课件12张PPT。3.1不等关系与不等式新课标人教版数学学科高一年级下学期多媒体教学课件 与等量关系一样,不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系,它们在现实世界和日常生活中大量存在,在数学研究和数学应用中也起着重要的作用. 在本章中,我们将学习一些关于不等式的基本知识.通过不等式丰富的实际背景理解不等式(组),体会不等式关系和不等式的意义与价值;理解二元一次不等式(组)与平面区域的关系;借助几何直观解决简单的线性规划问题;通过基本不等式了解不等式的证明,解决一些简单的最大(小)值问题;通过不等式与函数、方程的联系,提高对数学各部分内容之间联系性的认识.下面让我们一起来研究几
个含有不等关系的问题:问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元,销售量就可能相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢?新课引入问题3 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求,600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢?新课引入不等式的基本性质:作用:比较两个实数大小的依据之一.新课引入新课讲解不等式的性质1:不等式的性质2:移项法则新课讲解不等式的性质3:不等式的性质4:新课讲解不等式的性质5:不等式的性质6:新课讲解不等式的性质7:不等式的性质8:例题讲解小结要弄清每一性质的条件和结论,注意条件的放宽和加强,以及条件与结论之间的相互联系.特别要注意有些性质的逆命题成立的;有些性质的逆命题不成立关于不等式性质的学习要注意小结课件20张PPT。二元一次不等式(组)与简单线性规划问题3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(上) 湖南省耒阳市振兴学校
高中数学老师欧阳文丰制作2019/1/15教学目标 了解二元一次不等式（组）表示平面区域
教学重点：
二元一次不等式（组）
表示平面区域2019/1/15一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000用于企业投资和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪，那么，信贷部应该如何分配资金呢？分配资金应该满足的条件为①②③④例题引入2019/1/15二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 （1）二元一次不等式： 含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的
不等式叫做二元一次不等式 ;（2）二元一次不等式组： 由几个二元一次不等式组成的不等式组
称为二元一次不等式组。 2019/1/15（3）二元一次不等式（组）的解集： 满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。2019/1/15（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角
坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，
而点的坐标也是有序实数对，因此，有序
实数对就可以看成是平面内点的坐标，
进而，二元一次不等式（组）的解集就
可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。2019/1/153.探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形（1）回忆、思考回忆：初中一元一次不等式（组）的解集
所表示的图形 思考：在直角坐标系内，二元一次不
等式（组）的解集表示什么图形？2019/1/15（2）探究从特殊到一般：先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集
所表示的图形。2019/1/15 完成课本第83页的表格，并思考：
当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？直线x-y=6右下方点的坐标呢？2019/1/15 因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。
类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。
直线叫做这两个区域的边界2019/1/15由特殊例子推广到一般情况：3）结论：
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 由于对直线同一侧的所有点(x,y)，把它代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ，从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0哪一侧的区域。 一般在C≠0时,取原点作为特殊点。4．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法应该注意的几个问题：1、若不等式中不含0，则边界
应画成虚线，否则应画成实
线。
2、画图时应非常准确，否则将
得不到正确结果。2019/1/15例1：画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域 解：(1)直线定界:先画直线x + 4y – 4 = 0（画成虚线）(2)特殊点定域:取原点（0，0），代入x + 4y - 4，因为 0 + 4×0 – 4 = -4 < 0所以，原点在x + 4y – 4 < 0表示的平面区域内，
不等式x + 4y – 4 < 0表示的区域如图所示。三、例题示范：2019/1/15课堂练习:(1)画出不等式4x―3y≤12
表示的平面区域(2)画出不等式x≥1
表示的平面区域2019/1/15y < -3x+12
x<2y 的解集。例2、用平面区域表示不等式组三、例题示范：2019/1/15课堂练习：1、不等式x – 2y + 6 > 0表示的区域在直线x – 2y + 6 = 0的（ ）（A）右上方 （B）右下方 （C）左上方 （D）左下方2、不等式3x + 2y – 6 ≤0表示的平面区域是（ ）BD2019/1/15课堂练习：3、不等式组B表示的平面区域是（ ）2019/1/15小结和作业 ⑴ 二元一次不等式表示平面区域：
直线某一侧所有点组成的平面区域。 ⑵ 判定方法：
直线定界，特殊点定域。小结： ⑶ 二元一次不等式组表示平面区域：
各个不等式所表示平面区域的公共部分。 知识点 数学思想数形结合、化归、集合、分类讨论作业Ｐ8６ 1, 2，3课件15张PPT。2019/1/153.3.1二元一次不等式（组）与平面区域(下)Ax+By+C>0 湖南省耒阳市振兴学校
高中数学老师欧阳文丰制作2019/1/15
2、确定步骤：_________ 、
__________。复习引入直线定界（注意虚、实线）特殊点定域1、重要 结论：
①直线Ax+By+C=0同侧的所有点的坐标（x,y）代入Ax+By+C，所得实数的符号相同。
②二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0的某一侧所有点组成的平面区域，此区域不包括边界，把边界画成虚线；
③不等式Ax+By+C≥0表示平面区域时，此区域包括边界，把边界画成实线。3、思想方法：特殊到一般、数形结合、函数思想2019/1/15练习1： 画出下列不等式表示的平面区域： （1）２ｘ＋３ｙ－６＞０ （2）2ｘ＋５ｙ≥1０ （3）４ｘ－３ｙ≤１２ （1）（2）（3）课堂练习2019/1/15练习2： 1.画出下列不等式组表示的平面区域： (1) (2) 2019/1/15小结归纳：对于直线Ax + By + C = O（1）若A>0,B<0Ax+By+C<0在左上方Ax +B y+ C>0在右下方(2)A>0,B>0Ax +B y+ C>0在右上方Ax+By+C<0在左下方2019/1/15例3、若点（3，1）和（-4，6）分别在直线3x-2y+a=0的两侧，求实数a的取值范围解：因为点（3，1）和（-4，6）分别在直线 3x-2y+a=0的两侧
所以（3×3-2×1+a)[3× (-4)-2×6+a]<0
即（a+7）(a-24)<0
所以-7
钢板y张，则2x+y≥15X+2y≥18X+3y ≥27x ≥0y ≥00246810121416182022242628246810121416182x+y=15X+2y=18X+3y=272019/1/15例5、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t,硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t,硝酸盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。解：设x,y分别为计划生产甲、乙两种
混合肥料的车皮数，于是满足以下条件4x+y≤1018x+15y ≤66x≥0y ≥04x+y=1018x+15y =662019/1/15[例6] 画出以A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)为顶点的△ABC的区域(包括边界)，写出该区域所表示的二元一次不等式组．
[思路点拨] 利用直线方程的两点式，可求得边界所在的
直线方程，取△ABC内的特殊点检验，可得所求不等式组．由平面区域求不等式组2x+y-5≤0x+2y-1≥02X-5y-5≥02019/1/15根据所给图形，把图中的平面区域用不等式表示出来：课后练习1：x+2y-4≤0y≥-2X-y＞02019/1/15已知原点和点（1，1）在直线两侧，则a的取值范围是 (0, 2) 。 课后练习2：2019/1/15某厂使用两种零件A、B装配甲、乙两种产品，该厂的生产能力是每月生产甲产品最多2 500件，每月生产乙产品最多1 200件，而且装一件甲产品需要4个A,6个B，装一件乙产品需要6个A,8个B.2008年1月，该厂能用的A最多有14 000个，B最多有12 000个，用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关系表示出来，并画出相应的平面区域．课后练习3：2x+3y-7000≤03x+4y-6000≤0x≤2500y≤12002019/1/15求不等式|x-2|+|y-2|≤2所表示的平面区域的面积.课后练习4：答案:2。评注:通过分类讨论, 再分别对每种情形下的区域三角形面积进行计算。2019/1/15
（2009·安徽）不等式组 所表
示的平面区域的面积等于 （ ）
A. B. C. D.
C课后练习5：2019/1/15
由 得交点A的坐标为（1，1）.
又B、C两点的坐标为（0，4），
课件21张PPT。3.3.2简单的线性规划问题(上) 湖南省耒阳市振兴学校
高中数学老师欧阳文丰制作教学目标1．知识目标：
会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题；
2．能力目标：培养学生观察、分析、联想、以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，培养学生自主探究意识，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；
3．情感目标：培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神．
教学重点：把实际问题转化成线性规划问题，即建模，并给出解答．
教学难点：
1．建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；
2．寻找整点最优解的方法．美国数学家，美国全国科学院院士。线性规划的奠基人。 1974年丹齐克在总结前人工作的基础上创立了线性规划,确定了这一学科的范围,并提出了解决线性规划问题的单纯形法 1937～1939年任美国劳工统计局统计员，1941～1952年任美国空军司令部数学顾问、战斗分析部和统计管理部主任丹齐克是美国运筹学会和国际运筹学会联合会 (IFORS)的主席和美国数学规划学会的创始人。他发表过100多篇关于数学规划及其应用方面的论文，1963年出版专著《线性规划及其范围》，这本著作至今仍是线性规划方面的标准参考书。 线性规划简介复习二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中，以二元一次方程x+y-1=0的解为坐标的点的集合{(x，y)|x+y-1=0}是经过点(0，1)和(1，0)的一条直线l，那么以二元一次不等式x+y-1>0的解为坐标的点的集合{(x，y)|x+y-1>0}是
什么图形? 探索结论 结论：二元一次不等式ax+by+c>0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。不等式 ax+by+c<0表示的是另一侧的平面区域。x+y-1>0x+y-1<0复习判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法x+y-1>0x+y-1<0 由于对在直线ax+by+c=0同
一侧所有点(x，y)，把它的坐标
(x，y)代入ax+by+c，所得的实
数的符号都相同，故只需在这条
直线的某一侧取一特殊点(x0，y0)
以ax0+by0+c的正负的情况便可
判断ax+by+c>0表示这一直线
哪一侧的平面区域，特殊地，当
c≠0时常把原点作为此特殊点引例某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ 解决问题（1）用不等式组表示问题中的限制条件： 设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：解决问题（2）画出不等式组所表示的平面区域： 如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。 解决问题（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？解决问题（4）尝试解答： 设工厂获得的利润为z，则z = 2x + 3y，
——求z的最大值。 几何画板解决问题（5）获得结果： 每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元 线性目标函数Z的最大值为44想一想(问题):线性约束条件代数问题图解法相关概念yx4843o 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。 满足线性约束的解
（x，y）叫做可行解。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。 一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。 由所有可行解组成的集合叫做可行域。 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。可行域可行解最优解线性目标函数线性约束条件线性规划问题任何一个满足不等式组的（x,y）可行解可行域所有的最优解目标函数所表示的几何意义 ——在y轴上的截距或其相反数。解线性规划问题的步骤： （1）画出线性约束条件所表示的可行域；（2）（4）解方程组求出最优解，并代入目 标函数 ，
给出答案。 练习1：有5 辆 6 吨的汽车，4 辆 4 吨的汽车，要运送最多
的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为___________．
x≥1，练习2：已知变量 x，y 满足 y≤2，
x－y≤0，则 x＋y 的最小)值是(
A．4
C．2
B．3
D．1z＝6x＋4yC课堂练习
探究：在引例的基础上，若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种日生产安排利润最大？3y44ox求利润z=x+3y的最大值.N(2,3)课后练习
若目标函数z=ax+y仅在点（5，2）处取得最大值，求a的取值范围？
Key:a＞3/5. 思考题：已知x，y满足条件：z=2x-y，且变量x,y为整数，求z的最大值和最小值
Key:max=8, min=-2. 四个步骤：1。画（画可行域）三个转化4。答（求出点的坐标，并转化为最优解）3。移（平移直线L 。寻找使纵截距取得最值时的点）2。作（作z=Ax+By=0时的直线L 。）图解法想一想(结论):线性约束条件可行域线性目标函数
Z=Ax+By最优解寻找平行线组的
最大（小）纵截距课件18张PPT。3.3.2简单的线性规划问题(下) 湖南省耒阳市振兴学校
高中数学老师欧阳文丰制作复习线性规划问题：
设z=2x+y，式中变量满足
下列条件：
求z的最大值与最小值。 目标函数
（线性目标函数）线性约
束条件线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． 可行解 ：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解； 可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域； 最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。 可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)复习线性规划解线性规划问题的一般步骤：
第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；
第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；
第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。探索结论复习线性规划例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？分析：将已知数据列成表格解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么目标函数为：z＝28x＋21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域把目标函数z＝28x＋21y 变形为xyo5/75/76/73/73/76/7 它表示斜率为
随z变化的一组平行直线系 是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小。M 如图可见，当直线z＝28x＋21y 经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小。M点是两条直线的交点，解方程组得M点的坐标为：所以zmin＝28x＋21y＝16 由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。例6、在上一节例3中,各截得这两种钢板多少张可得所需A,B,C三种规格成品,且使所用钢板张数最少?例3、要将两种大小不同的钢板截成Ａ．Ｂ．Ｃ三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要Ａ．Ｂ．Ｃ三种规格的成品分别为15，18，27块，用数学关系式和图形表示上述要求。024810141861216261214224108161820解：设需要截第一种钢板x张，第二种
钢板y张，则2x+y≧ 15X+2y ≧ 18X+3y ≧ 27x ≥0,x∈Ny ≥0,y∈N24x=3,y=9;x=4,y=889.例六.gsp例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：xyo解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，可行域如图：把Z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，它表示斜率为
－2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。 xyo由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，
截距2z最大，即z最大。 故生产甲种、乙种肥料各
2车皮，能够产生最大利润，
最大利润为3万元。M 容易求得M点的坐标为
（2，2），则Zmin＝3解线性规划应用问题的一般步骤：2）设好变元并列出不等式组和目标函数 3）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；4）在可行域内求目标函数的最优解1）理清题意，列出表格：5)还原成实际问题(准确作图，准确计算)画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确；法1：移－在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线； 法2：算－线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得（当两顶点的目标函数值相等时最优解落在一条边界线段上）。此法可弥补作图不准的局限。1、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最大？ 设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z，目标函数为Z＝3x＋2y，满足的条件是巩固练习 Z＝ 3x＋2y 变形为 它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关。XYO400200250500 当直线经过点M时，截距最大，Z最大。M解方程组可得M（200，100）Z 的最大值Z ＝
3x＋2y＝800故生产甲产品200件，乙产品100件，收入最大，为80万元。300600A(100,400)2.某家具厂有方木材90m3，木工板600m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、木工板2m3；生产每个书橱需要方木料0.2m3，木工板1m3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元；（1）怎样安排生产可以获利最大？（2）若只生产书桌可以获利多少？（3）若只生产书橱可以获利多少？（1）设生产书桌x张，书橱y张，利润为z元， 则约束条件为 Z=80x+120y作出不等式表示的平面区域，当生产100张书桌，400张书橱时利润最大为z=80×100+120×400=56000元（2）若只生产书桌可以生产300张，用完木工板，可获利 24000元；（3）若只生产书橱可以生产450张，用完方木料，可获利54000元。将直线z=80x+120y平移可知：900450求解：二元一次不等式 表示平面区域直线定界， 特殊点定域简单的线性规划约束条件目标函数可行解可行域最优解求解方法：
画、移、求、答课堂总结 习题3.3
B组：2、3布置作业:求解线性规划问题的基本方法是单纯形法，现在已有单纯形法的标准软件，可在电子计算机上求解约束条件和决策变量数达 10000个以上的线性规划问题。为了提高解题速度，又有改进单纯形法、对偶单纯形法、原始对偶方法、分解算法和各种多项式时间算法。
对于只有两个变量的简单的线性规划问题，也可采用图解法求解。这种方法仅适用于只有两个变量的线性规划问题。它的特点是直观而易于理解，通过图解法求解可以理解线性规划的一些基本概念。 线性规划的拓展知识课件14张PPT。刘海洋§3.4基本不等式:ICM2002会标赵爽：弦图基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDE(FGH)ab基本不等式2：当且仅当a=b时，等号成立。注意：
（1）两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同
（2） 称为正数a、b的几何平均数
称为它们的算术平均数。基本不等式的几何解释：半弦CD不大于半径例1.(1) 已知 并指出等号
成立的条件.
(2) 已知 与2的大小关系,
并说明理由.
(3) 已知 能得到什么结论?
请说明理由.
应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系练习2：若
，则（ ）
（1）（2）（3）B练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式其中恒成立的 。应用二：解决最大（小）值问题 例2、已知 都是正数，求证
（1）如果积 是定值P，那么当 时，
和 有最小值
（2）如果和 是定值S，那么当 时，积 有最大值（1）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。
两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否则会出现错误小结：利用 求最值时要注意下面三条：例3、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？
（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800立方米，深为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？2、(04重庆）已知
则x y 的最大值是 。练习：
1、当x>0时， 的最小值为 ，此时x= 。21 3、若实数 ，且 ，则 的最小值是（ ）
A、10 B、 C、 D、4、在下列函数中，最小值为2的是（ ）
A、 B、
C、 D、DC例4、 求函数 的最小值构造积为定值，利用基本不等式求最值思考：求函数 的最小值构造和为定值，利用基本不等式求最值例5、已知 ，求 的最大值
练习：
已知 且 ，则
最大值是多少？课件10张PPT。3.4.2 基本不等式的应用 西乡中学 徐光辉教学目标知识与技能：学会使用基本不等式求函数的最值
过程与方法：通过四个例题的教学，让学生经历使用基本不等式解决实际问题的过程，即“审题——设元——列式——求解——答问”，形成使用基本不等式的方法.
情感、态度与价值观：培养学生的数学应用意识，学会用数学的眼光来看问题，同时提高学生对数学的兴趣和和解决实际问题的能力. 教学重点：基本不等式的使用方法
教学难点：数学建模教学过程一、情境创设
1.实际生活中有很多问题涉及到函数的最值，例如：长度、面积、体积、造价最低、用料最省等等，要解决这类问题，就要用到函数的知识去解决，即要求函数的最值。
基本不等式就可以用来帮助我们解决此类问题。
例1：用长为4a的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大.二、数学建构、数学应用例2：某工厂建造一个无盖
的长方形贮水池，其容积
围4800m3，深度为3m.
如果池底每1m2的 造 价
为 150元，池壁每1m2的
造价 为120元，怎样设计
水池能使总造价最低？最
低总造价为多少元？例3：过点（1，2）的直线l与x轴的正半轴y轴的正半轴分别交与A、B 两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程。
例4：如图，一份印刷品的排版面积（矩形）为A，它的两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为b的空白。如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？aabbabab三、回顾反思使用基本不等式
求函数最值的注意事项：
（1）条件:a≥0,b≥0;
（2）有定值出现：
（3）当且仅当a=b时取到等号若 ab为定值，那么a+b有最小值；
若a+b为定值，那么ab有最大值.使用基本不等式
求函数最值的注意事项：
（1）条件:a≥0,b≥0;
（2）有定值出现：
（3）当且仅当a=b时取到等号若 ab为定值，那么a+b有最小值；
若a+b为定值，那么ab有最大值.记忆口诀：一正、二定、三等号四、布置作业课堂练习：课本94页
课外作业：课本95页第6、7、8页课件18张PPT。利用基本不等式求最值（1)一、问题情境二、建构数学 已知 ≥0，
﹙1﹚如果积 是定值P，那么当 时，
和 有最 值﹙2﹚如果和 是定值S，那么当 时，
积 有最 值小大注意：运用基本不等式求最值时，要有三
个条件 三、应用数学：42例1：解：练习：例3：解：思考：求函数 的最小值.解:练习：三、应用数学：42解：正定等解：解：例1：一、问题情境课件25张PPT。一元二次不等式的应用【课标要求】
1．会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题．
2．会将简单的分式不等式化为一元二次不等式求解．
3．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，并加以解
决．
【核心扫描】
1．有关不等式恒成立求参数的值或范围问题和分式不等式的
解法．(重点)
2．对实际应用问题如何建立正确的数学模型并加以解决．
(难点)
第2课时 一元二次不等式的应用1．简单的分式不等式的解法
自学导引(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：
k≥f(x)(k>f(x))恒成立?k≥f(x)max(k>f(x)max)；k≤f(x)(k2． ：不等式x2＋x＋k>0恒成立时，试求k的取值范围．
一元二次不等式恒成立问题关于将分式不等式转化为一元二次不等式的理解
将分式不等式转化为一元二次不等式，实际上是经过同解变形，化为与之等价的整式不等式求解，其理论根据是
注意：若分式不等式中含有“＝”号，则在进行转化时可要注意分母不能等于0这个隐含条件．
名师点睛1．一元二次不等式的实际应用
(1)解不等式应用题，首先要认真审题，分清题意，建立合理、恰当的数学模型，这是解决好不等式应用题最关键的一环．
(2)不等式应用题常常以函数的形式出现，大都是解决现实生活、生产、科技中的最优化问题，在解题中涉及不等式解法及有关问题．
(3)不等式应用题主要考查综合运用数学知识、数学方法分析和解决实际问题的能力，考查数学建模、解不等式等数学内容．2．题型一 分式不等式的解法
解下列不等式：
[思路探索] 将分式不等式等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组．
【例1】【变式1】 解下列不等式． (2011·抚顺六校联考)设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围．
(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
[思路探索] 解答本题的关键是根据题目条件，构造恰当的函数，将不等式问题转化为函数问题来处理．
题型二 不等式的恒成立问题【例2】 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有二：
①考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参量的不等式；
②若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元二次函数)，并结合图象建立参量的不等式求解． 当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R?
【变式2】 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？
题型三 一元二次不等式的简单应用
【例3】审题指导
[规范解答] 由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2>12，即x2＋10x－1 200>0， (2分)
解得x>30，或x<－40(不符合实际意义，舍去)， (4分)
这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h. (6分)
对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2 000>0，(8分)
解得x>40，或x<－50(不符合实际意义，舍去)， (10分)
这表明乙车的车速超过40 km/h，即超过规定限速． (12分)
【题后反思】 解不等式应用题的步骤
(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系；
(2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化；
(3)求解不等式；
(4)还原为实际问题．
国家原计划以2 400元/t的价格收购某种农产品m t．按规定，农民向国家纳税：每收入100元纳税8元(称作税率为
8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，国家制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点，试确定x的取值范围．使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
解 “税率降低x个百分点”，即调节后税率为(8－x)%；
“收购量能增加2x个百分点”时，总收购量为m(1＋2x%)t，总收购款为2 400m(1＋2x%)元；
“总收入不低于原计划的78%”，即税率调低后，税收总收入≥2 400m×8%×78%.
设税率调低后的“税收总收入”为y元，
【变式3】 所以y≥2 400m×8%×78%，
即－44≤x≤2.
又0所以x的取值范围是0 运用转化与化归思想可以把分式不等式化成整式不等式(组)，把高次化成低次，把超越不等式化为代数不等式，把恒成立问题转化为求最值问题等．在转化过程中要注意问题的等价性．
当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．则m的取值范围是________．
[思路分析] 记f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，只要f(x)max≤0即可，问题转化为求二次函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]的最值问题．
解析 构造函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2)．
由于当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．
方法技巧 转化与化归思想在不等式中的应用【示例】答案 (－∞，－5]
方法点评 熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能、基本方法是转化的基础；丰富的联想、认真仔细的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙．课件10张PPT。不等式复习与小结一、知识结构梳理不等关系不等式（组）二元二次不等式一元二次不等式基本不等式二、应用举例规格类型钢板类型今需A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得三种规格成品，且所需张数最少？课件14张PPT。3.2 一元二次不等式的解法第一课时一元二次不等式的基本形式:
ax2+bx+c>0(a≠0)
ax2+bx+c<0(a≠0)
ax2+bx+c≥0(a≠0)
ax2+bx+c≤0(a≠0)一、基础知识讲解思考：一元一次方程的解与一次函数的图象有什么关系？引例1：解不等式 2x－7＞0答：方程的解即函数图象与x轴交点的横坐标；一、基础知识讲解 一元一次不等式的解集与一次函数的图象又有什么关系？不等式的解集即函数图象在x轴下方或上方所对应x的范围。 思考：不等式x2-x-6>0的解与二次函数y=x2-x-6图像又有
什么关系?引例2：解不等式 x2-x-6>0解： 因为△=1+24>0 ∴方程x2-x-6=0的解是:x1=-2，x2=3
由函数y=4x2-4x+1的图像可得不等式的解集为{x|x<-2或x>3}一、基础知识讲解-23y=x2-x-6解不等式 x2-x-6<0练习：1.(2004年江苏省高考试题)二次函数 y=ax2+bx+c的对应值表如下：
则ax2+bx+c>0解集是 .一、基础知识讲解2.解不等式 (1) 4x2－4x+1>0 (2) －6x2 +x－2≤0解： 因为△=16-16=0
方程4x2-4x+1=0的解是:x1=x2=0.5
而函数y=4x2-4x+1的开口向上所以原不等式的解集为{x|x≠0.5}⊿=b2-4ac二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)
的图象方程ax2+bx+c=0
的根ax2+bx+c>0（a>0）
的解集 ax2+bx+c<0 (a>0) 的解集⊿>0⊿=0⊿<0有两个不等实根 x1,x2(x1x2}{x|x1相等实根x1=x2无实根{x|x≠x1}?R?1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系:一、基础知识讲解小结:解一元二次不等式ax2+bx+c>0的步骤： ① 将二次项系数化为“+”（a>0); ② 计算ax2+bx+c=0判别式;并求其根④ 由图象写出解集. ③ 画出y=ax2+bx+c的图象;记忆口诀： (前提a>0).
大于取两边，小于取中间一、基础知识讲解练习2. 解不等式
(1) 4x2+4x+1≤0 (2) － x2 +x +1<03. 若0 (1) (x-1)(x-3)>0的解集是 .(2) x2<9的解集是 .(3) x2-3x-4≥0的解集是 .(4) (x-1)(2-x) ≥0的解集是 .{x∣x<1或x>3}{x∣1≤ x≤ 2 }{x∣x≤-1或x≥4}{x∣-30的解集为{x∣-2求a，b的值。练习.
(1)已知不等式x2+ax+b>0的解集为{x|x<-2或x>3}，
则实数a=____,b=_____.-1-6解:由题意得,a<0,且方程ax2+bx+6=0的两根分别为-2和3,∴二、例题分析例3.不等式x2 -6kx+ k+8≥0对所有实数x∈R都成立，求k的取值范围.解：依题意可知，对任意x∈R，不等式x2-6kx+k+8≥0
应恒成立，所以k应满足:△=(-6k)2-4(k+8)≤0解：依题意可知，对任意x∈R，不等式kx2-6kx+k+8≥0
应恒成立，所以
（1）若k=0，则可得8>0，满足题意
（2）若k≠0，则应满足∴00 (a>0)
ax2+bx+c<0 (a>0)
（2）判定△与0的关系，并求出方程 ax2+bx+c=0的实根;
（3）根据图象写出不等式的解集.1. 解一元二次不等式的步骤2.注意含参数不等式求解时，对参数的分类讨论。3.解题过程中注意一元二次不等式的解集与相应一元
二次方程的根及二次函数图象之间的关系。注：画出二次函数的图象，根据图象写出解集，注意
数形结合思想方法:1.数形结合2.分类讨论3.化归课件7张PPT。3.2 一元二次不等式的解法第二课时一、复习（1）化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0)
ax2+bx+c<0 (a>0)
（2）判定△与0的关系，并求出方程 ax2+bx+c=0的实根;
（3）根据图象写出不等式的解集.1. 解一元二次不等式的步骤2.注意含参数不等式求解时，对参数的分类讨论。3.解题过程中注意一元二次不等式的解集与相应一元
二次方程的根及二次函数图象之间的关系。注：画出二次函数的图象，根据图象写出解集，注意
数形结合思想方法:1.数形结合2.分类讨论3.化归不等式ax2+bx+c>0的解集是全体实数的条件是_________________________________.a=b=0且c>0,或a>0且△＝b2-4ac<0巩固练习 例1.一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系: y = -2 x2 + 220x.
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上,那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意,得到: -2x2 + 220x > 6000
移项整理,得 x2 - 110x + 3000 < 0.
因为△=100>0,所以方程 x2-110x+3000=0
有两个实数根 x1=50, x2=60.
由函数y=x2-110x+3000的图象,
得不等式的解集为{x|50因为x只能取整数,所以当这条摩托
车整车装配流水线在一周内生产的摩托
车数量在51辆到59辆之间时,这家工厂
能够获得6000元以上的收益.新课例2.某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车车速x km/h有如下关系:在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少?(精确到0.01 km/h)解:设这辆汽车刹车前的车速至少为x km/h, 根据题意,得到:移项整理,得 x2+9x-7110>0.显然△>0, 方程x2+9x-7110=0有两个实数根,即x1≈-88.94, x2≈79.94画出函数y=x2+9x-7110的图象,由图象得不等式的解集为{x|x <-88.94, 或 x>79.94 }在这个实际问题中,x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.例3.某同学要把自己的计算机接入因特网.现有两家ISP公司可供选择.公司A每小时收费1.5元；公司B的收费原则如下：在用户上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算). 一般来说,一次上网时间不会超过17小时，所以，不妨假设一次上网时间总小于17小时，那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少? 解:假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x(元)，
公司B收取的费用为 (元).
如果能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少,则
(0< x <17).整理得 x2 - 5x < 0 (0< x <17)
解得 0 < x < 5所以,当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A的费用少；超过5小时，选择公司B的费用少.