两个函数图象有两个交点,
∴函数f(x)=x2+-3的零点个数是2.故选C.
4.答案　<
解析　a·2a=b·log2b=4,∴2a=,log2b=,
对已知条件变形后,把a,b转化为相关函数图象的交点的横坐标,数形结合即知a,b的大小关系.
在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x,y=log2x,y=(x>0)的图象如下,
由图可知a5.A　易知f(x)=2|x|-x2的定义域为R,关于原点对称.
又f(-x)=2|-x|-(-x)2=2|x|-x2=f(x),
∴f(x)=2|x|-x2为偶函数,图象关于y轴对称,故排除D;
利用函数的性质,分析函数的图象特征.
由f(0)=2|0|-02=1>0,排除B;
由f(3)=2|3|-32=-1<0,排除C.故选A.
思想方法　在解决指数函数与对数函数的问题时要注意数形结合,利用图象可简化思维过程,使问题变得形象直观,同时,可结合函数的性质来分析、绘制函数的图象.
6.答案　
解析　令f(x)=ex+ln(x-a)=0,则-ex=ln(x-a),
若f(x)在(0,+∞)上存在零点,则函数y=-ex与y=ln(x-a)的图象在(0,+∞)上有交点,
易知y=-ex在(0,+∞)上单调递减,且当x=0时,y=-1;y=ln(x-a)在(a,+∞)上单调递增,
a的大小影响函数图象的相对位置,故分情况讨论求解.
当a≥0时,易知两函数图象在(0,+∞)上必有交点,满足题意;
当a<0时,如图所示,
只需ln(-a)<-1,解得-综上所述,实数a的取值范围是.
7.解析　(1)当a=时, f(x)=lo(x-1)+lo=lo,
易知函数f(x)的定义域为.
f(x)=lo(p-x),即(x-1)=p-x,
即x2-x+-p=0,
令g(x)=x2-x+-p=+-p,
∵<2,∴g(x)在(2,3)上单调递增,
∵f(x)=lo(p-x)在(2,3)上有解,
∴∴(2)f(x)=loga(x2-5ax+6a2)
=loga.
设u=-,则f(x)可以看成由y=logau,u=-复合而成.
易知f(x)的定义域为(3a,+∞),∴a+3>3a,∴a<,∴a+3>,
∴函数u=-在区间[a+3,a+4]上单调递增.
与对数函数有关的函数的单调性问题,利用底数与1的大小关系进行分类讨论求解.
若0∴f(x)在[a+3,a+4]上的最大值为f(a+3)=loga(2a2-9a+9).
∵f(x)≤1在[a+3,a+4]上恒成立,
∴loga(2a2-9a+9)≤1,∴2a2-9a+9≥a,
解得a≥或a≤,∴0若1∴f(x)在[a+3,a+4]上的最大值为f(a+4)=loga(2a2-12a+16).
∵f(x)≤1在[a+3,a+4]上恒成立,
∴loga(2a2-12a+16)≤1,∴2a2-12a+16≤a,解得≤a≤,
∵>,∴不存在a满足题意.
综上,实数a的取值范围为(0,1).
思想方法　在研究有些数学问题时要根据题目的特点和要求,分成若干类,转化成若干个小问题来解决.在指数函数、对数函数的问题中,要注意底数对函数的图象和性质的影响,解题时通常需要对底数进行分类讨论.
8.C　当x2>x1>0时,x2 f(x1)-x1 f(x2)>x2-x1,
即x2[f(x1)-]>x1[f(x2)-],即>.
设F(x)=,x∈(0,+∞),
构造函数,将已知条件转化为函数的单调性.
则对任意的x1,x2∈(0,+∞),
当x2>x1时,都有F(x1)>F(x2),
∴F(x)在(0,+∞)上单调递减.
若f(ln x)>x+ln x,则ln x>0,
则F(ln x)=>1,
∵f(1)=1+e,∴F(1)==1,
∴原不等式等价于F(ln x)>1=F(1),
等价转化所求不等式,再根据单调性转化为自变量的大小关系.
∵F(x)在(0,+∞)上单调递减,∴09.答案　
解析　f(x)≥3,即+aex≥3,即a≥-.
令t=,则t>0,a≥3t-t2.
设g(t)=-t2+3t=-+,t>0,
则当t=时,g(t)max=,
若不等式a≥3t-t2恒成立,则a≥,
将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题.
故实数a的取值范围是.
思想方法　转化与化归思想在研究指数函数与对数函数中常见的运用:利用函数奇偶性对原点左右两侧函数值进行转化;利用换元法将函数解析式化归为简单的解析式;利用构造函数将复杂的问题化为简单的问题等.
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