人教A版（2019）必修第一册 5.5.1.1　两角差的余弦公式（Word含答案）

5.5　三角恒等变换
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时　两角差的余弦公式
基础过关练　　　 　　　　　　　　　　
题组一　给角求值
1.(2020浙江义乌期末)cos 52°cos 7°+sin 52°·sin 7°=(　　)
A.-　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.
2.(2022四川乐山期末)sin 20°cos 25°+sin 70°cos 65°=(　　)
A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.1
3.计算:sin 60°+cos 60°=　　　　.
4.化简:=　　　　.
题组二　给值求值
5.(2022山西太原期末)已知sin(α+60°)=,30°<α<120°,则cos α=(　　)
A.　　　　　　B.-
C.　　　　　　D.-
6.(2020山东淄博桓台一中期中)已知cos=-,则cos x+cos的值是(　　)
A.-　　　　　　B.± C.-1　　　　　　D.±1
7.(多选)(2022山东聊城一中期末)已知cos α=,cos(α+β)=-,则cos β的值可能为(　　)
A.-　　　　　B.-　　　　　C.-　　　　　D.
8.(2022山东烟台期末)已知α∈,cos=,则cos α的值为　　　　.
9.(2022广西河池期末)已知2cos α-cos β=,2sin α-sin β=2,则cos(α-β)=　　　　.
题组三　给值求角
10.若α∈[0,π],cos cos +sin sin =0,则α的值是(　　)
A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.
11.若cos(α-β)=,cos 2α=,α为锐角,β为钝角,则α+β的值为(　　)
A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.
12.已知α,β均为锐角,且cos α=,cos β=,求α-β的值.
答案全解全析
基础过关练
1.B　cos 52°cos 7°+sin 52°sin 7°=cos(52°-7°)=cos 45°=.故选B.
2.B　sin 20°cos 25°+sin 70°cos 65°=cos 70°cos 25°+
sin 70°sin 25°=cos(70°-25°)=cos 45°=.故选B.
3.答案　
解析　原式=sin 30°sin 60°+cos 30°cos 60°
=cos(60°-30°)=cos 30°=.
主编点评　本题是两角差的余弦公式的逆用,将题目中的和分别替换为sin 30°和cos 30°,成功构造出两角差的余弦的结构.
4.答案　
解析　
=
=
=.
5.A　∵30°<α<120°,∴90°<α+60°<180°,
又sin(α+60°)=,∴cos(α+60°)=-,
∴cos α=cos[(α+60°)-60°]=cos(α+60°)cos 60°+sin(α+60°)sin 60°=-×+×=.
故选A.
6.C　∵cos=cos x+sin x=-,
∴cos x+cos=cos x+sin x=×=×=-1.故选C.
7.AC　因为cos α=,所以sin α=±=±.
又cos(α+β)=-,所以sin(α+β)=±=±,cos(α+β)cos α=-×=-.易得cos β=cos [(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,
当sin α与sin(α+β)同号时,sin(α+β)sin α=,
则cos β=-,
当sin α与sin(α+β)异号时,sin(α+β)sin α=-,
则cos β=-,
所以cos β的值为-或-.故选AC.
8.答案　
解析　因为α∈,
所以<α+<,
又cos=,
所以sin==,
所以cos α=cos
=coscos+sinsin
=×=.
9.答案　-
解析　由题意得(2cos α-cos β)2
=4cos2α-4cos α·cos β+cos2β=,
(2sin α-sin β)2=4sin2α-4sin α·sin β+sin2β=4,
两式相加,得5-4(cos αcos β+sin αsin β)=5-4cos(α-β)=,故cos(α-β)=-.
10.D　因为cos cos +sin sin =0,
所以cos=0,即cos α=0.
又α∈[0,π],所以α=.故选D.
11.C　∵cos(α-β)=,cos 2α=,α∈,β∈,
∴α-β∈,2α∈,
∴α+β∈(0,π),sin(α-β)=-,sin 2α=,
∴cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β)=×+×=-,
∵α+β∈(0,π), ∴α+β=.
12.解析　由条件得sin α=,sin β=,
∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β
=×+×=,
又α-β∈,
∴α-β=±,
∵α,β均为锐角,且cos α>cos β,
∴α<β,则α-β=-.
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