人教A版（2019）必修第一册 5.4.2.1周期性、奇偶性与对称性（Word含答案）

5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
第1课时　周期性、奇偶性与对称性
基础过关练
　题组一　正、余弦(型)函数的周期性
1.函数y=cos的最小正周期是(　　)
A.　　　　　B.　　　　　C.2π　　　　　D.5π
2.设ω为实数,函数f(x)=3sin的最小正周期为,则ω的值为(　　)
A.2　　　　　B.±4　　　　　C.4π　　　　　D.±4π
3.设f(x)是定义域为R,最小正周期为的函数,若0A.1　　　　　B.　　　　　C.0　　　　　D.-
4.已知函数y=sin x+|sin x|.
(1)画出该函数的简图;
(2)这个函数是周期函数吗 如果是,求出它的最小正周期.
题组二　正、余弦(型)函数的奇偶性
5.下列函数中是偶函数的是(　　)
A.y=sin 2x　　　　　　B.y=-sin x
C.y=sin|x|　　　　　　D.y=sin x+1
6.设f(x)=sin,x∈R,则f(x)是(　　)
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数
D.最小正周期为的偶函数
7.函数f(x)=(　　)
A.是奇函数
B.既不是奇函数也不是偶函数
C.是偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
题组三　正、余弦(型)函数图象的对称性
8.(多选)函数f(x)=cos的图象的对称轴方程可以为(　　)
A.x=　　　　　　B.x=
C.x=　　　　　　D.x=-
9.(2022吉林延边期末)下列关于函数f(x)=2sin的图象的说法正确的是(　　)
A.关于点对称
B.关于直线x=-对称
C.关于直线x=对称
D.关于点对称
10.已知函数f(x)=cos,则f(x)的最小正周期是　　　　, f(x)的图象的对称中心是　　　　　　　.
能力提升练
题组一　正、余弦(型)函数的周期性、奇偶性与图象的对称性
1.(2022四川资阳期末)已知函数y=sin(x+φ)(0<φ<π)为偶函数,则φ=(　　)
A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.
2.下列函数中,周期为π的奇函数是(　　)
A.y=cos 　　　　　　B.y=sin(2x+3π)
C.y=cos(π+2x)　　　　　　D.y=
3.(多选)关于函数f(x)=4sin(x∈R),下列命题正确的是(　　)
A.y=f(x)可改写为y=4cos
B.y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数
C.函数y=f是奇函数
D.y=f的图象关于y轴对称
4.已知函数f(x)=2cos x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+
f(2 022)=　　　　.
题组二　函数奇偶性与周期性的综合运用
5.(2021江西南昌第三中学月考)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时, f(x)=sin x,求f的值.
6.若f(x)是奇函数,且f(x+1)=-f(x),当x∈(-1,0)时, f(x)=2x+1,求f的值.
7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且y=f(x)的图象关于直线x=2对称.
(1)证明:f(x)是周期函数;
(2)若当x∈[-2,2]时, f(x)=-x2+1,求当x∈[-6,-2]时, f(x)的解析式.
答案全解全析
基础过关练
1.D　函数y=cos的最小正周期是=5π.故选D.
2.B　由题意可得=,则ω=±4.故选B.
3.B　由题意可得f=f=f=sin =.
4.解析　(1)y=sin x+|sin x|
=k∈Z.函数图象如图所示.
(2)由图象知该函数是周期函数,函数的最小正周期是2π.
5.C　A,B中的函数是奇函数,C中的函数是偶函数,D中的函数既不是奇函数也不是偶函数.
6.B　f(x)的最小正周期为=π.
∵sin=-sin=-cos 2x,
∴f(x)=-cos 2x.
∵f(-x)=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x),f(x)的定义域为R,关于原点对称,
∴f(x)是偶函数.
7.B　因为1+sin x≠0,所以sin x≠-1,即x≠-+2kπ,k∈Z,故f(x)的定义域不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
8.BC　令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z.
对于A,令-=,解得k= Z,故A错误;
对于B,令-=,解得k=1∈Z,故B正确;
对于C,令-=,解得k=2∈Z,故C正确;
对于D,令-=-,解得k=- Z,故D错误.
故选BC.
9.C　 f=2sin=-2,故f(x)的图象关于直线x=对称,A错误;
f=2sin=0,故f(x)的图象关于点对称,B错误;
f=2sin=2,故f(x)的图象关于直线x=对称,C正确;
f=2sin=1≠0,D错误.
故选C.
10.答案　4π;(k∈Z)
解析　f(x)的最小正周期是=4π.
令+=kπ+,k∈Z,得x=2kπ+,k∈Z,
故f(x)的图象的对称中心是,k∈Z.
能力提升练
1.C　因为函数y=sin(x+φ)(0<φ<π)为偶函数,所以sin(-x+φ)=sin(x+φ),所以-x+φ=2kπ+π-(x+φ),k∈Z,所以φ=kπ+,k∈Z,
因为0<φ<π,所以k=0,故φ=.故选C.
方法总结　与三角函数奇偶性有关的结论
(1)若y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z);
(2)若y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)为偶函数,则φ=kπ+(k∈Z);
(3)若y=Acos(ωx+φ)(A,ω≠0)为奇函数,则φ=kπ+(k∈Z);
(4)若y=Acos(ωx+φ)(A,ω≠0)为偶函数,则φ=kπ(k∈Z).
2.B　对于A,y=cos =-sin ,是奇函数,周期T==4π,不符合题意;
对于B,y=sin(2x+3π)=-sin 2x,是奇函数,周期T==π,符合题意;
对于C,y=cos(π+2x)=-cos 2x,是偶函数,不符合题意;
对于D,y==|sin x|,是偶函数,不符合题意.故选B.
3.ACD　A正确, f(x)=4sin=4cos
=4cos;B错误,f(x)的最小正周期T==π;C正确, f=4sin2x-+=4sin 2x,是奇函数;D正确, f=4sin=4cos 2x,是偶函数,其图象关于y轴对称.故选ACD.
4.答案　0
解析　易得f(x)的周期为=6, f(1)=1, f(2)=-1, f(3)=-2,f(4)=-1, f(5)=1, f(6)=2,
∴ f(1)+f(2)+…+f(6)=0,
∵2 022=6×337,∴f(1)+f(2)+…+f(2 022)=0×337=0.
5.解析　∵f(x)的最小正周期为π,
∴f=f=f=f=f.
又f(x)是偶函数,∴f=f=sin =.
6.解析　因为f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x+1),所以f(x+2)=f(x),即f(x)的一个周期为2,
所以f=f=f.
又因为f(x)为奇函数,且x∈(-1,0)时, f(x)=2x+1,
所以f=-f=-=0,
故f=0.
7.解析　(1)证明:由题意得f(-x)=f(x), f(2+x)=f(2-x),所以f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[2-(x+2)]=f(-x)=f(x).故f(x)是以4为周期的周期函数.
(2)当x∈[-6,-2]时,x+4∈[-2,2].
所以f(x)=f(x+4)=-(x+4)2+1=-x2-8x-15.
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