浙江省精诚联盟2022-2023学年高二上学期9月开学联考
数学试题
第 I 卷（选择题部分，共60分）
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项时 符合题目要求的.
1.设全集, 则 ( )
A. B.
C. D.
2. 若复数满足, 则( )
A. 1 B. 5 C. 7 D. 25
3.下列说法中正确的是( )
A. 用一个平面去截棱锥, 棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B. 上下底面全等, 其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
C. 棱台的底面是两个相似的正方形
D. 棱台的侧棱延长后必交于一点
4.设, 则“ ”是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5.魔方又叫鲁比克方块 (Rubk' s Cube), 是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克.艾尔内于 1974年发明的机械益智玩具, 与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议. 三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分, 然后沿等分线把正方体切开所得, 现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块, 2面有色的小正方体称为边缘方块, 3面有色的小正方体称为边角方块, 若从所有的小正方体中任取一个, 恰好抽到中心方块的概率为( )
A. B. C. D.
6. 设是空间中不同的直线, 是不同的平面, 则下列说法正确的是( )
A. 若, 则
B. 则
C. 若 , 则
D. 若 , 则
7. 已知, 则 属于( )
A. B. C. D.
8. 平面直角坐标系中, , 下列说法不正确的是( )
A. 若, 则的最小值为
B. 若, 则的最大值为
C. 若, 则点表示的平面区域的面积为
D. 若, 则点表示平面区域的面积为
二、多项选择题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 5 分, 选对但不全的得 2 分, 有选错的得 0 分.
9. 关于一组样本数据的平均数、中位数、频率分布直方图和方差, 下列说法正确的是( )
A. 改变其中一个数据, 平均数和中位数都会发生改变
B. 频率分布直方图中, 中位数左边和右边的直方图的面积相等
C. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称, 且在右边 “拖尾”, 则平均数大于中位数
D. 样本数据的方差越小, 说明样本数据的离散程度越小
10.下列选项正确的是( )
A. 对的最小值为1
B. 若, 则的最大值为
C. 若, 则
D. 若正实数满足, 则的最小值为8
11.要得到的图象, 可以将函数的图象上所有的点( )
A. 向右平行移动个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍
B. 向左平行移动个单位长度, 再把所得各点横坐标扩大到原来的2倍
C. 横坐标缩短到原来的倍, 再把所得各点向右平行移动个单位长度
D. 横坐标扩大到原来的2倍, 再把所得各点向左平行移动个单位长度
12.如图, 在棱长为2的正方体中, 点是线段上运动, 则下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 几何体的外接球半径
C. 异面直线与所成角的正弦值的取值范围为
D. 面与底面所成角正弦值的取值范围为
第 II 卷（非选择题部分，共90分）
三、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.
13. 抛掷一枚质地均匀的硬币2次, 则恰好有一次正面朝上的概率为____________.
14. 已知一个圆锥侧面展开图为半径为2的半圆, 则此圆锥的体积为____________.
15. 我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题: 今有北乡八千一百人, 西乡七千四百八十八人, 南乡六千九百一十二人, 凡三乡, 发役二百五十人, 则北乡遣____________人.
16. 已知非零向量满足, 则的最大值为____________.
四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本题满分 10 分) 为了普及垃圾分类知识, 某校举行了垃圾分类知识考试. 试卷中只有两道题目, 已知甲同学答对每题的概率都为, 乙同学答对每题的概率都为, 且在考试中每人各题答题结果互不影响. 已知每题甲、乙同时答对的概率为, 恰有一人答对的概率为.
(I) 求和的值;
(II) 试求两人共答对3道题的概率.
(本题满分 12 分) 已知函数的部分图象如图所示.
(I) 求的解析式;
(II) 求的单调递增区间, 若当 时, 求的值域.
19.(本题满分 12 分) 已知的角所对的边分别是, 角, 边长 , 设向量.
(I) 若, 求的面积;
(II) 若, 求的面积.
20.(本题满分 12 分) 图1是由矩形 、 Rt 和菱形组成的一个平面图形, 其中, 将其沿折起使得与 重合, 连结, 如图 2 .
(I ) 证明: 图2中的平面;
(II) 图2中连接, 求与平面所成角的正弦值.
21.(本题满分 12 分) 浙江某校为了了解学生的体育锻炼时间, 采用简单随机抽样法抽取了 100名学生, 对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位: 分钟）进行调查, 按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表:
分组
男生人数 2 16 18 18 6 3
女生人数 3 20 9 2 2 1
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为 “锻炼达人” .
(I) 若将频率视为概率, 估计该校3500名学生中 “锻炼达人” 有多少
(II) 从这100名学生的 “锻炼达人” 中按性别分层抽取8人参加某项体育活动.
(1)求男生和女生各抽取了多少人;
(2)若从这8人中随机抽取2人作为组长候选人, 求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.
22. (本题满分 12 分) 设函数, 其中为任意常数.
(I) 若, 且函数在区间上不单调, 求实数的取值范围;
(II) 如果不等式在上恒成立, 求的最大值.2022 学年第一学期浙江省精诚联盟返校联考
高二年级数学学科 参考答案与部分题目解析
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项时
符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D B A C B D
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
题号 9 10 11 12
答案 BCD BD BD ACD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
1 3 33
13. 14. 15. 90； 16.
2 3 8
8.解析：若OP = xOA+ (1 x)OB （ x R），则点P 在直线 AB 上，由于△OAB 是边长为 2 的等
边三角形，点O到直线 AB 的距离为 3 ；
若 x = 0 ，则OP = yOB + (1 y)OC ，点P 是线段BC 上任意一点；
若 y = 0，则OP = xOA+ (1 x)OC ，点P 是线段 AC 上任意一点；
若 x + y =1，则OP = xOA+ yOB，则点P 是线段 AB 上任意一点．
x y
若 x, y, x + y (0,1) ，则OP = (x + y)( OA+ OB) + (1 x y)OC ．
x + y x + y
x y
记OM = OA+ OB ，则点M 是线段 AB 上任意一点，
x + y x + y
OP = (x + y)OM + (1 x y)OC ，点P 是线段CM 上任意一点．
综上，点P 是△ ABC 内部及边界上任意一点， OP 的最大值为2 3．
记 A ( 2,0)，B ( 1, 3) ，OP = xOA+ yOB， x + y 1，则点P 在以 AA 和BB 为对角线的
平行四边形内部及边界，其面积为4 3 ．
高二年级数学学科 参考答案 第1页 共 6 页
若OP = xOA+ yOB + zOC ， x + y + z 1， z 0，由选项 B 和 C 知点P 是五边形CAB A B内
部及边界上一点，其面积为5 3 ．综上，选择答案 D．
12. 解析：由于平面 A1BC1 // 平面 ACD1， A1M 平面 A1BC1，则 A1M // 平面 ACD1，A 正确．
几何体 A1BC1 ACD1关于正方体的中心对称，其外接球与正方体 ABCD A1B1C1D1的外接球相同，
半径为 3 ，故 B 错误．
2
由于CD // A1B1，则直线 A1B1与 A1M 所成最大角为 B1A1C1（或 B1A1B），其正弦值为 ．直
2
线 A1B1与 A1M 所成最小角为 A1B1与平面 A1BC1所成角，当M 为BC1中点时，所成角即为 B1A1M ，
3
其正弦值为 ，故 C 正确．
3
同理，D 正确．
综上，选择 ACD．
16. 解答 如图，设OA= a，OB = b，OC = c， A
则OA+OB+OC = 0，O是△ ABC 的重心．
O
由于 AB = AC = 2，延长 AO 交BC 于点D，则 AD ⊥ BC ，
OB =OC ． B D C
设 OD = x （0 x 2 2），则OA= 2x，OB = 4 8x2，
1 33 33 33
a + b c = 2x+ 4 8x2 = 8(x )2 + ，即 a + b c 的最大值为 ．
8 8 8 8
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本题满分 10 分)
1 1
pq = , 3
pq = ,
3
解析：(Ⅰ)由题意可得 即 -------------------- 2 分
1 7p (1 q)+ q (1 p) = , p + q = ,
2 6
高二年级数学学科 参考答案 第2页 共 6 页
1 2
p = p = , 2 3 2 1
解得 或 由于 p q，所以 p = ， q = ；---------------------- 4 分
2 1 3 2q = q = ,
3 2
(Ⅱ)设 Ai = {甲同学答对了 i 道题}，Bi = {乙同学答对了 i 道题}， i = 0,1,2 .
2 1 1 2 4 2 2 4
由题意得，P (A1 ) = + = ，P (A2 ) = = ，
3 3 3 3 9 3 3 9
1 1 1 1 1 1 1 1
P (B ) = + = ， P (B ) = = ，-------------------------------- 6 分 1 2
2 2 2 2 2 2 2 4
设E = {甲乙二人共答对3道题}，则E = A1B2 + A2B1，
由于 Ai 和 Bi 相互独立， A1B2 与 A2B1相互互斥，
所以P(E) = P(A1B2 )+P(A2B1 ) = P(A1 )P(B2 )+P(A2 )P(B1 )
4 1 4 1 1
= + = ，
9 4 9 2 3
1
所以甲乙二人共答对 3 道题的概率为 . -------------------------------- 10 分
3
18. (本题满分 12 分)
A+ B =1
解析：(Ⅰ)由图象可知： ,
A+ B = 3
解得 A= 2 , B = 1，----------------------------- 2 分
T 7 2
又由于 = ,可得T = ,所以 = = 2，
2 12 12 T
2
由图像知 f ( ) =1,sin(2 + ) =1,又因为 + ，
12 12 3 6 3
所以2 + = , = ,----------------------------- 4 分
12 2 3
所以 f (x) = 2sin(2x + ) 1 ， ----------------------------- 6 分
3
(Ⅱ)依题可得 + 2k 2x+ + 2k ，解得
2 3 2
5
f (x)的单调递增区间[ + k , + k ],k Z ----------------------------- 8 分
12 12
因为 x , ，令 t = 2x + 0, ，所以sin t 0,1 ，----------------------- 10 分
6 3 3
即 g (x)的值域为 1,1 ．----------------------------- 12 分
高二年级数学学科 参考答案 第3页 共 6 页
19. (本题满分 12 分)
a b
解析：(Ⅰ)m // n，则asin A= bsin B ，即a = b ，----------------2 分
2R 2R
其中R 是三角形 ABC 外接圆半径，故a = b，
因为C = ,即△ ABC 为等边三角形， --------------- 4 分
3
3
因为c = 2，故 S△ABC = 4 = 3；----------------------------- 6 分
4
(Ⅱ)由题意可知m p = 0，即a(b 2)+b(a 2) = 0，
即a+b = ab，----------------------------- 8 分
2 2
由余弦定理可知4 = a ＋b －ab = (a+b)2－3ab ，
2
即4 = (ab) －3ab，
故ab = 4 (舍去ab = 1)，----------------------------- 10 分
1 3
故 S△ABC = 4 = 3 .----------------------------- 12 分
2 2
20. (本题满分 12 分)
解析:(Ⅰ)由已知得 CG BE，BE 平面 ABED ，----------------------------- 2 分
CG 平面 ABED ，故 CG 平面 ABED ；----------------------------- 4 分
(Ⅱ)由已知得AB⊥ BE，AB⊥ BC，故AB⊥ 平面BCGE，
又因为AB 平面ABC，所以平面ABC⊥ 平面BCGE，---------------------- 6分
作EH⊥ BC，垂足为H．因为EH 平面BCGE，
平面BCGE⊥ 平面ABC，所以EH⊥ 平面ABC．
连接 AH ，则 EAH 即为所求线面角. ----------------------------- 8分
由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，
可求得BH=1，EH= 3 ， AE = 5 ，
高二年级数学学科 参考答案 第4页 共 6 页
3 15
故所求角的正弦值为 = . ----------------------------- 12分
5 5
21. (本题满分 12 分)
解析：(Ⅰ)由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为12人，
若将频率视为概率，该校3500 名学生中“锻炼达人”的人数为
12
3500 = 420（人）；---------------------------- 4 分
100
(Ⅱ) ① 由(Ⅰ)知100名学生中的“锻炼达人”有12人，
其中男生9 人，女生3人．
从12人中按性别分层抽取8人参加体育活动，
则男生抽取 6 人，女生抽取 2 人．---------------------------- 6 分
②抽取的8人中有 6 名男生和 2 名女生， 6 名男生依次编号为 A1, A2 ,..., A6 ，
2 名女生依次编号为 B1, B2 ，
则8人中随机抽取 2 人的所有结果有 28种结果，---------------------------- 8 分
且每种结果发生的可能性相等．
记“抽取的 2 人中男生和女生各1人”为事件 A，
则事件 A包含的结果有12个，---------------------------- 10 分
12 3
故 P(A) = = ．---------------------------- 12 分
28 7
22. (本题满分 12 分)
解析：(Ⅰ) 若 a =1， f (x) = 2x2 (1+b)x +b，
1+ b
此时二次函数的对称轴方程为 x = ,---------------------------- 2 分
4
1+ b
由题意知0 1，解得 1 b 3；---------------------------- 4 分
4
2
(Ⅱ) f (x) max f (0), f (2) 2ax (a+b) x+b max b,6a b .
b 2
令 = t ，则 2ax (a+b) x+b max b,6a b
a
2
2x (1+ t ) x+ t max t,6 t ---------------------------- 5 分
① 当 t 3时， 上式 2x
2 (1+ t ) x+ t t t 2x2 (1+ t ) x+ t t .
2
（ⅰ）2x2 (1+ t ) x 0 xt 2x + x 0，
记 g (t ) = xt 2x2 + x 0 在 t 3时恒成立，
高二年级数学学科 参考答案 第5页 共 6 页
则3x 2x2 + x 0 0 x 2 .---------------------------- 6 分
2x2（ⅱ） (1+ t ) 2x+2t 0 (2 x)t + 2x x 0 .
2
记 g (t ) = (2 x)t + 2x x 0在 t 3时恒成立，
2 x 0,
则
3(2 x)+ 2x
2 x 0,
解得0 x 2.---------------------------- 8 分
2
② 当 t 3时， 2x (1+ t ) x+ t 6 t t 6 2x2 (1+ t ) x+ t 6 t
2 2
（ⅰ）2x (1+ t ) x+ 2t 6 0 (2 x)t + 2x x 6 0 .
2 x 0
记 g (t ) = (2 x)t + 2x2 x 6 0 在 t 3时恒成立，则 2
3(2 x)+ 2x x 6 0
0 x 2 .---------------------------- 9 分
2 2
（ⅱ）2x (1+ t ) x+6 0 xt 2x + x 6 0.
记 g (t ) = xt 2x2 + x 6 0在 t 3时恒成立，
则3x 2x2 + x 6 0 x 0 ---------------------------- 11 分
综上， f (x) max{ f (0), f (1)}恒成立的充要条件是0 x 2，
即m 的最大值是 2 . ---------------------------- 12 分
高二年级数学学科 参考答案 第6页 共 6 页
