第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
基础过关练
题组一 利用二倍角的三角函数公式解决给角求值问题
1.(2022湖南师大附中期末)2sin 15°cos 15°=( )
A. B. C. D.
2.(2022内蒙古通辽期末)cos2=( )
A. B.
C.- D.+
3.(多选)(2022重庆八中期末)下列选项中,值为的是( )
A.cos 210°
B.cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42°
C.2sin 75°cos 75°
D.
4.(2020浙江嘉兴期末)计算:=( )
A. B.-1 C. D.+1
5.下列各式中与相等的是( )
A.sin 2-cos 2 B.cos 2-sin 2
C.cos 2 D.-cos 2
题组二 利用二倍角的三角函数公式解决条件求值问题
6.(2022广东汕头金山中学期末)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(-1,-2),则sin 2α=( )
A. B. C. D.
7.(2022河南信阳高级中学期末)已知tan=2,则的值为( )
A. B. C. D.
8.(2022江苏苏州八校联盟月考)已知θ∈,sin 2θ=,则cos θ=( )
A. B.
C. D.
9.已知α为锐角,且sin +cos =,求sin α及tan 2α的值.
10.(2022河南商丘虞城高级中学期末)已知=3.
(1)求tan α的值;
(2)求的值.
题组三 二倍角的三角函数公式的综合运用
11.(多选)(2022湖南张家界期末)若下列各式左右两边均有意义,则其中恒成立的有( )
A.=
B.cos=sin α
C.(sin 2α-cos 2α)2=1-sin 4α
D.=tan2θ
12.(2020浙江温州新力量联盟期末联考)已知tan=-3,则=( )
A. B.- C. D.-
13.求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B.
14.已知函数f(x)=2cos,x∈R.
(1)求f(π)的值;
(2)若f =,α∈,求f(2α)的值.
能力提升练
题组一 利用二倍角的三角函数公式解决给角求值问题
1.(多选)(2022安徽巢湖期末)下列计算结果正确的是( )
A.cos(-15°)=
B.sin 15°sin 30°sin 75°=
C.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)·sin(25°+α)=-
D.=
2.(2022北京朝阳期末)数学可以刻画现实世界中的和谐美,人体结构、建筑物、绘画、优选法等美与黄金分割相关.黄金分割常数ω=也可以表示成2sin 18°,则=( )
A.2 B.
C.-1 D.+1
3.(2020北师大附中期末)计算-的结果是( )
A.-4 B.-2
C.2 D.4
4.(2020辽宁沈阳东北育才学校期中)cos ·cos = .
5.sin 50°(1+tan 10°)的值为 .
题组二 利用二倍角的三角函数公式解决条件求值问题
6.(2020山东潍坊诸城期中)若=-,则cos α+sin α=( )
A.2 B.1 C. D.-
7.(2020辽宁沈阳铁路实验中学期中)对于锐角α,若sin=,则cos=( )
A. B.
C. D.-
8.(2022安徽蒙城第六中学月考)已知α∈R,2sin α+cos α=,则tan 2α=( )
A. B. C.± D.±
9.(2020江西南昌八一中学、洪都中学等六校期末联考)若=4,则(sin θ)2 015+(cos θ)2 016的值为 .
10.(2022四川宜宾期末)已知cos(α+β)·cos+sin(α+β)sin=,则sin= .
11.已知α,β为锐角,sin α=,cos(α+β)=.
(1)求sin的值;
(2)求cos β的值.
12.(2022四川宜宾期末)在①7sin 2α=2sin α,②tan =,
③sin 2α=4(cos 2α+1)这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决问题.
已知0<β<α<, ,sin(α+β)=.
(1)求sin;
(2)求β.
题组三 二倍角的三角函数公式的综合运用
13.(2022湖南湘潭一中期末)函数f(x)=2sin x-cos 2x(x∈R)的最大值为( )
A.- B.1 C.3 D.4
14.(2020辽宁省实验中学期中)已知a=,b=cos 330°,
c=,则a,b,c的大小关系为( )
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>c>b D.b>a>c
15.(2020天津南开中学期末)设0≤x<2π,且=sin x-cos x,则( )
A.0≤x≤ B.≤x≤
C.≤x≤ D.≤x≤
16.已知一个等腰三角形的顶角的余弦值为,则该三角形的一个底角的正切值为 .
17.在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P,将角α的终边绕原点逆时针旋转后得到角β.
(1)求tan α的值;
(2)求cos(α+β)的值.
答案全解全析
基础过关练
1.A 2sin 15°cos 15°=sin 30°=,故选A.
2.C cos2===-,故选C.
3.BC 对于A选项,cos 210°=cos(180°+30°)=-cos 30°=-,故错误;
对于B选项,cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42°=cos(42°+18°)=cos 60°=,故正确;
对于C选项,2sin 75°cos 75°=sin 150°=,故正确;
对于D选项,=tan(30°+15°)=tan 45°=1,故错误.
故选BC.
4.C =tan 60°=,故选C.
5.A ==|cos 2-sin 2|,
∵2弧度角的终边在第二象限,
∴sin 2>0,cos 2<0,
∴=sin 2-cos 2,故选A.
6.B 根据三角函数的定义,可得sin α==-,
cos α==-,
所以sin 2α=2sin αcos α=2××=.
故选B.
7.A 由tan=2,可得=2,解得tan x=,
所以tan 2x===,
所以==.
故选A.
8.B 因为θ∈,所以2θ∈,
所以cos 2θ=-=-,
所以cos2θ=(1+cos 2θ)=×=-=,
又θ∈,所以cos θ===.
故选B.
9.解析 因为sin +cos =,
所以sin2+2sin cos +cos2==,
即1+sin α=,所以sin α=.
因为α为锐角,所以cos α==,
所以tan α==,
所以tan 2α===.
10.解析 (1)根据同角三角函数的基本关系,
可得==3,
解得tan α=2.
(2)
==cos 2α,
由(1)知tan α=2,所以=2,又sin2α+cos2α=1,所以cos α=±,所以原式=cos 2α=2cos2α-1=-.
11.ACD ===,A正确;
cos=-sin α,B错误;
(sin 2α-cos 2α)2=sin22α+cos22α-2sin 2αcos 2α=1-sin 4α,C正确;
==tan2θ,D正确.
故选ACD.
12.C 由tan=-3,得=-3,即=-3,解得tan A=2,
则====.故选C.
13.证明 左边=-
=
=(cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B+sin 2Asin 2B)
=cos 2Acos 2B=右边,
∴原等式成立.
14.解析 (1)f(π)=2cos=-2cos =-2×=-.
(2)因为f =2cos=-2sin α=,
所以sin α=-.
又α∈,
所以cos α===,
所以sin 2α=2sin αcos α=2××=-,
cos 2α=2cos2α-1=2×-1=.
所以f(2α)=2cos
=2cos 2αcos+2sin 2αsin
=2××+2××=.
能力提升练
1.BD 对于A,cos(-15°)=cos 15°=cos(45°-30°)
=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=,所以A错误;
对于B,sin 15°sin 30°sin 75°=sin 15°sin 30°cos 15°
=sin 15°cos 15°=sin 30°=,所以B正确;
对于C,cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)
=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos 60°=,所以C错误;
对于D,=×=tan 45°=,所以D正确.
故选BD.
2.A ====2,故选A.
3.A -=-=-
==
==
==-4.
故选A.
4.答案
解析 cos ·cos
=
==
==.
解题模板 对于给角求值问题,通常先考虑式子中三角函数的名称,以及三角函数式的运算结构,从中找出解题的突破口,如本题中的运算结构是余弦的乘积形式,且角具有倍数关系,故可将分子、分母同乘最小角的正弦值,连续运用二倍角的正弦公式求解.
5.答案 1
解析 原式=sin 50°=sin 50°·
=2sin 50°·
===1.
6.C 由题得===-,
所以cos α+sin α==.故选C.
7.D 由α为锐角,得-<α-<,
因为sin=,所以cos=,所以cos=cos=-sin2
=-2sincos=-2××=-.故选D.
8.A 由题得(2sin α+cos α)2==,即=,
即=,整理可得3tan2α+8tan α-3=0,解得tan α=-3或tan α=,
故tan 2α==.故选A.
9.答案 1
解析 ∵==4,
∴cos2θ+2cos θ-3=0,
解得cos θ=1或cos θ=-3(舍去),
∴sin2θ=1-cos2θ=0,即sin θ=0,
∴(sin θ)2 015+(cos θ)2 016=0+1=1.
10.答案 -
解析 因为cos(α+β)cos+sin(α+β)·sin=,
所以cos=,
即cos=,
所以cos=2cos2-1=-,
即cos=-,
所以sin=sin
=cos=-.
11.解析 (1)sin=-cos 2α=2sin2α-1=-.
(2)∵α为锐角,sin α=,
∴cos α==.
易知α+β∈(0,π),∵cos(α+β)=,
∴sin(α+β)==.
∴cos β=cos[(α+β)-α]
=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α
=×+×=.
12.解析 (1)选①:因为7sin 2α=2sin α,
所以7×2sin αcos α=2sin α,
因为0<α<,所以sin α≠0,所以cos α=,
所以sin α=.
所以sin=sin αcos +cos αsin =×+×=.
选②:因为tan =,所以tan α==4,所以=4,
又sin2α+cos2α=1,0<α<,
所以cos α=,sin α=,
所以sin=sin αcos +cos αsin =×+×=.
选③:因为sin 2α=4(cos 2α+1),
所以2sin αcos α=4×2cos2α,
又0<α<,所以cos α≠0,
所以sin α=4cos α,
又sin2α+cos2α=1,0<α<,
所以cos α=,sin α=,
所以sin=sin αcos +cos αsin =×+×=.
(2)由(1)知cos α=,sin α=,
因为0<α<,sin α=>,所以<α<.
又0<β<,所以<α+β<π,
又sin(α+β)=<,所以<α+β<π,
所以cos(α+β)=-,
所以sin β=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=×+×=,
因为0<β<,所以β=.
13.C f(x)=2sin x-cos 2x=2sin2x+2sin x-1=2-,
∵-1≤sin x≤1,
∴当sin x=1时, f(x)取得最大值3.故选C.
14.C 因为tan 45°=1,所以a===tan 61°>
tan 45°=1.
b=cos 330°=cos(-30°+360°)=cos 30°.
c====cos 29°.
由y=cos x的单调性可知1>cos 29°>cos 30°,
所以a>c>b.故选C.
15.B 依题意得==|sin x-cos x|=sin x-
cos x,
∴
解得≤x≤.故选B.
16.答案
解析 设等腰三角形的顶角为A,一个底角为B,则B与互余,
因为等腰三角形顶角的余弦值为,
所以cos A=,所以2cos2-1=,
所以cos2=,易知0
所以cos ===sin B,
则sin ==cos B,
所以tan B==.
17.解析 (1)由题意得tan α==-.
(2)由题意得β=α+.
易得cos α=-,sin α=,
∴sin 2α=2sin αcos α=-,
cos 2α=2cos2α-1=-.
∴cos(α+β)=cos
=cos 2αcos-sin 2αsin
=(cos 2α-sin 2α)
=.
1