1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第一节 距离问题
学习目标：
1.理解空间向量求点线距离、点面距离的原理；
2.建系利用向量坐标求点线距离、点面距离.
学科素养：
1.理解空间向量求点线距离、点面距离的原理，发展数学抽象素养；
2.建系利用向量坐标求点线距离、点面距离，发展数学运算素养.
学习重点与难点：
重点：建系利用向量坐标求点线距离、点面距离；
难点：数学运算素养的发展.
学习过程：
一、知识点
1.点线距离
P是直线外一点，借助于两个向量求点P到直线的距离：
h=
①直线的单位方向向量为，②=(A是直线上任意一点).
思考：如何求两条平行线之间的距离？
2.点面距离
P是平面外一点，借助于两个向量求点P到平面的距离：
H =
①平面的法向量，②=(A是平面内任意一点).
思考：如何求两条平行平面之间的距离？
如果直线与平面平行，如何求线面距离？
二、习题
【例】.如图，在正方体中，棱长为，、分别为、的中点，求下列问题：
求到直线的距离；
求到面的距离．
解：如图所示建立空间直角坐标系，
，
，.
==， = = .
到直线的距离．
解题流程梳理：
，，，
，.
设为面的法向量，则，即，取，得平面的一个法向量
．
，得到面的距离．
解题流程梳理：
【变式训练】
1.在直三棱柱中，，，为的中点，为的中点．
求点到直线的距离；
求点到平面的距离．
解：建立如图所示的空间直角坐标系.
M(2，0，1)，.
，=.
==，==.
点到直线的距离．
，，.
=，=.
设平面的法向量为，则，即， 取，平面的一个法向量.
，得点到平面的距离．
失误处反馈：
三、小结
课后作业题
1.如下图所示，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．
求点到直线的距离；
求直线到平面的距离．
解：建立空间直角坐标系如图所示.
，，.
，.
==1，==.
点到直线的距离=．
，，，，.
，.
，
平面，则点到平面的距离就是直线到平面的距离.
=(0，)，=().
设平面的法向量为，则.取，得平面的一个法向量.
，得点到平面的距离为，直线到平面的距离为．
2.如图，在棱长为的正方体中，求：
的中点到直线的距离；点到平面的距离．
解析：如图建立空间直角坐标系.
(1)，，.
，.
==，=.
点到直线的距离为.
，，.
，.
设平面的法向量为，则，得，
令，得平面的一个法向量.
，到平面的距离为
思考：如何求平面与平面A1DC1的距离？1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第一节 距离问题
学习目标：
1.理解空间向量求点线距离、点面距离的原理；
2.建系利用向量坐标求点线距离、点面距离.
学科素养：
1.理解空间向量求点线距离、点面距离的原理，发展数学抽象素养；
2.建系利用向量坐标求点线距离、点面距离，发展数学运算素养.
学习重点与难点：
重点：建系利用向量坐标求点线距离、点面距离；
难点：数学运算素养的发展.
学习过程：
一、知识点
1.点线距离
P是直线外一点，借助于两个向量求点P到直线的距离：
h=
①直线的单位方向向量为，②=(A是直线上任意一点).
思考：如何求两条平行线之间的距离？
2.点面距离
P是平面外一点，借助于两个向量求点P到平面的距离：
H =
①平面的法向量，②=(A是平面内任意一点).
思考：如何求两条平行平面之间的距离？
如果直线与平面平行，如何求线面距离？
二、习题
【例】.如图，在正方体中，棱长为，、分别为、的中点，求下列问题：
求到直线的距离；
求到面的距离．
解题流程梳理：
【变式训练】
1.在直三棱柱中，，，为的中点，为的中点．
求点到直线的距离；
求点到平面的距离．
失误处反馈：
三、小结
课后作业题
1.如下图所示，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．
求点到直线的距离；
求直线到平面的距离．
2.如图，在棱长为的正方体中，求：
的中点到直线的距离；点到平面的距离．
思考：如何求平面与平面A1DC1的距离？
