北师大版九年级数学上册 1.1 菱形的性质与判定同步练习 (Word版含答案)

北师版九上 1.1 菱形的性质与判定
一、选择题（共12小题）
1. 如图，四边形 的两条对角线相交于点 ，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形 为菱形的是
A. B.
C. D.
2. 如图，点 ，，， 分别是四边形 中 ，，， 的中点，当四边形 满足条件 时，四边形 是菱形
A. B. C. D.
3. 下列命题正确的是
A. 对角线互相平分的四边形是菱形
B. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
4. 如图，菱形 中，， 分别是 ， 的中点，若 ，则菱形 的周长为
A. B. C. D.
5. 如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，且 ，则图中全等三角形有
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
6. 如图，在菱形 中，，，点 是对角线 的中点， 于点 ，则 的长为
A. B. C. D.
7. 将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 矩形 D. 菱形
8. 如图，在平面直角坐标系 中，已知菱形 的顶点 ， 的坐标分别为 ，，点 在 轴上，则点 的坐标是
A. B. C. D.
9. 如图，在四边形 中，，， 是对角线，，，， 分别是 ，，， 的中点，连接 ，，，，则四边形 的形状是
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
10. 菱形的两条对角线的长分别是 和 ，则这个菱形的周长是
A. B. C. D.
11. 如图，点 ， 分别是锐角 两边上的点 ，分别以点 ， 为圆心，以 长为半径画弧，两弧相交于点 ，连接 ，．根据作图过程判定四边形 是菱形的依据是
A. 一组邻边相等的四边形是菱形
B. 四条边相等的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D. 对角线平分一组对角的四边形是菱形
12. 如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ， 为 中点，，，则线段 的长为：
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题）
13. 如图，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，若再增加一个条件，就可得出平行四边形 是菱形，则你添加的条件是 ．
14. 如果一个菱形的一条边长为 ，那么这个菱形的周长为 ．
15. 如图，直线 是四边形 的对称轴，若 ，下面四个结论中：① ；② ；③ ；④ ．一定正确的结论的序号是 ．
16. 已知菱形的两条对角线的长分别为 和 ，那么这个菱形的边长是 ．
17. 如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 ，请添加一个条件： ，使平行四边形 是菱形．
18. 菱形 的周长为 ， 与 的度数之比为 ，对角线 的长是 ．
三、解答题（共5小题）
19. 如图，在菱形 中， 为对角线，点 为 上的点，求证：．
20. 如图，已知四边形 是平行四边形，点 ， 分别是 ， 上的点，，并且 ．求证：
（1）；
（2）四边形 是菱形．
21. 已知菱形的一条边与它的两条对角线所成的两个角的大小的比为 ，求这个菱形的各个内角的度数．
22. 如图，在四边形 中，，，对角线 ， 交于点 ， 平分 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，，求 的长．
23. 如图，矩形 的顶点 ， 分别在 ， 的正半轴上，点 的坐标为 ，一次函数 的图象与边 ， 分别交于点 ，，并且满足 ．点 是线段 上的一个动点．
（1）求 的值；
（2）连接 ，若三角形 的面积与四边形 的面积之比为 ，求点 的坐标；
（3）设点 是 轴上方平面内的一点，以 ，，， 为顶点的四边形是菱形，求点 的坐标．
答案
1. A
2. B
3. D
4. C
【解析】， 分别是 ， 的中点，
为 的中位线，
，
四边形 是菱形，
，
菱形 的周长为 ．
5. C
6. A
【解析】连接 ，如图所示：
四边形 为菱形，点 是对角线 的中点，
，，
，
在 中，，
，
，
在 中，，
故选：A．
7. D
【解析】如图，
由题意可知，剪下的图形是四边形 ，
由折叠可知 ，
是等腰三角形，
又 和 关于直线 对称，
四边形 是菱形．
8. B
9. C
【解析】，，， 分别是 ，，， 的中点，
在 中， 为 的中位线，
且 ；
同理 且 ，，
则 且 ，
四边形 为平行四边形，
又 ，
，
四边形 为菱形．
10. B
【解析】如图所示：
四边形 是菱形，，，
，，，，
在 中，，
菱形 的周长为：，
故选：B．
11. B
12. B
13.
14.
15. ①②③
【解析】 直线 是四边形 的对称轴，
，．
，
．
四边形 是菱形．
① ，正确；
② ，正确；
③ ，正确；
④ 不一定垂直于 ，错误．
故正确结论的序号是①②③．
16.
17. （答案不唯一）
【解析】 邻边相等的平行四边形是菱形，
当 时，平行四边形 为菱形．
18.
19. 四边形 为菱形，
，，
在 与 中，
，
．
20. （1） 四边形 是平行四边形，
．
在 与 中，
．
（2） 由（）知，，则 ．
又 四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形．
21. 提示：由题意可设这两个角的度数分别是 ，，
则 ，
解得 ，
菱形四个内角的度数分别是 ，，，，即 ，，，．
22. （1） ，
．
平分 ．
．
．
．
又 ，
．
又 ，
四边形 是平行四边形．
又 ，
平行四边形 是菱形．
（2） 四边形 是菱形，对角线 ， 交于点 ，
，，．
．
在 中，．
．
，
．
在 中，， 为 中点．
．
23. （1） 中，令 ，解得 ，则 的坐标是 ，，
，
，则 的坐标是 ，
把 的坐标代入 得 ，
解得：．
．
（2） ，
三角形 的面积与四边形 的面积之比为 ，
．
设 的横坐标是 ，则 ，
解得：，
把 代入 得 ．
则 的坐标是 ．
（3） 当四边形 是菱形时，如图（），
的纵坐标是 ，把 代入 ，得 ，解得：，
则 的坐标是 ，
则 的坐标是 ；
当四边形 是菱形时，如图（），
，设 的横坐标是 ，则纵坐标是 ，
则 ，
解得：．
则 的坐标是 ．
则 的中点是 ．
则 的坐标是 ．
故 的坐标是 或 ．