广东省深圳市福田区外国语2022-2023学年高一上学期9月入学考试数学试题（Word版+解析版）

福田区外国语2022-2023学年高一上学期9月入学考试
数学学科试题
答题注意事项：
1．本试卷满分100分；考试用时90分钟；
2．本试卷分二卷，不按要求答卷不得分.
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列立体图形中，主视图和左视图不一样的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 我国神舟十三号载人飞船和航天员乘组于2022年4月16日返回地球，结束了183天的在轨飞行时间．从2003年神舟五号载人飞船上天以来，我国已有13位航天员出征太空，绕地球飞行共约2.32亿公里．将数据232000000用科学记数法表示为（ ）
A 0.232×109 B. 2.32×109 C. 2.32×108 D. 23.2×108
4. 如图，将矩形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置，的延长线交于点，若，则等于（ ）
A B. C. D.
5. 家务劳动是劳动教育的一个重要方面，教育部基础教育司发布通知要求家长引导孩子力所能及地做一些家务劳动．某校为了解七年级学生平均每周在家的劳动时间，随机抽取了部分七年级学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下频数分布表：根据表中的信息，下列说法正确的是（ ）
组别 一 二 三 四
劳动时间
频数 10 20 12 8
A. 本次调查样本容量是50人
B. 本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的中位数落在二组
C. 本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的众数落在四组
D. 若七年级共有500名学生，估计平均每周在家劳动时间在四组的学生大约有100人
6. 下列命题中，是真命题的有（ ）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的四边形是正方形 ④四边相等的四边形是菱形
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
7. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（ ）
A. 是等边三角形 B.
C. D. 四边形是菱形
9. 已知抛物线，当时，；当时，．下列判断：
①；②若，则；③已知点在抛物线上，当时，；④若方程两实数根为，则．其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AE交BD于点F，于点G，连接OG，则下列结论中①，②，③，④，正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空（每题3分，共15分）
11. 因式分解：=_______．
12. 为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是________．
13. 如图，AB是的弦，，垂足为C，ODAB，，则∠ABD的度数为_______度．
14. 如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数和的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2=__________．
15. 如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为__________．
三、计算题（共55分）
16. 计算：．
17 先化简，再求值：，其中．
18. 教育部在《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求：初中生每周课外生活和家庭生活中，劳动时间不少于小时．某走读制初级中学为了解学生劳动时间的情况，对学生进行了随机抽样调查，并将调查结果制成不完整的统计图表，如图：
平均每周劳动时间的频数统计表
劳动时间/小时 频数
请根据图表信息，回答下列问题．
（1）参加此次调查的总人数是_______人，频数统计表中_______；
（2）在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数是_______；
（3）该校准备开展以“劳动美”为主题的教育活动，要从报名的男女中随机挑选人在活动中分享劳动心得，请用树状图或列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
19. 某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
进货批次 甲种水果质量（单位：千克） 乙种水果质量（单位：千克） 总费用（单位：元）
第一次 60 40 1520
第二次 30 50 1360
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共千克，且投入的资金不超过元．将其中的千克甲种水果和千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克元、乙种水果以每千克元的价格销售．若第三次购进的千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于元，求正整数的最大值．
20. 如图，在中，，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接DF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接DE，求证：；
（3）若，求AD的长，直接写出答案
21. 已知二次函数y=ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：
x … －1 0 1 2 3 …
y … 4 3 0 －5 －12 …
（1）求二次函数y=ax2+bx+3的表达式；
（2）将二次函数y=ax2+bx+3的图象向右平移k（k>0）个单位，得到二次函数y=mx2+nx+q的图象，使得当－1（3）A、B、C是二次函数y=ax2+bx+3的图象上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，求出∠ACB的度数．
22. 如图（1），在△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE=DB，延长ED交AB于点F，探究的值．
（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC=60°时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立；
（3）如图（3），在△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，，延长BC至点E，点DE=DG，延长ED交AB于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）．
福田区外国语2022-2023学年高一上学期9月入学考试
数学学科试题 解析版
答题注意事项：
1．本试卷满分100分；考试用时90分钟；
2．本试卷分二卷，不按要求答卷不得分.
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列立体图形中，主视图和左视图不一样的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别确定各图形的主视图和左视图，再进行判断.
【详解】以从前向后方向为主视方向，以从左向右方向为左视方向可得
选项A的主视图与左视图为形状相同的矩形，选项A错误，
选项B的主视图与左视图为形状相同的三角形，选项B错误，
选项C的主视图与左视图为形状相同的正方形，选项C错误
选项D的主视图为矩形，左视图为三角形，形状不一样，选项D正确，
故选：D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对于A选项，运算结果漏掉，故A错误；
对于B选项， 运算结果是，故B正确；
对于C选项，不为零两数相除结果是，故C错误；
对于D选项，乘方运算有误，故D错误.
【详解】对于A选项，，故A错误；
对于B选项， ，故B正确；
对于C选项，，故C错误；
对于D选项，，故D错误
故选：B.
3. 我国神舟十三号载人飞船和航天员乘组于2022年4月16日返回地球，结束了183天的在轨飞行时间．从2003年神舟五号载人飞船上天以来，我国已有13位航天员出征太空，绕地球飞行共约2.32亿公里．将数据232000000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.232×109 B. 2.32×109 C. 2.32×108 D. 23.2×108
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学计数法的定义判断．
【详解】232000000是9位数，科学计数法计为．
故选：C．
4. 如图，将矩形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置，的延长线交于点，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得，进而可得，即得.
【详解】∵，
∴，
∴，
由，可得，
∴.
故选：A．
5. 家务劳动是劳动教育的一个重要方面，教育部基础教育司发布通知要求家长引导孩子力所能及地做一些家务劳动．某校为了解七年级学生平均每周在家的劳动时间，随机抽取了部分七年级学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下频数分布表：根据表中的信息，下列说法正确的是（ ）
组别 一 二 三 四
劳动时间
频数 10 20 12 8
A. 本次调查的样本容量是50人
B. 本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的中位数落在二组
C. 本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的众数落在四组
D. 若七年级共有500名学生，估计平均每周在家劳动时间在四组的学生大约有100人
【答案】B
【解析】
【分析】A选项，样本容量没有单位，故A错误；
B选项，按照中位数的定义进行数据分析，应落在二组，
C选项，按照众数的定义进行数据分析，应落在二组；
D选项，按照四组所占比例进行计算即可
【详解】A选项，，故样本容量为50，没有单位，故A错误；
B选项，，，故从小到大选取第25个和第26个数的平均数作为中位数，显然均落在二组，B正确；
C选项，因为，所以本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的众数落在二组，C错误；
D选项，，所以若七年级共有500名学生，估计平均每周在家劳动时间在四组的学生大约有80人，D错误.
故选：B
6. 下列命题中，是真命题的有（ ）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的四边形是正方形 ④四边相等的四边形是菱形
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形、菱形、正方形的定义判断．
【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，①正确；
对角线互相垂直时，对角线不一定相等，也不一定互相平分，因此四边形不一定是菱形，②错；
四边相等的四边形是菱形，四边形的内角不一定是直角，因此它不一定是方形，③错，④正确．
故选：D．
7. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设清酒x斗，根据两种酒的总数量以及总价值列方程即可.
【详解】设清酒x斗，则醑酒有斗，
又因一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，
所以x斗清酒共花了斗谷子，斗醑酒共花了斗谷子，
所以有：.
故选：A
8. 如图，，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（ ）
A. 等边三角形 B.
C. D. 四边形是菱形
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，由,，可判断是等边三角形；
对于B，由题意可得 ,又由PE⊥OM，PF⊥ON，可得；
对于C，由HL定理可得；
对于D，由于与不一定相等，所以四边形不一定是菱形.
【详解】解：因为以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B，
所以,
又因为，
所以是等边三角形，故A正确；
又因为以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，
所以,
在和中，
,
所以 ,
所以,
又因为PE⊥OM，PF⊥ON，
所以,故B正确；
因为PE⊥OM，PF⊥ON，
所以,
在和中,
,
所以,故C正确；
由作图过程可知：与不一定相等，
所以四边形不一定是菱形，故D错误.
故选：D.
9. 已知抛物线，当时，；当时，．下列判断：
①；②若，则；③已知点在抛物线上，当时，；④若方程的两实数根为，则．其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得，可判断①，由条件可得可判断②，结合抛物线的图象可判断③，利用特例可判断④.
【详解】∵，
∴抛物线开口向上，
当时，，当时，，
∴抛物线 与轴有两个不同的交点，
∴，即，故①错误；
∵当时，，当时，，
∴，，
当时，则，故②正确；
抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
当时，的值随的增大而减小，
∴当时，，故③正确；
∵方程的两实数根为，
∴，
令，，适合题意，
此时，故④错误；
综上，正确的有②③，共2个，
故选：B．
10. 如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AE交BD于点F，于点G，连接OG，则下列结论中①，②，③，④，正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】对①，通过证可得①正确；
对②，通过两组对角相等证明即可；
对③，先证A、B、G、O四点共圆，即可利用圆周角性质，得，即可由求得；
对④，过点O作，交GH延长线于点M，先证，则可得是等腰直角三角形，则易得.
【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴，
∴，
∵，∴，
在和中，，
∴，∴，①正确；
∵，∴，②正确；
∵点E是BC的中点，∴，
∵，∴A、B、G、O四点共圆，∴，
∵，∴，
∴，③错误；
过点O作，交GH延长线于点M，如图所示：
∵，∴，
∵，∴，
由①正确得：，在和中，，∴，
∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，④正确；
故选：C
二、填空（每题3分，共15分）
11. 因式分解：=_______．
【答案】.
【解析】
【分析】利用配凑法和完全平方和公式进行因式分解.
【详解】
故答案为：.
12. 为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是________．
【答案】＃＃05
【解析】
【分析】用列举法列出全部的基本事件，用古典概型的公式即可求解.
【详解】从甲乙丙丁4人选取两人的所有基本事件为：{（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁）}，共有6种，
甲被选中包含的基本事件有（甲乙），（甲丙），（甲丁），共3个，
故甲选中的概率为.
故答案为：
13. 如图，AB是的弦，，垂足为C，ODAB，，则∠ABD的度数为_______度．
【答案】
【解析】
【分析】连接，在直角三角形中，能得到再根据图象关系即可得到答案
【详解】连接，则，
在等腰三角形中，所以，
故答案为：105
14. 如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数和的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2=__________．
【答案】18
【解析】
【分析】根据正方形的性质，结合反比例函数的性质进行求解即可.
【详解】连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=BE=CE=DE，
设AE=BE=CE=DE=m，，
∵BD∥y轴，
∴，，
∵A，B都在反比例函数的图象上，
∴，
∵m≠0，
∴，
∴，
∵B（3，6-a）在反比例函数的图象上，在的图象上，
∴，，
∴，
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据正方形的性质，结合代入法是解题的关键.
15. 如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先证明△ABD≌△BCE得到∠APB=120°，在CB上取一点F使CF=CE=2，求出，作BH⊥AD延长线于H，求出，即得解.
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠APE=∠ABP+∠BAD=∠ABP+∠CBE=∠ABD=60°，
∴∠APB=120°，
在CB上取一点F使CF=CE=2，则BF=BC-CF=4，
∴∠C=60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠BFE=120°，
即∠APB=∠BFE，
∴△APB∽△BFE，
∴，
设BP=x，则AP=2x，
作BH⊥AD延长线于H，
∵∠BPD=∠APE=60°，
∴∠PBH=30°，
∴，
∴，
在Rt△ABH中，AH2+BH2=AB2，
即，
解得或（舍去），
∴，
∴△ABP的周长为，
故答案为：．
三、计算题（共55分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】由幂的运算法则、特殊角的余弦、绝对值的定义计算．
【详解】
.
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】化简结果为，值为
【解析】
【分析】分式通分，分子分母能因式分解的因式分解，然后约分即可化简，再代入参数值可得结论．
【详解】，
当时，原式
18. 教育部在《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求：初中生每周课外生活和家庭生活中，劳动时间不少于小时．某走读制初级中学为了解学生劳动时间的情况，对学生进行了随机抽样调查，并将调查结果制成不完整的统计图表，如图：
平均每周劳动时间的频数统计表
劳动时间/小时 频数
请根据图表信息，回答下列问题．
（1）参加此次调查的总人数是_______人，频数统计表中_______；
（2）在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角度数是_______；
（3）该校准备开展以“劳动美”为主题的教育活动，要从报名的男女中随机挑选人在活动中分享劳动心得，请用树状图或列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1），
（2）
（3）树状图见解析，
【解析】
【分析】（1）根据组中，平均每周劳动时间的频数与占比，即可计算总人数；然后可计算的值；
（2）在扇形统计图中，由（1）可计算组占比，根据圆的周角为，即可计算答案；
（3）列出树状图，找到总的样本点个数，以及恰好抽到一名男生和一名女生包含的样本点的个数，根据古典概型概率计算公式，计算得答案.
【小问1详解】
由题意，平均每周劳动时间的频数为，占比，所以总人数为，频数统计表中；
【小问2详解】
在扇形统计图中，组占比为，所以组所在扇形的圆心角度数是；
【小问3详解】
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有种，
∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为．
19. 某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
进货批次 甲种水果质量（单位：千克） 乙种水果质量（单位：千克） 总费用（单位：元）
第一次 60 40 1520
第二次 30 50 1360
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共千克，且投入的资金不超过元．将其中的千克甲种水果和千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克元、乙种水果以每千克元的价格销售．若第三次购进的千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于元，求正整数的最大值．
【答案】（1）甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元
（2）22
【解析】
【分析】（1）设甲两种水果的进价为每千克元，乙两种水果的进价为每千克元．根据总价题设条件列出关于，的二元一次方程组，即可求解（2）设第三次购进千克甲种水果，先解得的取值范围，设获得的利润为元，可表示为的函数，根据的最大值不小于列式解出的取值范围，即可确定正整数的最大值.
【小问1详解】
设甲两种水果的进价为每千克元，乙两种水果的进价为每千克元．
由题意，得，
解得，
答：甲两种水果的进价为每千克元，乙两种水果的进价为每千克元．
【小问2详解】
设第三次购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果．
由题意，得，
解得．
设获得的利润为元，
由题意，得
∵，
∴随的增大而减小，
∴时，的值最大，最大值为，
由题意，得，
解得，
∴的最大整数值为．
20. 如图，在中，，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接DF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接DE，求证：；
（3）若，求AD的长，直接写出答案
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）连接OD，根据AD平分∠BAC，OA＝OD，得∠CAD＝∠ODA，得ODAC，然后即可证明BC是圆O的切线；
（2）连接DE，证明∠BDE=∠OAD，公共角∠B，即可证明；
（3）连接EF,设圆O的半径为r，根据sinB＝，求得半径，根据，求得AF，根据的相似比，代入求解即可
【小问1详解】
证明：连接OD，如图所示：
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，
∴，∴，∴，
又∵OD是圆O的半径，∴BC是圆O的切线；
【小问2详解】
证明：连接DE，如图所示：
∵BC是⊙O的切线，∴，
∵AE是⊙O的直径，∴，
∴，
∵OD=OA，∴∠OAD=∠ADO，∴∠BDE=∠OAD，
∵∠B=∠B，∴；
【小问3详解】
连接EF，因为AE是⊙O的直径，∴，
在中，，
设圆O的半径为r，则，解得：，
∴，AB=AE+BE=10，
在中，，
∴，
∵，∠CAD=∠BAD，∴，∴，
∴，∴
21. 已知二次函数y=ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：
x … －1 0 1 2 3 …
y … 4 3 0 －5 －12 …
（1）求二次函数y=ax2+bx+3的表达式；
（2）将二次函数y=ax2+bx+3的图象向右平移k（k>0）个单位，得到二次函数y=mx2+nx+q的图象，使得当－1（3）A、B、C是二次函数y=ax2+bx+3的图象上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，求出∠ACB的度数．
【答案】（1）y=－x2－2x+3
（2）4≤k≤5 （3）45°或135°
【解析】
【分析】（1）将其中两点坐标代入表达式解得得函数表达式；
（2）利用图象平移后的对称轴满足可解得结论；
（3）过B作BH⊥AC于H，求出两点的纵坐标，同时得点纵坐标，从而得出是等腰直角三角形，按在的左右两侧分类讨论求得结论．
【小问1详解】
将(－1，4)，(1，0)代入y=ax2+bx+3得：，
解得，.
∴二次函数的表达式为y=－x2－2x+3；
【小问2详解】
，对称轴是，
其图象向右平移个单位，新图象对称轴为，
又新函数当－1所以，解得．
【小问3详解】
当B在C左侧时，过B作BH⊥AC于H，如图：
∵点A、B的横坐标分别是m、m+1，
∴，，
∴A(m，－m2－2m+3)，B(m+1，－m2－m)，
∵点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线x=－1，
∴，AC∥x轴，
∴=－2－m，
∴C(－2－m，－m2－2m+3)，
过B作BH⊥AC于H，
∴BH=|－m2－4m－(－m2－2m+3)|=|－2m－3|，CH=|(－2－m)－(m+1)|=|－2m－3|，
∴BH=CH，
∴△BHC是等腰直角三角形，
∴∠HCB=45°，即∠ACB=45°，
当B在C右侧时，如图：
同理可得是等腰直角三角形，
∴∠ACB=180°－∠BCH=135°，
综上所述，∠ACB的度数是45°或135°．
22. 如图（1），在△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE=DB，延长ED交AB于点F，探究的值．
（1）先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC=60°时，直接写出的值；
（2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立；
（3）如图（3），在△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，，延长BC至点E，点DE=DG，延长ED交AB于点F．直接写出的值（用含n的式子表示）．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）取AB的中点N，连接DN，由已知得DF⊥AB，再由等边三角形可得结论；
（2）取BC的中点H，连接DH，由三角形全等得BH=EC，再由平行线得相似三角形，从而得线段比值；
（3）取BC的中点M，连接DM，同理由全等三角形得GM=CE，得ME=CG，结合平行线得相似三角形后可得比值．
【小问1详解】
如图，取AB的中点N，连接DN，
∵点D是AC的中点，
∴DN是△ABC的中位线，
∴DN∥BC，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点D是AC的中点，
∴∠DBC=30°，
∵BD=ED，
∴∠E=∠DBC=30°，
∴DF⊥AB，
∵∠AND=∠ADN=60°，
∴△ADN是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
取BC的中点H，连接DH，
∵点D为AC的中点，
∴DH∥AB，，
∵AB=AC，
∴DH=DC，
∴∠DHC=∠DCH，
∵BD=DE，
∴∠DBH=∠DEC，
∴∠BDH=∠EDC，
∴△DBH≌△DEC（ASA），
∴BH=EC，
∴，
∵DH∥AB，
∴△EDH∽△EFB，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
取BC的中点M，连接DM，则DM∥BA，，
由（2）同理可证明△DGM≌△DEC（ASA），
∴GM=CE，
∴ME=CG，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵DM∥BF，
∴△EDM∽△EFB，
∴，
∵，
∴，
∴．