人教A版（2019）必修第一册 5.4.2.2单调性与值域（Word含答案）

第2课时　单调性与值域
基础过关练
　题组一　正、余弦(型)函数的单调性
1.函数f(x)=cos的单调递减区间是　　　　　　　.
2.函数y=2sin(ω>0)的周期为π,则其单调递增区间为　　　　　　　.
3.函数f(x)=sin,x∈[0,π]的单调递增区间为　　　　,单调递减区间为　　　　.
题组二　利用正、余弦函数的单调性比较大小
4.(2021安徽淮北树人高级中学月考)设a=cos ,b=sin ,c=cos ,则(　　)
A.a>c>b　　　　　　B.c>b>a
C.c>a>b　　　　　　D.b>c>a
5.(多选)下列不等式中成立的是(　　)
A.sin>sin B.cos 400°>cos(-50°)
C.sin 3>sin 2 D.sin >cos
6.比较下列各组数的大小:
(1)sin 220°与sin 230°;
(2)cos 与cos ;
(3)sin与cos.
题组三　正、余弦(型)函数的值域与最大(小)值
7.函数f(x)=2sin 2x的最小正周期和最大值分别是(　　)
A.2π,2　　　　　B.π,2　　　　　C.2π,1　　　　　D.π,1
8.y=sin x-|sin x|的值域是(　　)
A.[-1,0]　　　　　　B.[0,1]
C.[-1,1]　　　　　　D.[-2,0]
9.函数y=的最小值是(　　)
A.2　　　　　B.-2　　　　　C.1　　　　　D.-1
10.(2020山东安丘实验中学期中)已知函数f(x)=2sin,若对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)(x1,x2∈R)成立,则|x1-x2|的最小值为　　　　.
11.已知函数f(x)=1-sin2x+sin x,当x=　　　　时, f(x)取得最大值.
12.(2022山东临沂期末)已知函数f(x)=3sin.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
能力提升练
题组一　正、余弦(型)函数的单调性与最大(小)值
1.(多选) x∈R,a≤2+sin x成立的充分不必要条件可以是(　　)
A.a=0　　　　　　B.a≤1
C.a=1　　　　　　D.a=3
2.(2022北京海淀期末)若函数y=sin在[0,m]上单调递增,则m的最大值为(　　)
A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.1
3.(2020福建八县(市)期末联考)已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是 (　　)
A.　　　　　　B.(0,2]
C.　　　　　　D.
4.(2022湖北襄阳期末)若关于x的方程cos2x-sin x+a=0在内有解,则实数a的取值范围是　　　　.
5.已知函数f(x)=2sin+1.
(1)求函数f(x)的周期;
(2)求函数f(x)在(0,π)上的单调区间;
(3)若对任意x∈R,不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立,试求m的取值范围.
题组二　正、余弦(型)函数性质的综合运用
6.(多选)(2022吉林长春期末)已知定义在区间[-π,π]上的函数f(x)=cos x-x2,则下列条件中能使f(x1)A.-π≤x1C.|x1|>|x2|　　　　　　D.≤
7.(2020辽宁六校期中联考)函数f(x)=2sin-m,若f(x)≤0在x∈上恒成立,则m的取值范围是　　　　;若f(x)=0在x∈上有两个不同的实数解,则m的取值范围是　　　　.
8.已知函数f(x)=a-bcos(b>0)的最大值为,最小值为-.
(1)求a,b的值;
(2)求函数g(x)=-4asin的最小值,并求出取最小值时x的集合.
9.(2020山东泰安期末)从①函数f为奇函数;②当x=时, f(x)=;③是函数f(x)的一个零点这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<, f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为π,　　　　　.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间.
10.已知函数f(x)=3sin是奇函数.
(1)求函数f(x)的最大值与最小值,并写出取得最大值、最小值时自变量的取值集合;
(2)求函数g(x)=f,x∈的单调递增区间.
答案全解全析
基础过关练
1.答案　(k∈Z)
解析　令2kπ≤2x-≤π+2kπ,k∈Z,
得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故f(x)的单调递减区间是(k∈Z).
2.答案　(k∈Z)
解析　由题意可得=π,∴ω=2,
∴y=2sin.
令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
3.答案　;
解析　f(x)=-sin,x∈[0,π],令-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.又0≤x≤π,所以0≤x≤,所以f(x)的单调递减区间为.同理, f(x)的单调递增区间为.
4.A　由已知得b=sin =sin=sin =sin =cos ,
c=cos =cos ,
因为>>>>0,且y=cos x在上是减函数,
所以cos >cos >cos ,即a>c>b,故选A.
5.BD　y=sin x在上单调递增,且-<-<-<0,∴sincos 400°=cos 40°>cos 50°=cos(-50°),故B成立.
∵y=sin x在上单调递减,<2<3<π,
∴sin 2>sin 3,故C不成立.
sin =-sin ,cos =-cos =-sin-=-sin .
∵0<<<,且y=sin x在上单调递增,
∴sin cos ,故D成立.
故选BD.
6.解析　(1)因为函数y=sin x在上单调递减,且90°<220°<230°<270°,所以sin 220°>sin 230°.
(2)cos =cos=cos ,
cos =cos=cos .
因为函数y=cos x在[0,π]上单调递减,且0<<<π,
所以cos >cos ,即cos >cos .
(3)sin=sin =-sin ,
cos=cos =-cos =-sin .
因为函数y=sin x在上单调递增,且-<<<,
所以sin 所以-sin >-sin ,
即sin>cos.
7.B　
8.D　y=sin x-|sin x|=当-1≤sin x<0时,-2≤2sin x<0,因此函数的值域为[-2,0].
9.B　因为y==2-,所以当sin x=-1时,y=取得最小值-2.
10.答案　4π
解析　因为f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R都成立,所以f(x1)为f(x)的最小值, f(x2)为f(x)的最大值.
|x1-x2|取最小值时,x1与x2必为f(x)在同一周期内的最小值和最大值对应的x,设f(x)的最小正周期为T,则=,又T==8π,所以=4π.
11.答案　
解析　令t=sin x,则y=1-t2+t=-+(0≤t≤1),所以当t=,即x=时,函数取得最大值.
12.解析　(1)因为函数f(x)=3sin,
所以f(x)的最小正周期为=π.
(2)当-≤x≤时,-≤2x+≤,而正弦函数y=sin x在上递增,在上递减,且sin所以当2x+=,即x=时,sin取得最大值1,则f(x)max=3,
当2x+=-,即x=-时,sin取得最小值-,则f(x)min=-,
所以f(x)在区间上的最大值为3,最小值为-.
能力提升练
1.AC　若 x∈R,a≤2+sin x恒成立,则a≤(2+sin x)min,
又(2+sin x)min=1,所以a≤1,
所以结合选项可知 x∈R,a≤2+sin x成立的充分不必要条件可以是a=0或a=1.故选AC.
2.C　令-+2kπ≤πx-≤+2kπ,k∈Z,得-+2k≤x≤+2k,k∈Z,
故y=sin在,k∈Z上单调递增,当k=0时,x∈,若函数在[0,m]上单调递增,则0故m的最大值为.故选C.
3.C　∵函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递减,∴周期T=≥π,解得0<ω≤2.
∵f(x)=sin的单调递减区间满足+2kπ≤ωx+≤+2kπ,k∈Z,即+≤x≤+,k∈Z,
∴存在k∈Z,使+≤,+≥π均成立,此时+4k≤ω≤+2k,k∈Z,
∴≤ω≤,即ω的取值范围是,故选C.
4.答案　
解析　方程可化为a=sin x-cos2x,设f(x)=sin x-cos2x=sin x-(1-sin2x)=sin2x+sin x-1=-.
由x∈知,sin x∈(-1,1],当sin x=-时, f(x)取得最小值-,当sin x=1时, f(x)取得最大值1,∴f(x)的值域为.
原方程在内有解等价于a=f(x)有解,
∴实数a的取值范围是.
5.解析　(1)函数f(x)的周期为=π.
(2)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
当k=0时,-≤x≤,
当k=1时,≤x≤.
∵x∈(0,π),
∴函数f(x)在(0,π)上的单调递增区间为,.
同理,函数f(x)在(0,π)上的单调递减区间为.
(3)∵f(x)=2sin+1,
∴-1≤f(x)≤3,∴f(x)+2>0,
∴mf(x)+2m≥f(x)可化为m≥1-,∴若不等式恒成立,只需m≥即可.
∵-1≤f(x)≤3,
∴-1≤1-≤,∴m≥.
6.AC　∵f(x)=cos x-x2,∴f(-x)=cos(-x)-(-x)2=cos x-x2=f(x),
又f(x)的定义域为[-π,π],关于原点对称,
∴f(x)是偶函数.易知f(x)在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减,
因此当-π≤x1由f(x)是偶函数, f(x1)|x2|,∴>,
从而C正确,D错误.故选AC.
7.答案　m≥2;1≤m<2
解析　f(x)≤0可化为m≥2sin,
当x∈时,2x-∈,
所以2sin∈[-1,2],
所以2sin的最大值为2,所以m≥2.
f(x)=0在x∈上有两个不同的实数解等价于函数y=2sin,x∈与y=m的图象有两个交点.
函数y=2sin,x∈的图象如图所示:
由图可知,1≤m<2.
故答案为m≥2;1≤m<2.
8.解析　(1)∵cos∈[-1,1],b>0,
∴∴
(2)由(1)知a=,b=1,
∴g(x)=-2sin.
∵sin∈[-1,1],
∴g(x)∈[-2,2].
∴g(x)的最小值为-2,
此时sin=1,则x-=2kπ+,k∈Z,
∴x=2kπ+,k∈Z,故取最小值时x的集合为.
9.解析　(1)∵函数f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为π,
∴函数f(x)的最小正周期T==2π,∴ω=1,
∴f(x)=2sin(x+φ).
选条件①.
∵f=2sin为奇函数,
∴φ-=kπ,k∈Z,∴φ=+kπ,k∈Z.
∵0<φ<,∴φ=,
∴f(x)=2sin.
选条件②.
∵f=2sin=,
∴sin=,
∴+φ=+2kπ或+φ=+2kπ,k∈Z,
∴φ=2kπ或φ=+2kπ,k∈Z.
∵0<φ<,∴φ=,
∴f(x)=2sin.
选条件③.
∵是函数f(x)的一个零点,
∴f=2sin=0,
∴+φ=kπ,k∈Z,
∴φ=kπ-,k∈Z.
∵0<φ<,∴φ=,
∴f(x)=2sin.
(2)令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,
令k=0,得-≤x≤,
令k=1,得≤x≤.
∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为,.
10.解析　(1)由题意得f(0)=0,即3sin=0,因此-+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ+,k∈Z,
而0<φ<,所以φ=,
故f(x)=3sin 2x.
当2x=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值3,
当2x=2kπ-(k∈Z),即x=kπ-(k∈Z)时,f(x)取得最小值-3,
所以f(x)取最大值3时,自变量x的取值集合是,
f(x)取最小值-3时,自变量x的取值集合是.
(2)由(1)得g(x)=f=3sin=-3sin,x∈,
令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
又x∈,
所以函数g(x)=f,x∈的单调递增区间为.
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