1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第二节 成角问题
学习目标：
1.理解空间向量求线线角、线面角、面面角的原理；
2.建系利用向量坐标求线线角、线面角、面面角（简单的）.
学科素养：
1.理解空间向量求线线角、线面角、面面角的原理，发展数学抽象素养；
2.建系利用向量坐标求线线角、线面角、面面角，发展数学运算素养.
学习重点与难点：
重点：建系利用向量坐标求线线角、线面角、面面角（简单的）；
难点：数学运算素养的发展.
学习过程：
一、知识点
1.线线角
异面直线所称的角为，其方向向量分别是，则
2.线面角
直线与平面所成的角为直线的方向向量为，平面的法向量为，则
3.面面角：两个平面相交，形成四个二面角，不大于900的二面角称为这两个平面的夹角.
两个平面的夹角为，法向量分别为，则
二、习题
题型1------线线角
【例】将正方形沿对角线折成直二面角，则异面直线与夹角的余弦值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：如图建立空间直角坐标系(O为线段AC中点)，设.
，，，.
.
，故选B．
解题流程梳理：
【变式练习】如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：建立如图所示的空间直角坐标系，设.
，，，.
，.
设异面直线与所成角为，
则．
故选：．
解题流程梳理：
题型2------线面角
【例】在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
解：如图建立空间直角坐标系.
．
AC，BD=B，
平面，为平面的一个法向量．
，， .
，．
设直线与平面所成角为，
则．
因此与平面所成角的正弦值为．
故选D．
解题流程梳理：
【变式练习】在正方体中，直线与平面夹角的余弦值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长等于.
，，，.
，，.
设是平面的一个法向量，
则，即，取，得平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，则
，
，即直线与平面所成角的余弦值是.
故选C．
解题流程梳理：
题型3-----面面角
【例】如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：平面O的法向量为，平面的法向量为.
二面角的大小为，且为锐角，就是平面CAB与平面OAB的夹角.
．
故选C．
解题流程梳理：
【变式练习】在正方体中，截面与底面所成的二面角的正切值等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为.
，，，D1(0，0，1).
，.
设平面的法向量为，则，
令，得平面的法向量.
平面，平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为，由图可知二面角的平面角为锐角，就是平面ABD与平面A1BD的夹角.
.
==，.
故选：
解题流程梳理：
三、小结
课后作业题
1.如图，在正方体中，，分别为棱和的中点，求和所成角的余弦值．
解：如图建立建立空间直角坐标系，设正方体的各个棱长均为.
，，，.
.
cos=
=
=
=.
即和所成角的余弦值为 .
2.四棱锥中，底面为直角梯形，，，且，，平面，且，则与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：如图建立空间直角坐标系.
，，，.
，，.
设平面的法向量为，，即，
不妨取，得平面的一个法向量为.
与平面所成角的正弦值
，.
故选B．
3.如图，在四棱锥中，平面平面，且底面是矩形，若，，则二面角的余弦值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：在平面内作，垂足为，可得平面.
如图建立空间直角坐标系，设AB=1.
，，，.
，，，．
设是平面的法向量，则，即，
取，得
设是平面的法向量，则，即，
取，得.
平面APB与平面CPB的夹角为，则
.
二面角为钝角，二面角的余弦值为．
故选 B．
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第二节 成角问题
学习目标：
1.理解空间向量求线线角、线面角、面面角的原理；
2.建系利用向量坐标求线线角、线面角、面面角（简单的）.
学科素养：
1.理解空间向量求线线角、线面角、面面角的原理，发展数学抽象素养；
2.建系利用向量坐标求线线角、线面角、面面角，发展数学运算素养.
学习重点与难点：
重点：建系利用向量坐标求线线角、线面角、面面角（简单的）；
难点：数学运算素养的发展.
学习过程：
一、知识点
1.线线角
异面直线所称的角为，其方向向量分别是，则
2.线面角
直线与平面所成的角为直线的方向向量为，平面的法向量为，则
3.面面角：两个平面相交，形成四个二面角，不大于900的二面角称为这两个平面的夹角.
两个平面的夹角为，法向量分别为，则
二、习题
题型1------线线角
【例】将正方形沿对角线折成直二面角，则异面直线与夹角的余弦值是( )
A. B. C. D.
解题流程梳理：
【变式练习】如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点是底面圆周上的一点，且点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
解题流程梳理：
题型2------线面角
【例】在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
解题流程梳理：
【变式练习】在正方体中，直线与平面夹角的余弦值是( )
A. B. C. D.
解题流程梳理：
题型3-----面面角
【例】如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则( )
A. B. C. D.
解题流程梳理：
【变式练习】在正方体中，截面与底面所成的二面角的正切值等于( )
A. B. C. D.
解题流程梳理：
三、小结
课后作业题
1.如图，在正方体中，，分别为棱和的中点，求和所成角的余弦值．
3.四棱锥中，底面为直角梯形，，，且，，平面，且，则与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
3.如图，在四棱锥中，平面平面，且底面是矩形，若，，则二面角的余弦值是( )
A. B. C. D.
