空间向量与立体几何章末复习（1.1-1.3节）答案
一、空间向量的线性运算
用已知向量表示未知向量的解题策略
(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．
(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．
1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝1＋x＋y，则x，y的值分别为( C )
A．1，1 B．1， C.， D．，1
2．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( B )
A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直
3．若{a，b，c}是空间的一组基，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的一组基的向量是( C )
A．A B．b C．C D．2a
4.如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是( B )
A．＝b－c B．＝b＋c－a
C．＝b－c－a D．＝a＋b－c
5.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，1＝c，则向量C1M可用a，b，c表示为___－a－b－c_____．
6.已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|＝____________．
二、共线、共面向量定理的应用
常用结论
1．在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
2．在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点．
3．若＝x＋y且M点或N点不在平面ABC内，可得MN∥平面ABC.
1.在空间四边形ABCD中，＝3，＝－＋＋λ，则λ＝___ _____．
2.O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t ，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________．
3．如图，点M为OA的中点，{，，}为空间的一组基，＝x＋y＋z，则有序实数组(x，y，z)＝________．
4.．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有＝t－3＋，若D，A，B，C四点共面，则t＝____3____．
三、空间向量数量积的应用
空间向量数量积的三个应用
求夹角 设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角
求长度 (距离) 运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
解决垂 直问题 利用a⊥b a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题
1.若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a，b的夹角的余弦值为，则λ等于( C )
A．2 B．－2
C．－2或 D．2或－
2．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD－A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC1＝3，CD＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°.则向量A1C的模长为( A )
A． B．29 C．19 D．39
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则A1B与DE所成角的余弦值为( B )
A． B． C． D．
4.在正方体ABCD A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( D )
A． B． C． D．
5.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( C )
A． B． C． D．
6.已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( C )
A. B． C． D．
7.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)且DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为____或________．
8.如图所示，已知空间四面体ABCD的每条棱长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
(1)·；
(2)·.
设＝a，＝b，＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)＝＝c－a，＝－a，
·＝·(－a)＝a2－a·c＝.
(2)·＝(＋＋)·(－)
＝·(－)
＝·(－)
＝·(c－a)
＝(－1×1×＋1×1×＋1＋1－1×1×－1×1×)＝.
变式1．在上例条件下，求证EG⊥AB.
证明：由例题知＝(＋－)＝(b＋c－a)，所以·＝(a·b＋a·c－a2)
＝＝0.
故⊥，即EG⊥AB.
变式2．在上例条件下，求EG的长．
解：由例题知＝－a＋b＋c，
||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝，即EG的长为.
变式3．在上例条件下，求异面直线AG与CE所成角的余弦值．
解：由例题知＝b＋c，＝＋＝－b＋a，
cos 〈，〉＝＝－，
由于异面直线所成角的范围是，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
跟踪训练
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E＝A1C1，＝x1＋y(＋)，则( D )
A．x＝1，y＝ B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝1 D．x＝1，y＝
2．已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝( B )
A．9 B．－9 C．－3 D．3
3．在正四面体DABC中，点O是△ABC的中心，若＝x＋y＋z，则( B )
A．x＝y＝z＝ B．x＝y＝z＝
C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝1
4．已知向量a，b，c两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|＝( A )
A． B．5 C．6 D．
5．已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，则下列四式中不正确的是( D )
A．－＝ B．＝＋＋
C．＝ D．＋＋＋＝
6．下列说法中正确的是( C )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若，共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充分不必要条件
7．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是( B )
A．AC1＝3
B．AC1⊥DB
C．向量B1C与AA1的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
8．若空间中三点A，B，C共线，则p＋q＝____7____．
9.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos 〈，〉的值为___0_____．
10.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1.则在如图所示的空间直角坐标系中，MN＝________．
11.已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝
＝.则VA与平面PMN的位置关系是___平行_____．
12..如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：MN∥平面CDE.
证明：因为点M在BD上，且BM＝BD，
所以＝＝＋.
同理＝＋.
所以＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋.
又与不共线，
所以根据向量共面的充要条件可知，，共面．
因为MN不在平面CDE内，
所以MN∥平面CDE.
10．已知a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)
解：(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，
故|2a＋b|＝＝5.
(2)令＝t(t∈R)，
所以＝＋＝＋t
＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)
＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，
若⊥b，则·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，
解得t＝.
因此存在点E，使得⊥b，
此时E点的坐标为.空间向量与立体几何章末复习（1.1-1.3节）
一、空间向量的线性运算
用已知向量表示未知向量的解题策略
(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．
(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．
1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝1＋x＋y，则x，y的值分别为( )
A．1，1 B．1， C.， D．，1
2．在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直
3．若{a，b，c}是空间的一组基，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的一组基的向量是( )
A．A B．b C．C D．2a
4.如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，＝，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是( )
A．＝b－c B．＝b＋c－a
C．＝b－c－a D．＝a＋b－c
5.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，1＝c，则向量C1M可用a，b，c表示为________．
6.已知a，b，c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|＝____________．
二、共线、共面向量定理的应用
常用结论
1．在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．
2．在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点．
3．若＝x＋y且M点或N点不在平面ABC内，可得MN∥平面ABC.
1.在空间四边形ABCD中，＝3，＝－＋＋λ，则λ＝_______．
2.O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t ，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________．
3．如图，点M为OA的中点，{，，}为空间的一组基，＝x＋y＋z，则有序实数组(x，y，z)＝________．
4.．对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有＝t－3＋，若D，A，B，C四点共面，则t＝________．
三、空间向量数量积的应用
空间向量数量积的三个应用
求夹角 设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角
求长度 (距离) 运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
解决垂 直问题 利用a⊥b a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题
1.若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a，b的夹角的余弦值为，则λ等于( )
A．2 B．－2
C．－2或 D．2或－
2．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD－A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC1＝3，CD＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°.则向量A1C的模长为( )
A． B．29 C．19 D．39
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则A1B与DE所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
4.在正方体ABCD A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( )
A． B． C． D．
5.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
6.已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A. B． C． D．
7.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)且DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为___________．
8.如图所示，已知空间四面体ABCD的每条棱长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
(1)·；
(2)·.
变式1．在上例条件下，求证EG⊥AB.
变式2．在上例条件下，求EG的长．
变式3.在上例条件下，求异面直线AG与CE所成角的余弦值．
跟踪训练
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E＝A1C1，＝x1＋y(＋)，则( )
A．x＝1，y＝ B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝1 D．x＝1，y＝
2．已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝( )
A．9 B．－9 C．－3 D．3
3．在正四面体DABC中，点O是△ABC的中心，若＝x＋y＋z，则( )
A．x＝y＝z＝ B．x＝y＝z＝
C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝1D
4．已知向量a，b，c两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|＝( )
A． B．5 C．6 D．
5．已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，则下列四式中不正确的是( )
A．－＝ B．＝＋＋
C．＝ D．＋＋＋＝
6．下列说法中正确的是( )
A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B．若，共线，则AB∥CD
C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面
D．若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充分不必要条件
7．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是( )
A．AC1＝3 B．AC1⊥DB
C．向量B1C与AA1的夹角是60° D．BD1与AC所成角的余弦值为
8．若空间中三点A，B，C共线，则p＋q＝________．
9.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos 〈，〉的值为________．
10.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1.则在如图所示的空间直角坐标系中，MN＝________．
11.已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝
＝.则VA与平面PMN的位置关系是________．
12.如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：MN∥平面CDE.
