麓山国际实验学校2022-2023学年高二上学期9月入学考试
数学试卷 解析
总分：150分 时量：120分钟
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．设，则
A．0 B．1 C． D．2
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
【解析】解：，
则．
故选：．
2．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为
A．80 B．96 C．108 D．110
【分析】求出高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400，即可得出该样本中的高二学生人数．
【解析】解：设高二人，则，，
所以，高一、高二、高三的人数分别为：500，450，400
因为，所以，高二学生抽取人数为：，
故选：．
3．为保障妇女权益、促进妇女发展、推动男女平等，我国于2011年颁布实施《中国妇女发展纲要年）》（以下简称《纲要》．《纲要》实施以来，我国积极推动和支持妇女参政议政，妇女参与决策和管理的比例明显提高，妇女的政治权利得到有力保障和加强年召开的第十三届全国人民代表大会共有女代表742名，政协第十三届年）全国委员会中有女委员440人．第一到十三届历届全国人大女代表、政协女委员所占比重如图：
下列结论错误的是
A．第十三届全国人大女代表所占比重比第十一届提高3.6个百分点
B．第十三届全国政协女委员所占比重比第四届提高10个百分点以上
C．从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值低于
D．第十三届全国人大代表的人数不高于3000人
【分析】根据折线图逐一分析判断各个选项能求出结果．
【解析】对于，第十三届全国人大女代表所占比重为，
第十一届为21.3，提高3.6个百分点，故正确；
对于，第十三届全国政协女委员所占比重为，第四届为，
提高11.4个百分点，故正确；
对于，从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值为：
，高于，故错误；
对于，第十三届全国人大代表的人数约为，故正确．
故选：．
4．设非零向量的夹角为，定义运算．下列叙述错误的是
A．若，则
B． 为任意非零向量
C．设在中，，则
D．若，则
【分析】由三角形的面积公式，结合定义运算，逐一判断四个选项得答案．
【解析】解：向量为非零向量，，，
若，则，即非零向量的夹角为或，
则，故正确；
不妨取，且，则，，
则，故错误；
在中，设，，则，即，故正确；
若，又，，，
则，故正确．
故选：B．
5．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为
A．1 B． C．2 D．
【分析】利用正弦定理和余弦定理化简已知等式，可得，再结合余弦定理和基本不等式，推出，从而确定的范围，最后由，得解．
【解析】解：，
，化简得，即，
由余弦定理知，，
，
，
的面积．
故选：．
6．如图，四棱锥的外接球的球心为，其中底面为正方形，若平面过球心，且，，则异面直线，所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【分析】根据平行关系转化为求，根据条件解三角形即可求解．
【解析】解：四边形为正方形，
，即为所求异面直线与所成角，
由可得，
又，
，，，
．
故选：．
7．有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则
A．甲与丙相互独立 B．乙与丁不相互独立
C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立
【分析】根据独立事件的性质进行逐一判断即可．
【解析】解：设甲、乙、丙、丁事件发生的概率分别为（A），（B），（C），（D），
则（A）（B），（C），（D），
对于，（A）（C），甲与丙不是相互独立事件，故错误；
对于，，乙与丁相互独立，故错误；
对于，，甲与丁相互独立，故正确；
对于，（B）（C），乙与丙不相互独立，故错误．
故选：．
8．如图，正方体中，，，，当直线与平面所成的角最大时，
A． B． C． D．
【分析】利用坐标法利用线面角的向量求法，三角函数的性质及二次函数的性质即可求解．
【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，，0，，
，0，，，1，，，0，，，1，，
设平面的一个法向量为，，，
则，，令，可得，，，
又，0，，
设直线与平面所成的角为，
则，，
当，即时，有最大值，即直线与平面所成的角最大．
故选：．
二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．给定组数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的
A．中位数为3 B．方差为
C．众数为2和3 D．第分位数为4.5
【分析】分别求出数据中的中位数、方差、众数及百分位数即可判断求解．
【解析】解：将数据从小到大排序为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，
故中位数为，故正确；
数据中2，3，出现次数最多，众数2和3，故正确；
平均数是，
方差为，故正确；
第85百分位数是数据中至少有的数据小于或等于该数，
从小到大第9个数字5为该组的第85百分位数，故错误．
故选：．
10．在某次数学考试中，对多项选择题的要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某道多项选择题的正确答案是，且某同学不会做该题，下列结论正确的是
A．该同学仅随机选一个选项，能得分的概率是
B．该同学随机至少选择二个选项，能得分的概率是
C．该同学仅随机选三个选项，能得分的概率是
D．该同学随机选择选项，能得分的概率是
【分析】对各项中的随机事件，计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再计算出相应的概率后可得正确的选项．
【解析】解：该同学随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为，，，．
随机选两个选项，共有6个基本事件，分别为，，，，，．
随机选三个选项，共有4个基本事件，分别为，，，．
随机选四个选项，共有1个基本事件，即．
仅随机选一个选项，能得分的概率是，故错误．
随机至少选择二个选项，能得分的概率是，故正确．
仅随机选三个选项，能得分的概率是，故正确．
随机选择选项，能得分的概率是，故错误．
故选：．
11．如图，直角梯形，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且，则
A．平面平面
B．与平面所成角的正切值为
C．二面角的大小为
D．
【分析】根据的长证明平面，分别计算线线角、线面角、面面角的大小即可作出判断．
【解析】解：对于，，，，
四边形是正方形，，，
故翻折后，，，，
，故，又，、平面，
平面，又平面，
平面平面，故正确，
对于，由平面可得为与平面所成角，
，故错误．
对于，由平面可得，又，，
平面，故，
为二面角的平面角，
，，，故正确；
对于，，为异面直线与所成的角，
，，，、平面，平面，
，又，，
，故错误；
故选：．
12．设的内角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是
A．若，，则可以是
B．若，，，则
C．若是锐角三角形，，，则边长的取值范围是
D．若，则角的取值范围是
【分析】对选项，根据正弦定理即可判断错误，对选项，根据余弦定理即可判断错误，对选项，根据余弦定理即可判断正确，对选项，根据正弦定理角化边公式得到，再利用余弦定理即可判断正确．
【解析】解：对选项，，解得，故错误；
对选项，，解得或，故错误．
对选项，因为是锐角三角形，
所以，整理可得，解得，
故正确．
对选项，因为，
所以，，，
即，又因为，所以，故正确．
故选：．
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．设复数满足，则的最小值为 ．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及二次函数的单调性，即可求解．
【解析】解：设，，，
，
，
，
，
，
当时，取得最小值．
故答案为：．
14．如图，在中，，是线段上的一点，若，则实数 ．
【分析】由已知可得，然后将向量化简为，利用，，三点共线即可求解．
【解析】解：因为，则，
所以，
因为点，，三点共线，所以，则，
故答案为：．
15．在正三棱柱中，，，分别为，，的中点，，为的中点，则下列说法正确的是 ②③ ．
①，为异面直线；
②平面；
③若，则；
④若，则直线与平面所成的角为．
【分析】①判断，，，四点共面即可；②取的中点，连接，，利用平行四边形的性质及线面平行的判定证明即可；③取的中点，连接，，由平行四边形、等边三角形及勾股定理求；④由线面角定义，应用几何法找到直线与平面所成角的平面角，进而求其大小．
【解析】解：对于①：如图，连接，由题意得，所以，，，四点共面，所以，不是异面直线，①错误；
对于②：取的中点，连接，，得，
所以，，则四边形是平行四边形，
所以，因为面，所以面，②正确；
对于③：取的中点，连接，，由，平行且相等知：四边形为平行四边形，
则有，又，即，
设，则，
，解得，③正确；
对于④：由，，可知为正三角形，，
连接，易知平面，故即直线与平面所成的角，
，所以④错误；
故答案为：②③．
16．如图所示，要修建一个形状为等腰直角三角形的广场，，且在广场外修建一块三角形草地，满足，．
①若，则 ；
②欲使、之间距离最长，则 ．
【分析】①在中，由已知结合余弦定理求，可得，在中，再由余弦定理求；
②设，则，，则，可得，由余弦定理可得，再由三角函数求最值，可得对应的，则可求．
【解析】解：①在中，由，，，
得，
，即，
在等腰直角三角形中，可得，
又，，
由余弦定理可得，
；
②设，则，，则，
在中，由正弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得，
．
当时，取最大值，
此时．
四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知向量，．
（1）求的坐标以及与之间的夹角；
（2）当，时，求的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件，结合向量的坐标运算法则，以及平面向量的夹角公式，即可求解．
（2）根据已知条件，将平方，再结合二次函数的性质，即可求解．
【解析】解：，，
，
设与之间的夹角为，，，
，
．
，
当时，，
故的取值范围为．
18．（本小题满分12分）随着金融市场的发展，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示．
（1）求的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数；（结果用小数表示，小数点后保留两位有效数字）
（2）现按照分层抽样的方法从年龄在，和，的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行投资调查，求至少有1人年龄在，的概率．
【分析】（1）由频率分布直方图的面积之和为1列方程求即可；再根据中位数的定义求中位数即可；
（2）易知分别抽取3人，2人；再利用古典概率模型的概率公式求解即可．
【解析】解：（1）由频率分布直方图的面积之和为1知，
，
解得；
，
，
把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数为；
（2），
从年龄在，的投资者中抽取3人，记为、、，
从年龄在，的投资者中抽取2人，记为1，2；
则从这5人中随机抽取2人进行投资调查，
有，，，，，，，，，，共10种情况；
至少有1人年龄在，的有，，，，，，，共7种情况；
故至少有1人年龄在，的概率为．
19．（本小题满分12分）在三角形中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）当角为钝角时，若点满足，，，求的长度．
【分析】（1）由余弦定理可得，进而可求角的大小；
（2）法一：由（1）可知，由向量的线性运算可得：，求解即可．
法二：设，则，设，由余弦定理得，又在，中由余弦定理可求得：，求解即可．
【解析】解：（1）
，
，
，而，或．
（2）由（1）知当为纯角时，，
（解法一），
，
，
整理得：，即
故的长度为．
（解法二），设，则，设，
在有：，
，①
又在，中有：
②
②代入①有：
解得（舍去负值）
故的长度为．
20．（本小题满分12分）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，．甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
【分析】（1）设 “甲在第一轮比赛中胜出”， “甲在第二轮比赛中胜出”， “乙在第一轮比赛中胜出”， “乙在第二轮比赛中胜出”，则 “甲赢得比赛”， “乙赢得比赛”，利用独立事件的概率公式求出，，再比较两者的大小即可作出判断．
（2）利用间接法，先求出两人都没有赢得比赛的概率，进而求出两人中至少有一人赢得比赛的概率．
【解析】解：（1）设 “甲在第一轮比赛中胜出”， “甲在第二轮比赛中胜出”， “乙在第一轮比赛中胜出”， “乙在第二轮比赛中胜出”，
则 “甲赢得比赛”， “乙赢得比赛”，
，，，，
，
同理，
，
派甲参赛获胜的概率更大．
（2）由（1）知，设 “甲赢得比赛”， “乙赢得比赛”，
，，
于是 “两人中至少有一人赢得比赛”，
．
21．如图，在等腰直角中，，腰长为2，为外一点，．
（1）若，求长；
（2）若，求．
【分析】（1）在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，确定出的度数，在等腰直角三角形中，由腰的长求出的长，由求出度数，在三角形中，利用余弦定理求出的长即可；
（2）设，则，，利用锐角三角函数定义表示出，利用正弦定理求出的值，即为的值．
【解析】解：（1）在直角中，，，，
根据勾股定理得：，即，
，
等腰直角中，，
在中，，，
根据余弦定理，，
，
，
则；
（2）设，则，，
在直角中，，
在中，根据正弦定理得：，即，
化简得，
则．
22．（本小题满分12分）已知在长方形中，，点是的中点，沿折起平面，使平面平面．
（1）求证：在四棱锥中，；
（2）在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先在长方形中证明；再根据面面垂直的性质定理证明平面，得到；然后利用线面垂直的判定证明平面，进而证明；
（2）以中点为坐标原点建立空间直角坐标系，设表示出，再分别求出平面、平面的法向量，然后利用向量形式表示二面角的余弦值，进而求出最终确定的位置；
【解析】证明：（1）连接，为的中点，，
为长方形，中，．
在中，，
同理，，，
在折叠后的图形中：
平面平面，平面平面，，
平面，
又平面，，
又，平面，平面，，
平面，
又平面，
，
（2）由（1）可知：、均为等腰直角三角形，过点作底边的高，交于点，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
易知平面 的一个法向量为，
假设在线段 上存在点，使二面角的余弦值为，
设，则，
设平面 的一个法向量为，，，
取，则，，
即当点为线段 靠近的四等分点时，二面角的余弦值为．麓山国际实验学校2022-2023学年高二上学期9月入学考试
数学试卷
总分：150分 时量：120分钟
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．设，则
A．0 B．1 C． D．2
2．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为
A．80 B．96 C．108 D．110
3．为保障妇女权益、促进妇女发展、推动男女平等，我国于2011年颁布实施《中国妇女发展纲要年）》（以下简称《纲要》．《纲要》实施以来，我国积极推动和支持妇女参政议政，妇女参与决策和管理的比例明显提高，妇女的政治权利得到有力保障和加强年召开的第十三届全国人民代表大会共有女代表742名，政协第十三届年）全国委员会中有女委员440人．第一到十三届历届全国人大女代表、政协女委员所占比重如图：
下列结论错误的是
A．第十三届全国人大女代表所占比重比第十一届提高3.6个百分点
B．第十三届全国政协女委员所占比重比第四届提高10个百分点以上
C．从第一到第十三届全国政协女委员所占比重的平均值低于
D．第十三届全国人大代表的人数不高于3000人
4．设非零向量的夹角为，定义运算．下列叙述错误的是
A．若，则
B． 为任意非零向量
C．设在中，，则
D．若，则
5．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为
A．1 B． C．2 D．
6．如图，四棱锥的外接球的球心为，其中底面为正方形，若平面过球心，且，，则异面直线，所成角的余弦值为
A． B． C． D．
7．有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则
A．甲与丙相互独立 B．乙与丁不相互独立
C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立
8．如图，正方体中，，，，当直线与平面所成的角最大时，
A． B． C． D．
二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．给定组数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则这组数据的
A．中位数为3 B．方差为
C．众数为2和3 D．第分位数为4.5
10．在某次数学考试中，对多项选择题的要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某道多项选择题的正确答案是，且某同学不会做该题，下列结论正确的是
A．该同学仅随机选一个选项，能得分的概率是
B．该同学随机至少选择二个选项，能得分的概率是
C．该同学仅随机选三个选项，能得分的概率是
D．该同学随机选择选项，能得分的概率是
11．如图，直角梯形，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且，则
A．平面平面
B．与平面所成角的正切值为
C．二面角的大小为
D．
12．设的内角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是
A．若，，则可以是
B．若，，，则
C．若是锐角三角形，，，则边长的取值范围是
D．若，则角的取值范围是
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．设复数满足，则的最小值为________．
14．如图，在中，，是线段上的一点，若，则实数________．
15．在正三棱柱中，，，分别为，，的中点，，为的中点，则下列说法正确的是________．
①，为异面直线；
②平面；
③若，则；
④若，则直线与平面所成的角为．
16．如图所示，要修建一个形状为等腰直角三角形的广场，，且在广场外修建一块三角形草地，满足，．
①若，则________；
②欲使、之间距离最长，则________．
四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知向量，．
（1）求的坐标以及与之间的夹角；
（2）当，时，求的取值范围．
18．（本小题满分12分）随着金融市场的发展，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如图所示．
（1）求的取值，以及把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数；（结果用小数表示，小数点后保留两位有效数字）
（2）现按照分层抽样的方法从年龄在，和，的投资者中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行投资调查，求至少有1人年龄在，的概率．
19．（本小题满分12分）在三角形中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）当角为钝角时，若点满足，，，求的长度．
20．（本小题满分12分）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，．甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
21．（本小题满分12分）如图，在等腰直角中，，腰长为2，为外一点，．
（1）若，求长；
（2）若，求．
22．（本小题满分12分）已知在长方形中，，点是的中点，沿折起平面，使平面平面．
（1）求证：在四棱锥中，；
（2）在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由．
