人教A版（2019）必修第一册 5.4.3　正切函数的性质与图象（Word含答案）

5.4.3　正切函数的性质与图象
基础过关练
题组一　正切(型)函数的定义域、值域
1.(2021云南昆明第二十三中学期中)函数y=tan的定义域为　　　　.
2.已知x∈[0,2π],则函数y=+的定义域为　　　　.
3.函数y=tan,x∈的值域为　　　　.
题组二　正切(型)函数的图象及其应用
4.函数y=tan在一个周期内的图象是(　　)
5.(2022北京二中月考)函数f(x)=tan ωx(ω>0)图象中的相邻两支截直线y=1所得的线段长为,则f 的值是(　　)
A.0　　　　　B.1　　　　　C.-1　　　　　D.
6.(多选)与函数y=tan的图象不相交的直线是(　　)
A.x=　　　　　　B.x=-
C.x=　　　　　　D.x=-
7.根据正切函数的图象,写出使不等式3+tan 2x≥0成立的x的取值集合.
题组三　正切(型)函数的周期性、奇偶性、单调性、图象的对称性
8.(2022四川眉山期末)函数f(x)=2tan的最小正周期为(　　)
A.　　　　　　B.π C.2π　　　　　　D.4π
9.(多选)(2022湖南湘潭一中期末)已知函数f(x)=tan 2x,则下列结论正确的是(　　)
A. f(x)是奇函数
B. f(x)的定义域是
C.f(x)在上单调递增
D.f(x)的图象的对称中心是,k∈Z
10.(2022安徽六安一中期末)已知a=,b=lo3,c=tan 53°,则(　　)
A.a11.(2021贵州兴仁凤凰中学期末)函数y=tan的单调递减区间为　　　　　.
12.(2021上海延安中学期末)已知函数y=tan ωx在上单调递增,则实数ω的取值范围是　　　　.
能力提升练
题组一　正切(型)函数的定义域、值域
1.(2022河北定州期末)函数f(x)=ln(-x2+2x)+tan x的定义域是(　　)
A.∪ B.(0,2)
C.(-∞,0)∪(2,+∞) D.
2.已知函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈,则其值域为　　　　.
3.函数y=的值域为　　　　.
题组二　正切(型)函数的图象及其应用
4.(2020北京人大附中阶段检测)函数y=cos x·|tan x|的大致图象是(　　)
5.(多选)若函数f(x)=则(　　)
A. f(x)的值域为(-1,+∞)
B. f(x)的单调递增区间为(k∈Z)
C.当且仅当kπ-D. f(x)的最小正周期是2π
题组三　正切(型)函数性质的综合应用
6.函数f(x)=的最小正周期是(　　)
A.2π　　　　　　B.π
C.　　　　　　D.
7.(2022广东广州期中)已知函数f(x)=tan x+sin x,若对任意x∈, f(x)>a恒成立,则a的取值范围是(　　)
A.　　　　　　B.
C.　　　　　　D.
8.若函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为π,则(　　)
A. f(2)>f(0)>f
B. f(0)>f(2)>f
C. f(0)>f >f(2)
D. f >f(0)>f(2)
9.(2020河南鹤壁高级中学月考)已知函数f(x)=mtan x-ksin x+2(m,k∈R),若f =1,则f =(　　)
A.1　　　　　　B.-1
C.3　　　　　　D.-3
10.(2022吉林白山期末)若函数y=tan在上单调递减,且在上的最大值为,则ω=　　　　.
11.函数f(x)=2tan(ω>0)的图象的相邻对称中心之间的距离为.
(1)求使函数f(x)有意义且x∈[0,π]时, f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈时,求f(x)的值域.
12.已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z.
(1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值;
(2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的值;
(3)求使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数的θ的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.答案　
解析　由x-≠+kπ(k∈Z),得x≠+kπ(k∈Z).
2.答案　
解析　由题意知解得π≤x<,
∴函数的定义域为.
3.答案　(-1,)
解析　∵x∈,
∴x-∈,
∴tan∈(-1,),
∴函数的值域为(-1,).
4.A　当x=时,y=tan=0,故排除C,D;当x=时,y=tan=tan,无意义,故排除B.故选A.
5.A　因为函数f(x)=tan ωx(ω>0)图象中的相邻两支截直线y=1所得的线段长为,所以f(x)的周期为,则=,解得ω=4,
即f(x)=tan 4x,
故f=tan π=0.故选A.
6.AD　令2x-=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,
∴直线x=+,k∈Z与函数y=tan的图象不相交,
结合选项可知A、D符合.故选AD.
7.解析　不等式3+tan 2x≥0,即tan 2x≥-.如图所示,在同一平面直角坐标系中画出函数y=tan x,x∈的图象和直线y=-.
由图得,在区间内,不等式tan x≥-的解集是,
∴不等式tan x≥-的解集是xkπ-≤x令kπ-≤2x∴使不等式3+tan 2x≥0成立的x的取值集合是.
8.C　函数f(x)=2tan的最小正周期为=2π.故选C.
9.ACD　令2x≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z,故f(x)的定义域为,关于原点对称,
又f(-x)=tan(-2x)=-tan 2x=-f(x),所以f(x)是奇函数,故A正确,B错误;
对于C,令-+kπ<2x<+kπ,k∈Z,得-+对于D,令2x=,k∈Z,得x=,k∈Z,即f(x)的图象的对称中心是,k∈Z,故D正确.
故选ACD.
10.B　∵0
tan 45°=1,∴b故选B.
11.答案　,k∈Z
解析　y=tan=-tan,则要求函数的单调递减区间只需求y=tan的单调递增区间,令kπ-<2x-12.答案　(0,1]
解析　∵函数y=tan ωx在上单调递增,
∴解得0<ω≤1.
∴ω的取值范围是(0,1].
能力提升练
1.A　由题意得解得02.答案　[-4,4]
解析　∵-≤x≤,∴-1≤tan x≤1.
令tan x=t,则t∈[-1,1].
∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5,t∈[-1,1].
易知此函数在[-1,1]上单调递增,
∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4,
当t=1,即x=时,ymax=4.
故所求函数的值域为[-4,4].
3.答案　(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析　当-当01.
故当x∈∪时,函数y=的值域是(-∞,-1)∪(1,+∞).
4.C　依题意,y=cos x·|tan x|=由此判断出正确的选项为C.
5.AD　当tan x>sin x,即kπf(x)=tan x∈(0,+∞);
当tan x≤sin x,即kπ-综上, f(x)的值域为(-1,+∞),故A正确.
画出y=f(x)的大致图象,如图中实线部分所示.
由图可得f(x)的单调递增区间是和(k∈Z),故B错误.
当x∈(k∈Z)时, f(x)≤0,故C错误.
结合f(x)的图象可知f(x)的最小正周期是2π,故D正确.
故选AD.
6.D　函数f(x)=的图象是由y=tan的图象,把x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的,易知f(x)=的最小正周期与y=tan的最小正周期相同,为,故选D.
7.A　因为函数y=tan x和y=sin x在上都是增函数,所以函数f(x)=tan x+sin x在上是增函数,所以f(x)>f =tan+sin=-,若对任意x∈, f(x)>a恒成立,即a8.C　由函数f(x)=tan(ω>0)的最小正周期为π,可得=π,解得ω=1,则f(x)=tan,
令-+kπ得-+kπ当k=1时,又f(0)=f(π), f =f =f ,且>π>>2>,所以f(π)>f>f(2),
所以f(0)>f >f(2).
故选C.
9.C　解法一:∵f(x)=mtan x-ksin x+2(m,k∈R), f=1,∴f=mtan-ksin+2=m-k+2=1,∴m-k=-1,
∴f=mtan-ksin+2=-m+k+2=3.
解法二:令g(x)=f(x)-2=mtan x-ksin x,易知g(x)为奇函数,
∴g=-g=-=-(1-2)=1,
即f-2=1,
∴f=3.
10.答案　-
解析　因为函数y=tan在上单调递减,所以ω<0,≥,则-≤ω<0,又因为函数在上的最大值为,所以-ω+=+kπ,k∈Z,即ω=--3k,k∈Z,所以k=0,所以ω=-.
11.解析　(1)因为f(x)的图象的相邻对称中心之间的距离为,所以f(x)的最小正周期T=,所以ω==2,故f(x)=2tan.
令-+kπ<2x+<+kπ(k∈Z),
则-+即f(x)的单调递增区间为(k∈Z).又x∈[0,π],且f(x)有意义,所以函数f(x)的单调递增区间是,,.
(2)当x∈时,2x+∈,
则tan∈,
所以f(x)∈,即f(x)的值域为.
12.解析　(1)当θ=-时, f(x)=x2-x-1=-.
∵x∈[-1,],且f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=,
∴当x=时, f(x)min=-;
当x=-1时, f(x)max=.
(2)由题可得g(x)=x-+2tan θ,
∵g(x)为奇函数,
∴0=g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ,
∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.
(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.
∵f(x)在区间[-1,]上是单调函数,
∴-tan θ≥或-tan θ≤-1,即tan θ≤-或tan θ≥1,
∴-+kπ<θ≤-+kπ或+kπ≤θ<+kπ,k∈Z,
故θ的取值范围是∪+kπ,+kπ,k∈Z.
1