北师大版（2019）选择性必修第一册第一章　直线与圆复习提升（Word含答案）

第一章　直线与圆复习提升
易混易错练
易错点1　忽略直线的斜率与倾斜角的变化关系致错
1.(2022安徽华星学校月考)若图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3,则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.k1C.k32.(2020江西赣州南康中学大考)设直线l的斜率为k,且-1A.∪ B.∪
C. D.∪
易错点2　对截距的概念理解不透彻致错
3.(2022山西大同一中月考)已知直线l过点(1,2),且在y轴上的截距为在x轴上的截距的两倍,则直线l的方程为　　　　　　　　　　　　　
4.若直线x-y+2m=0与两坐标轴围成的三角形的面积不小于8,求实数m的取值范围.
易错点3　忽视直线斜率不存在的情况致错
5.已知直线l过点P(2,4),且与圆O:x2+y2=4相切,则直线l的方程为(　　)
A.x=2或3x-4y+10=0
B.x=2或x+2y-10=0
C.y=4或3x-4y+10=0
D.y=4或x+2y-10=0
6.(2020湖北宜昌调研)直线l过点P(1,3)且与圆(x-2)2+y2=4交于A、B两点,若|AB|=2,求直线l的方程.
易错点4　忽略直线与圆中的隐含条件致错
7.(2022吉林通化重点高中月考)已知直线l1:(3+a)x+4y=5-4a与直线l2:2x+(5+a)y=9平行,则实数a的值为(　　)
A.-7 B.-1
C.-7或-1 D.7或-1
8.(2021浙江台州书生中学月考)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标为　　　　,半径为　　　　.
9.若直线y=x+t被圆x2+y2=8截得的弦长不大于,则实数t的取值范围为　　　　.
思想方法练
一、分类讨论思想在直线与圆中的应用
1.(2020重庆育才中学期末)若圆C1:(x-1)2+(y+)2=1与圆C2:(x-a)2+y2=1没有公共点,则实数a的取值范围是　　　　.
2.(2021上海华东师范大学第二附属中学月考)已知三条直线l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0不能围成三角形,求实数m的值.
二、数形结合思想在直线与圆中的应用
3.(2020浙江温州上海新纪元高级中学期末)已知点A(2,3),B(-5,2),若直线l过点P(-1,6),且与线段AB不相交,则直线l的斜率的取值范围是　(　　)　　　　　　　　　　　　　　
A.[-1,1]
B.(-∞,-1]∪[1,+∞)
C.(-1,1)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
4.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点,且∠POQ=120°,其中O为原点,则k的值为(　　)
A.-或 B.
C.-或 D.
5.(2020江苏南京师范大学附属中学期末)若曲线y=-与直线x-2y+m=0有公共点,求实数m的取值范围.
三、转化与化归思想在直线与圆中的应用
6.在平面直角坐标系xOy中,过圆C1:(x-k)2+(y+k-4)2=1上任意一点P作圆C2:x2+y2=1的一条切线,切点为Q,则当|PQ|最小时,求k的值.
7.(2021重庆第八中学月考)已知实数x、y满足x2+(y-2)2=1,求的取值范围.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.A　由题图可知直线l1的倾斜角为钝角,所以k1<0,直线l2,l3的倾斜角为锐角,且l2的倾斜角小于l3的倾斜角,所以k3>k2>0,所以k12.D　当-1易错警示　求直线的斜率或倾斜角的取值范围时,要注意下面三个易错点:一是起、止直线的确定,从起始直线到终止直线要按逆时针旋转;二是若有斜率不存在的直线也符合题意,将斜率的范围分成两个区间;三要注意倾斜角为0的直线,将倾斜角的范围分成两个部分.
3.答案　2x-y=0或2x+y-4=0
解析　①当直线l过原点时,由直线l经过点(1,2),得所求直线方程为y=2x,即2x-y=0.
②当直线l不过原点时,设直线l的方程为+=1,将(1,2)代入,得+=1,解得a=2,此时直线l的方程为+=1,即2x+y-4=0.故直线l的方程为2x-y=0或2x+y-4=0.
4.解析　令x=0,得y=2m,令y=0,得x=-2m.由直线x-y+2m=0与两坐标轴围成的三角形的面积不小于8,得|2m|×|-2m|≥16,解得m≥2或m≤-2,故实数m的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞).
易错警示　(1)涉及直线截距问题时,易忽略直线截距为0的情况,具体求解时,要分截距为0和截距不为0两种情况求解.
(2)截距不同于距离,直线在y轴(x轴)上的截距是指直线与y轴(x轴)交点的纵(横)坐标,所以截距是一个数值,可正、可负、可以为0.
5.A　由22+42=20>4,得点P在圆外,当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,因为圆心到直线l的距离等于半径,所以=2,解得k=,故直线l的方程为3x-4y+10=0;当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,也满足条件.故直线l的方程为3x-4y+10=0或x=2.故选A.
6.解析　由垂径定理得,圆心(2,0)到直线l的距离d==1.当直线l的斜率不存在时,l:x=1满足条件.当直线l的斜率存在时,设l:y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0.故=1,解得k=-.所以l:4x+3y-13=0.所以直线l的方程为4x+3y-13=0或x=1.
7.A　∵直线l1的斜率一定存在,且两直线平行,
∴直线l2的斜率也一定存在,即a≠-5,
∴=,
解得a=-1或a=-7,
当a=-1时,两直线重合,舍去;
当a=-7时,满足题意.故选A.
易错警示　(1)利用斜率的关系判定两直线平行时,不能只用k1=k2,需考虑两直线斜率均不存在的情况,以及两直线是否重合,也可以直接使用两直线平行的充要条件:或
(2)利用k1·k2=-1判定两直线垂直时,要注意使用的前提条件,若其中一条直线的斜率不存在,则需另外考虑.
8.答案　(-2,-4);5
解析　由题意,知a2=a+2,解得a=-1或a=2.当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,其圆心坐标为(-2,-4),半径为5;当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即+(y+1)2=-,不表示圆.
总结反思　(1)圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,当D2+E2-4F>0时,它才表示以为圆心,为半径的圆;
(2)一般二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件是A=C≠0,B=0且D2+E2-4F>0.
9.答案　∪
解析　设圆的半径为r,直线被圆截得的弦长为a,圆心(0,0)到直线y=x+t的距离d=,
由题意得d又+d2=r2=8,则a2=32-2t2,
令32-2t2≤,解得t≤-或t≥,
结合-4易错警示　审题不严,对题中的部分条件或公式处理不当,常造成解题错误,主要表现为:
(1)在求一条直线的平行直线时,容易忘记舍去与直线重合的情况;
(2)忽略隐藏的位置关系,如直线与圆相交时,要在有交点的情况下考查其他相关问题,圆与圆只有一个交点时,要考虑是内切还是外切等.
思想方法练
1.答案　(-∞,0)∪(2,+∞)
解析　由圆C1:(x-1)2+(y+)2=1可知C1(1,-),半径r1=1,由圆C2:(x-a)2+y2=1可得C2(a,0),半径r2=1.
两圆无公共点,则两圆外离或内含,从而进行分类讨论.
当两圆外离时,|C1C2|>r1+r2=2,所以>2,解得a<0或a>2;
当两圆内含时,|C1C2|<|r1-r2|=0(无解).
所以a的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).
2.解析　若三条直线不能围成三角形,则存在两条直线平行,或三条直线交于同一点.
根据三条直线不能构成三角形的各种可能情况,利用分类讨论思想进行求解.
①当l1∥l2时,4×1-1×m=0,解得m=4;
②当l1∥l3时,4×(-3m)-1×2=0,解得m=-;
③当l2∥l3时,m×(-3m)-1×2=0,不成立;
④当三条直线交于同一点时,由解得即交点坐标为,
代入直线l3的方程,得--4=0,
即3m2+m-2=0,解得m=-1或m=.
综上所述,m的值为4或-或-1或.
思想方法　分类讨论又称逻辑划分,分类讨论的关键是逻辑划分标准的确定,从而对问题依次分类求解(或证明).本章中,在直线和圆的位置关系的判断中常需要对直线斜率是否存在进行分类讨论,在圆与圆的位置关系的判断中常需要对圆心距离和半径之间的大小关系以及圆心的位置等进行分类讨论.
3.C　易知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,通过图形,直观看出直线l的斜率变化情况,采用了数形结合思想.
如图所示,根据图形分析可得,要使直线l与线段AB不相交,则满足即
解得-14.A　如图所示,直线y=kx+1过定点P(0,1)且P在圆上,
∵∠POQ=120°,
∴∠OPQ=30° ∠1=120°,∠2=60°,
利用几何图形确定角的大小,进一步得到斜率.
∴k=±.故选A.
5.解析　作出曲线y=-,利用直线与圆的位置关系求解.
将y=-转化为(x-1)2+y2=4(y≤0),它表示以(1,0)为圆心,2为半径的圆在x轴下方(包含与x轴的交点)的部分,如图所示:
由图可知,要使曲线与直线有公共点,则临界条件是直线经过点(-1,0)或直线与半圆相切.
当直线经过点(-1,0)时,-1-2×0+m=0,解得m=1;
当直线与半圆相切时,圆心到直线的距离等于半径,即=2,解得m=-2-1或m=2-1(不合题意,舍去).
所以实数m的取值范围为[-2-1,1].
思想方法　“数形结合”是把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法.与圆有关的最值问题、直线与圆的交点问题、圆与圆的位置关系等都可能用到数形结合思想.利用数形结合解决问题,比传统的解法更形象、更巧妙,并且计算量小.
6.解析　如图,因为PQ为圆C2的切线,所以PQ⊥C2Q.
由勾股定理得,|PQ|=,要使|PQ|最小,则需|PC2|最小.
两动点距离最小问题,转化为一动点与一定点间的距离最小问题.
显然当点P为C1C2与圆C1的交点时,|PC2|最小,
此时|PC2|=|C1C2|-1,所以当|C1C2|最小时,|PC2|就最小.
进一步转化为两定点间的距离问题.
|C1C2|==≥2,
所以当k=2时,|C1C2|最小,即|PQ|最小.
7.解析　所求结构类似点到直线的距离公式,采用转化与化归思想进行求解.
如图所示:
设P(x,y)为圆x2+(y-2)2=1上任意一点,
点P到直线x+y=0的距离|PM|=,
点P到原点的距离|PO|=,
所以==2sin∠POM,
当圆x2+(y-2)2=1与直线kx-y=0相切时,=1,解得k=±,
所以∠POM的最小值为0,最大值为,
所以0≤sin∠POM≤,即0≤2sin∠POM≤.
所以的取值范围是[0,].
思想方法　转化与化归思想在直线与圆中常表现为:一般性点或图形转化为特殊点或特殊图形,充分发掘特殊结构的代数式、函数、方程等相关的几何意义,转化为直线斜率公式、距离公式等来解决.