集合专题
1.1-1.3集合的概念、集合间的基本关系、集合间的基本运算
一、知识梳理
1．集合的概念
(1)集合元素的三个特征： 、 、 ．
(2)元素与集合的关系是 或 关系，用符号∈或 表示．
(3)集合的常用表示法： 、 、 ．
(4)常见数集的记法
集合 自然 数集 正整数集 整数集 有理 数集 实数集 正实 数集
符号
2.集合间的基本关系
表示 关系 自然语言 符号 语言 图形语言
子集 集合A中 元素都属于集合B (或 )
真子集 集合A B，且 ( )
集合 相等 集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的 A＝B
3.集合的基本运算
集合的交集 集合的并集 集合的补集
图形 语言
符号 语言 A∩B＝ A∪B＝ UA＝
常用结论
1．空集的性质
空集不含任何元素，空集是任意一个集合A 的子集，即 A.
2．集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ .
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
(4)A∪B＝A B A，A∩B＝A A B.
3．集合的子集个数
若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．
二、核心考点
考点一 集合的概念
与集合中元素有关问题的求解步骤
步骤一：确定集合的元素是什么，集合是数集还是点集．
步骤二：看这些元素满足什么限制条件．
步骤三：根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．
1．设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则a2 023－b2 023＝( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
3．已知集合P＝，Q＝，M＝，且a∈P，b∈Q，则( )
A．a＋b∈P B．a＋b∈Q
C．a＋b∈M D．a＋b不属于P，Q，M中的任意一个
4．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A． B． C．0或 D．0或
考点二 集合间的基本关系
(1)判断两集合关系的2种常用方法
列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．
数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．
(2)根据两集合的关系求参数的方法
①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性．
②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．
1、已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A C B的集合C的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2、已知集合A＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|－m＜x＜m}．若A B，则m的取值范围是________．
3、上题2中，若“A B”改为“B A”，其他条件不变，则m的取值范围是________．
4．已知集合M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N＝{y|y＝x，x≠0}，则下列选项正确的是( )
A．M＝N B．N M C．M＝ RN D． RNM
5.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N＋}，则集合A的真子集的个数为( )
A．7 B．8 C．15 D．16
8．已知集合A＝，B＝{x|x2≤1}，若B A，则实数a的取值可以是( )
A．－2 B．0 C． D．
考点三 集合的基本运算
(1)集合运算的常用方法
①若集合中的元素是离散的，则常用Venn图求解．
②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)利用集合的运算求参数的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍．
②若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性).
(3)解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点
①准确转化．解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
②方法选取．对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解．
1.设集合A＝{x|－2A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4}
2.已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( )
A． B．S C．T D．Z
3.设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( )
A．－4 B．－2 C．2 D．4
4.设集合A＝{(x，y)|2x＋y＝1，x，y∈R}，集合B＝{(x，y)|a2x＋2y＝a，x，y∈R}，若A∩B＝ ，则a的值为( )
A．2 B．4 C．2或－2 D．－2
5.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则 U(M∪N)＝( )
A．{5} B．{1，2} C．{3，4} D．{1，2，3，4}
6．设集合M＝，N＝，则M∩N＝( )
A. B．
C． D．
7．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N＋，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
8．给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1 S且x－1 S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有________个．
三、跟踪训练
1．已知集合A＝，且2∈A，则实数m的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2.已知集合A＝{1，3，5，6}，B＝{x∈N|0A．4 B．3 C．2 D．1
3．已知集合A＝{x∈N＋|x2－3x－4＜0}，则集合A的真子集有( )
A．7个 B．8个 C．15个 D．16个
4．设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝，则M∩N＝( )
A．{7，9} B．{5，7，9}
C．{3，5，7，9} D．{1，3，5，7，9}
5．设集合M＝{－1，1}，N＝，则下列结论中正确的是( )
A．NM B．MN
C．N∩M＝ D．M∪N＝R
6．已知非空集合M满足：①M {－2，－1，1，2，3，4}，②若x∈M，则x2∈M.则集合M可能是( )
A．{－1，1} B．{－1，1，2，4}
C．{1，2} D．{1，－2，2}
7．已知集合A＝{x|x2－4x＋3>0}，B＝{x|x－a<0}，若B A，则实数a的取值范围为( )
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
8．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是 ( )
A．{x|x是小于18的正奇数} B．
C． D．
9．某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为x，最少人数为y，则x－y＝( )
A．22 B．21 C．20 D．19
10．设集合A＝{－1，1，2}，B＝{a＋1，a2－2}，若A∩B＝{－1，2}，则a的值为________．
11.若集合M＝{x||x|>2}，N＝，则N＝________； R(M∩N)＝________．
12．已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠ ，则a的取值范围为________．
13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．
14．定义集合P＝{p|a≤p≤b}的“长度”是b－a，其中a，b∈R.已知集合M＝，N＝，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________．集合专题（答案）
1.1-1.3集合的概念、集合间的基本关系、集合间的基本运算
一、知识梳理
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或 表示．
(3)集合的常用表示法：列举法、描述法．
(4)常见数集的记法
集合 自然 数集 正整数集 整数集 有理 数集 实数集 正实 数集
符号 N N＋或N* Z Q R R＋
2.集合间的基本关系
表示 关系 自然语言 符号 语言 图形语言
子集 集合A中任意一个元素都属于集合B A B (或B A)
真子集 集合A B，且A≠B AB (或BA)
集合 相等 集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集 A＝B
3.集合的基本运算
集合的交集 集合的并集 集合的补集
图形 语言
符号 语言 A∩B＝ {x|x∈A， 且x∈B} A∪B＝ {x|x∈A，或x ∈B} UA＝ {x|x∈U，且 x A}
常用结论
1．空集的性质
空集不含任何元素，空集是任意一个集合A 的子集，即 A.
2．集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ .
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
(4)A∪B＝A B A，A∩B＝A A B.
3．集合的子集个数
若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．
二、核心考点
考点一 集合的概念
与集合中元素有关问题的求解步骤
步骤一：确定集合的元素是什么，集合是数集还是点集．
步骤二：看这些元素满足什么限制条件．
步骤三：根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．
1．设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为( C )
A．3 B．4 C．5 D．6
2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则a2 023－b2 023＝( D )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
3．已知集合P＝，Q＝，M＝，且a∈P，b∈Q，则( B )
A．a＋b∈P B．a＋b∈Q
C．a＋b∈M D．a＋b不属于P，Q，M中的任意一个
4．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( D )
A． B． C．0或 D．0或
考点二 集合间的基本关系
(1)判断两集合关系的2种常用方法
列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．
数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．
(2)根据两集合的关系求参数的方法
①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性．
②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．
1、已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A C B的集合C的个数为( D )
A．1 B．2 C．3 D．4
2、已知集合A＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|－m＜x＜m}．若A B，则m的取值范围是____[3，＋∞)____．
3、上题2中，若“A B”改为“B A”，其他条件不变，则m的取值范围是___(－∞，1]_____．
4．已知集合M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N＝{y|y＝x，x≠0}，则下列选项正确的是( C )
A．M＝N B．N M C．M＝ RN D． RNM
5.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N＋}，则集合A的真子集的个数为( A )
A．7 B．8 C．15 D．16
8．已知集合A＝，B＝{x|x2≤1}，若B A，则实数a的取值可以是( C )
A．－2 B．0 C． D．
考点三 集合的基本运算
(1)集合运算的常用方法
①若集合中的元素是离散的，则常用Venn图求解．
②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
(2)利用集合的运算求参数的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍．
②若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
在求出参数后，注意结果的验证(满足集合中元素的互异性).
(3)解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点
①准确转化．解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
②方法选取．对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解．
1.设集合A＝{x|－2A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4}
2.已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( C )
A． B．S C．T D．Z
3.设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( B )
A．－4 B．－2 C．2 D．4
4.设集合A＝{(x，y)|2x＋y＝1，x，y∈R}，集合B＝{(x，y)|a2x＋2y＝a，x，y∈R}，若A∩B＝ ，则a的值为( D )
A．2 B．4 C．2或－2 D．－2
5.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则 U(M∪N)＝( A )
A．{5} B．{1，2} C．{3，4} D．{1，2，3，4}
6.设集合M＝，N＝，则M∩N＝( B )
A. B．
C． D．
7．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N＋，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( C )
8．给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1 S且x－1 S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有____6____个．
三、跟踪训练
1．已知集合A＝，且2∈A，则实数m的值为( D )
A．0 B．1 C．2 D．3
2.已知集合A＝{1，3，5，6}，B＝{x∈N|0A．4 B．3 C．2 D．1
3．已知集合A＝{x∈N＋|x2－3x－4＜0}，则集合A的真子集有( A )
A．7个 B．8个 C．15个 D．16个
4．设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝，则M∩N＝( B )
A．{7，9} B．{5，7，9}
C．{3，5，7，9} D．{1，3，5，7，9}
5．设集合M＝{－1，1}，N＝，则下列结论中正确的是( B )
A．NM B．MN
C．N∩M＝ D．M∪N＝R
6．已知非空集合M满足：①M {－2，－1，1，2，3，4}，②若x∈M，则x2∈M.则集合M可能是( A )
A．{－1，1} B．{－1，1，2，4}
C．{1，2} D．{1，－2，2}
7．已知集合A＝{x|x2－4x＋3>0}，B＝{x|x－a<0}，若B A，则实数a的取值范围为( D )
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
8．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是 ( D )
A．{x|x是小于18的正奇数} B．
C． D．
9．某班有46名学生，有围棋爱好者22人，足球爱好者27人，同时爱好这两项的最多人数为x，最少人数为y，则x－y＝( D )
A．22 B．21 C．20 D．19
10．设集合A＝{－1，1，2}，B＝{a＋1，a2－2}，若A∩B＝{－1，2}，则a的值为___－2或1_____．
11.若集合M＝{x||x|>2}，N＝，则N＝___{x|－112．已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠ ，则a的取值范围为___[1，＋∞)_____．
13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝___-1_____，n＝___1_____．
14．定义集合P＝{p|a≤p≤b}的“长度”是b－a，其中a，b∈R.已知集合M＝，N＝，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________．
